专项素养巩固训练卷(二) 平行线“拐点”问题中的常见模型 -【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（人教版·新教材）

这是一份初中数学同步培优课件，聚焦平行线“拐点”问题常见模型，包含猪蹄、铅笔、靴子、锯齿（多拐点）四大模型，精选广东梅州、安徽合肥等地期末试题，通过作辅助线等方法解析角度关系，构建模型学习支架。 资料特色突出核心素养，以仿生机器狗、台灯等生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过逻辑推理（如过拐点作平行线证角度和差）培养数学思维，用符号公式（如∠APC=∠A+∠C）规范数学语言。助力学生巩固期末考点，为教师教学提供典型案例与系统训练方案。初中学生在学习平行线时需从具体情境抽象几何模型，该资料通过实例与模型结合，帮助学生提升几何直观和推理能力，为期末复习及后续几何学习奠定基础。

专项素养巩固训练卷(二) 平行线“拐点”问题中的常见模型 初中同步培优卷 模型一　猪蹄模型 1. 【新课标·应用意识】(2025广东梅州五华期末,★★☆)近 几年中学生近视的现象越来越严重,为保护视力,读书、写 字、看书姿势要端正,一般人正常的阅读角度为俯角40°,书本 与课桌的角度要保持在25°至40°范围内,其几何示意图如图所 示,其中AB∥ED,∠ABC=40°,∠CDE=35°,则视线BC和书本所 在平面所成的角∠BCD的度数是 (         ) C A. 55°　　    B. 65°　　     C. 75°　　    D. 85° 初中同步培优卷 解析　如图,过C作CQ∥AB. ∵AB∥DE,∴CQ∥AB∥DE, ∴∠BCQ=∠ABC=40°,∠DCQ=∠CDE=35°, ∴∠BCD=40°+35°=75°.故选C. 初中同步培优卷 模型解读　如图,AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐点P作AB 或CD的平行线可证). 初中同步培优卷 2. (2025安徽合肥期末,★★☆)如图,体育场C既在教学楼A的 南偏东30°方向上,又在礼堂B的南偏西50°方向上,则∠ACB的 度数是 (         )   A. 60°　　    B. 80°　　    C. 90°　　    D. 100° B 初中同步培优卷 解析　如图,过C作CD∥AE, 由题意可得∠CAE=30°,∠CBF=50°,AE∥BF, ∴BF∥CD∥AE, ∴∠ACD=∠CAE=30°,∠DCB=∠CBF=50°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+50°=80°.故选B. 初中同步培优卷 3. (★★☆)小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅 生产了一种如图所示的零件,要求AB∥CD,∠BAE=35°,∠AED =90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°,∠AED=90° 后,又量出了∠EDC=55°,于是他就说AB与CD肯定是平行的, 你知道原因是什么吗? 初中同步培优卷 解析　过点E作EF∥AB,如图,   ∴∠1=∠BAE=35°, ∵∠AED=90°,∴∠2=∠AED-∠1=55°. ∵∠EDC=55°,∴∠EDC=∠2, ∴EF∥CD,∴AB∥CD. 初中同步培优卷 模型二　铅笔模型 4. (2025湖南郴州期末,★★☆)如图所示,仿生机器狗平稳站 立时,AB∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=145°,此时∠BED的度数 为 (         )   A. 70°　　    B. 75°　　    C. 80°　　    D. 85° D 初中同步培优卷 解析　如图,过E作EM∥AB, ∵AB∥CD,∴EM∥CD∥AB, ∴∠ABE+∠BEM=180°,∠CDE+∠DEM=180°. ∴∠ABE+∠BEM+∠CDE+∠DEM=360°, 即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°, ∵∠ABE=130°,∠CDE=145°, ∴∠BED=85°.故选D. 初中同步培优卷 模型解读　如图,AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°(过拐点E 作AB或CD的平行线可证). 初中同步培优卷 5. 【新考向·项目探究题】(2025湖南常德澧县期末,★★☆) 小宁是一名爱研究数学的中学生,他发现生活中有很多与数 学相关的实例.请根据以下材料,完成相应的任务. 台灯中的数学问题 素材1 图①是一盏可以伸缩的台灯,它的优点是可以变化伸缩,找到合适的照明角度,从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用   初中同步培优卷 素材2 图②是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置,当灯头AB与支架CD平行时,可达到最佳照 明角度,此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°,两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°. 小宁在解决问题时,他的思路:过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,如图③所示     初中同步培优卷 (1)根据素材2,过点C作CF∥BE,可以得到CF∥MN的依据是____ ______________. (2)当台灯处于最佳照明角度时,根据素材2中小宁的思路,求 ∠CDM和∠ABE的度数. 初中同步培优卷 解析    (1)平行于同一条直线的两直线平行. (2)∵CF∥BE,∴∠BCF+∠CBE=180°. ∵CF∥MN,∴∠DCF+∠CDN=180°. ∴∠BCF+∠CBE+∠DCF+∠CDN=360°, 即∠CBE+∠BCD+∠CDN=360°, ∵∠CBE=135°,∠BCD=108°,∴∠CDN=117°. ∴∠CDM=180°-∠CDN=63°. ∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠ABC=72°. ∴∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°. 初中同步培优卷 模型三　靴子模型 6. 【跨物理·凸透镜】(2025广东揭阳月考,★★☆)通过实验 发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点.如 图,箭头所指的是光线的方向,点F是凸透镜的焦点,BD∥CE∥ OF,若∠BDF=150°,∠CEF=161°,则∠DFE的度数是  (    )   C A. 9°　　    B. 10°　　    C. 11°　　    D. 12° 初中同步培优卷 解析　∵BD∥CE∥OF, ∴∠DFO=180°-∠BDF=180°-150°=30°, ∠EFO=180°-∠CEF=180°-161°=19°, ∴∠DFE=∠DFO-∠EFO=30°-19°=11°,故选C. 初中同步培优卷 7. (2025江苏南通期末,★★☆)如图,已知AB∥DE,∠ABC=55°, ∠BCD=25°,则∠CDE的度数为_________.       150°     初中同步培优卷 解析　如图,过点C作CF∥AB.   ∵AB∥DE,∴AB∥DE∥CF, ∴∠ABC=∠BCF=55°,∠CDE+∠DCF=180°. ∵∠BCD=25°,∴∠DCF=∠BCF-∠BCD=30°, ∴∠CDE=180°-30°=150°. 初中同步培优卷 模型解读　靴子模型指两平行线和三个角之间形成的图形像 生活中人们穿的靴子.靴子模型中的三个角之间存在如下关系: 初中同步培优卷 模型四　锯齿模型(多拐点) 8. (★★☆)如图所示的是某汽车的独立悬架截面图,已知AB ∥JK,BC∥DE∥FG∥HI,CD∥EF∥GH∥IJ,且∠ABC=22°, ∠IJK=25°,则∠DEF的度数为 (         ) D A. 13°　　    B. 22°　　    C. 25°　　    D. 47° 初中同步培优卷 解析　如图,分别过拐点C,D,E,F,G,H,I作AB的平行线l1,l2,l3,l4, l5,l6,l7.   ∵AB∥JK,∴AB∥l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7∥JK. 初中同步培优卷 ∵BC∥DE,∴∠BCD=∠CDE. ∵CD∥EF,∴∠CDE=∠DEF.∴∠BCD=∠CDE=∠DEF, 同理得∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HIJ. ∵AB∥l1,∴∠1=∠B=22°. ∵l1∥l2,∴∠2=∠3,∴∠1=∠4. ∵l2∥l3,∴∠4=∠5.∴∠5=∠1=22°. 同理∠6=∠J=25°. ∴∠DEF=∠5+∠6=22°+25°=47°. 初中同步培优卷 9. (★★☆)如图,AB∥CD,DE⊥EF,FG⊥EF,∠ABG=150°, ∠CDE=140°,则∠BGF=__________°.       70     初中同步培优卷 解析　如图,分别过点G,F,E作GH∥AB,FM∥AB,EN∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥GH∥FM∥EN,∴∠ABG+∠BGH= 180°,∠HGF=∠MFG,∠MFE=∠NEF,∠CDE+∠DEN=180°. 初中同步培优卷 ∵∠ABG=150°,∠CDE=140°, ∴∠BGH=30°,∠DEN=40°, ∵DE⊥EF,FG⊥EF, ∴∠GFE=∠MFG+∠MFE=90°,∠FED=∠NEF+∠DEN=90°. ∴∠MFG=90°-∠MFE,∠NEF=90°-∠DEN=50°=∠MFE. ∴∠MFG=40°=∠HGF, ∴∠BGF=∠BGH+∠HGF=30°+40°=70°. 初中同步培优卷 $