第十章 二元一次方程组 素养提优测试卷 -【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二元一次方程组的概念、解法及应用，通过题型分类（选择、填空、解答）和方法对比（代入消元、加减消元、整体法），将定义辨析、解的判定、实际应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入数学文化（《九章算术》算筹图）和新定义题（共轭方程组），设计分层题型（★☆☆到★★★），如轮胎磨损问题培养模型意识，多解法题提升运算能力，让不同水平学生均有收获，教师可精准把握学情，提高复习针对性。

第十章　素养提优测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个选 项是符合题意的) 1. (2025河北张家口期末,★☆☆)下列方程组是二元一次方程 组的是 (         ) A.  　　    B.   C.  　　     D.   A 初中同步培优卷 解析    A.是二元一次方程组;B. 的未知数x在分母上,不是二 元一次方程组;C.xy的次数是2,不是二元一次方程组;D.x2的次 数是2,不是二元一次方程组.故选A. 初中同步培优卷 2. (2025浙江杭州期末,★☆☆)下列是方程x+2y=5的解的是  (         ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   A 解析　把选项中的x,y的值分别代入方程验证即可,只有x=1,y =2满足x+2y=5,故选A. 初中同步培优卷 3. (2025山东临沂沂水期末,★☆☆)若关于x,y的二元一次方程 ax+by=p,mx+ny=q的部分解分别如表1、表2所示,则方程组  的解为 (         ) 表1 表2 A A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   初中同步培优卷 解析　由题表数据可得二元一次方程ax+by=p,mx+ny=q的公 共解为 所以方程组 的解为 故选A. 初中同步培优卷 4. (2025河北石家庄桥西月考,★☆☆)解关于x,y的方程组  则下列说法正确的是 (         ) A. ②×2+①,消去x B. 由②得x= ,代入①,消去y C. ①×2-②×3,消去x D. 由②得y=2x+3,代入①,消去y C 初中同步培优卷 解析　②×2+①,得7x=7,消去的是y而非x,故A错误;由②得x=  ,代入①,得3× +2y=1,消去的是x而非y,故B错误;①×2- ②×3,得7y=-7,消去x,故C正确;由②得y=2x-3,而不是y=2x+3,故 D错误.故选C. 初中同步培优卷 5. (2025湖南长沙雨花期末,★★☆)以方程组 的解 为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中的位置是在 (         ) A. 第一象限　   B. 第二象限　  C. 第三象限　　 D. 第四象限 C 解析     把①代入②,得3x+2x-1=-11,解得x=-2,把 x=-2代入①,得y=2×(-2)-1=-5,∴方程组的解是 点(-2,-5) 在第三象限.故选C. 初中同步培优卷 6. 【新考向·数学文化】(2024北京二中期末,★★☆)《九章 算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排, 如图①,图②.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知 数x,y的系数与相应的常数项.把如图①所示的算筹图用我们 现在所熟悉的方程组的形式表述出来,就是 在如 图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了,如果图②所 表示的方程组中x的值为3,则被墨水所覆盖的图形为 (       ) C 初中同步培优卷   A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   解析　设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a,根据题意得,  把x=3代入,得 由③可得y=5,把y= 5代入④得,12+5a=27,∴a=3,故选C. 初中同步培优卷 7. 【学科特色·多解法】(2025福建泉州期末,★★☆)若方程 组 的解满足方程3k-x-y-z=6,则k的值为 (         ) A. 1　　    B. 3　　    C. 5　　    D. 7 C 初中同步培优卷 解析　【解法一】整体法:  ①+②+③,得2x+2y+2z=18, ∴x+y+z=9. ∵方程组的解满足方程3k-x-y-z=6, ∴3k-9=6,解得k=5,故选C. 初中同步培优卷 【解法二】常规解法: ①-②,得x-z=2④,③④组成 二元一次方程组得 解得  把z=0代入②,得y=7. 因为3k-x-y-z=6,所以3k-2-7-0=6,解得k=5.故选C. 初中同步培优卷 8. 【学科特色·教材变式P111习题T4】(2024山东东营广饶期 末,★★☆)两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着 写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写 上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后 一个四位数大990.若设较大的两位数为x,较小的两位数为y, 则根据题意可列方程组为 (         ) A.  　　     B.   C.  　  D. C 初中同步培优卷 解析　根据“两个两位数的和为68”得x+y=68;根据“在较 大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数” 得前一个四位数是100x+y; 根据“在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一 个四位数”得后一个四位数是100y+x. 根据“已知前一个四位数比后一个四位数大990”得(100x +y)-(100y+x)=990. 故方程组为 故选C. 初中同步培优卷 9. 【新考向·新定义题】(2024山东德州期末,★★☆)规定:形 如关于x,y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一 次方程,其中k≠1;由这两个方程组成的方程组 叫作 共轭方程组.若关于x,y的方程组 为共轭方 程组,则 (         ) A.  　　    B.  　　    C.  　　    D.   A 初中同步培优卷 解析　由题意可得 解得 故选A. 初中同步培优卷 10. 【新课标·创新意识】(2025河南信阳期末,★★★)大部分 电动汽车一般是由后轮驱动的,因此,后轮轮胎的磨损要超过 前轮轮胎,假设前轮轮胎行驶5 000千米报废,后轮轮胎行驶 3 000千米报废,如果在电动汽车行驶若干千米后,将前后轮胎进 行对换,那么这对轮胎最多可以行驶 (         ) A. 3 000千米　　    B. 3 750千米 C. 4 000千米　　    D. 4 500千米 B 初中同步培优卷 解析　设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的 轮胎每行驶1千米的磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行 驶1千米的磨损量为 ,设一对新轮胎交换位置前走了x千 米,交换位置后走了y千米,由题意可得 两式 相加可得 + =2k,所以x+y=3 750,故这对轮胎最 多可以行驶3 750千米,故选B. 初中同步培优卷 二、填空题(共8小题,每小题4分,共32分) 11. 【新考向·结论开放题】(★☆☆)若关于x,y的二元一次方 程组 的解是 则方程①可以是_____________ _______(写一个即可). 唯一)         x-y=0(答案不 初中同步培优卷 12. (2025浙江绍兴期中,★☆☆)把方程3x+2y=5改写成用含x 的代数式表示y的形式,得___________.     y=      解析　移项,得2y=5-3x,系数化为1,得y= . 初中同步培优卷 13. (2025福建福州期末,★☆☆)若 是二元一次方程ax+ by=8的一组解,则2 025-2a-b=__________.     2 017     解析　∵ 是二元一次方程ax+by=8的一组解, ∴2a+b=8, ∴2 025-2a-b=2 025-(2a+b)=2 025-8=2 017. 初中同步培优卷 14. (2025江苏扬州邗江阶段考试,★★☆)若单项式 x3a-1y-b+3与 -xb+6y2a是同类项,则a+b=_________.     1     解析　∵单项式 x3a-1y-b+3与-xb+6y2a是同类项, ∴ 解得  ∴a+b=2+(-1)=1. 初中同步培优卷 15. (2025湖北武汉江汉期末,★★☆)在—场趣味数学游戏中, 玩家输入两个数字m,n,游戏系统根据加密规则生成两个密文: m+2n-p,2m+n-p.若玩家收到的密文分别为16和13,已知m+n= 10,则p的值是_________. 解析　由题意可得 ①+②得3m+3n-2p=29, ∵m+n=10,∴3×10-2p=29,解得p= . 初中同步培优卷 16. (2025河南商丘期末,★★☆)两组工人按计划本月应共生 产680个零件,实际第一组超额20%,第二组超额15%完成了本 月任务,因此比原计划多生产118个零件,则本月原计划第一组 生产________个零件,第二组生产________个零件.     360         320     解析　设原计划第一组生产x个零件,第二组生产y个零件,由 题意得 解得  故原计划第一组生产320个零件,第二组生产360个零件. 初中同步培优卷 17. (2025湖北恩施州期中,★★☆)我国古代的“洛书”(如图 ①所示),就是一个三阶“幻方”(如图②所示),观察图①、图 ②,我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系,在显示 部分数据的新“幻方”(如图③所示)中,根据寻找出的关系, 可推算出(x+y)2的值为________.     64     初中同步培优卷 解析　由题图②可得“幻方”中各行、各列以及各对角线上 三个数字之和相等,都为15, ∴ 解得 ∴(x+y)2=(-2-6)2=64. 初中同步培优卷 18. (2025北京通州期中改编,★★★)已知关于x,y的二元一次 方程组 给出下列结论:①当a=1时,方程组的解也 是方程x+y=2的解;②当x=y时,a=- ;③当y=0时,a= ;④无论a 取什么有理数,2x+y的值始终不变;⑤当a=-1时,(x+y)(x-y)=4.其 中正确的是________.(填序号) 　②④⑤     初中同步培优卷 解析　当a=1时,方程组化为  ∵x+y=0,∴方程组的解不是方程x+y=2的解,故①不正确; 当x=y时,得3a+5=0,解得a=- ,故②正确; 当y=0时,得1-a=3a+5,解得a=-1,故③不正确; 解方程组 得  ∴2x+y=2(a+3)+(-2a-2)=4, ∴无论a取什么有理数,2x+y的值始终不变,故④正确; 初中同步培优卷 当a=-1时,方程组化为  ∴(x+y)(x-y)=4,故⑤正确. 综上,正确的结论是②④⑤. 初中同步培优卷 三、解答题(共6小题,共58分) 19. 【新课标·运算能力】(2025河北邯郸武安期末改编,★☆☆) (8分)解方程组: (1) 　　    (2)  初中同步培优卷 解析    (1) ②-①×2,得x=6. 将x=6代入①,得6+2y=0,解得y=-3. 所以原方程组的解为  (2)原方程组整理得 由②得x=9y-2③, 把③代入①,得5(9y-2)+y=36,解得y=1, 把y=1代入③,得x=9×1-2=7, 所以原方程组的解为  初中同步培优卷 20. (2025湖北武汉月考,★☆☆)(8分)在解方程组  时,由于粗心,甲看错方程组中的a,得解为 乙看错了方 程组中的b,得解为  (1)求出a,b的值. (2)试求 + 的值. 初中同步培优卷 解析    (1)把 代入4x-by=-2, 得-12+b=-2,解得b=10, 把 代入ax+5y=15,得5a+20=15,解得a=-1. (2)由(1)得a=-1,b=10, ∴ + = + =-3+1=-2. 初中同步培优卷 21. (2024湖北襄阳宜城期末,★☆☆)(10分)据资料统计,甲、 乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2,现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地(如图),分成两块小长方形土地,分 别种植这两种作物,怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的 总产量的比是2∶1?请你设计两种不同的种植方案. 初中同步培优卷 解析　方案1:如图1,将长方形ABCD分割为长方形ABEF和长 方形EFDC, 设BE=x米,EC=y米, 由题意得 解得  所以在长方形土地BC边上离B点160米处画一条BC的垂线,把 这块土地分成两块,较大的一块种甲种作物,较小的一块种乙 种作物. 初中同步培优卷        方案2:如图2,将长方形ABCD分割为长方形AMND和长方形 MBCN, 设AM=a米,BM=b米, 由题意得 解得  初中同步培优卷 所以在长方形土地AB边上离A点80米处画一条AB的垂线,把 这块土地分为两块,较大的一块种甲种作物,较小的一块种乙 种作物. 初中同步培优卷 22. (2025江西九江期末,★★☆)(10分)某中学教室悬挂的一 面窗帘布,上端有14个圆环且相邻两个圆环的间距相等,如图 所示的是窗帘布展开的平面示意图,已知一面窗帘布的宽度 是156厘米,相邻两个圆环的间距d(厘米)比圆环外圆的半径R (厘米)多1厘米,两端边距都是10厘米. (1)求d和R. (2)已知圆环内圆的半径r(厘米) 比外圆的半径R(厘米)少1厘米, 制作一面窗帘需将内圆镂空裁去,求裁去的面积. 初中同步培优卷 解析    (1)由题意得  解得  (2)由(1)得R=3,∵圆环内圆的半径r(厘米)比外圆的半径R(厘 米)少1厘米,∴r=R-1=3-1=2,∵制作一面窗帘需将内圆镂空裁 去,∴裁去的面积为14×π×r2=14π×22=56π(平方厘米). 初中同步培优卷 23. (2025山东泰安泰山期末,★★☆)(10分)阅读下列文字,请 仔细体会其中的数学思想. (1)解方程组 利用加减消元法,很快可求得此方程 组的解为_______. (2)如何解方程组 呢?我们可以把X-3,Y+ 1看成一个整体,设X-3=x,Y+1=y,很快可以求出原方程组的解 为_______.由此请你解决下列问题:若关于m,n的方程组  与 有相同的解,求a,b的值. 初中同步培优卷 解析    (1)  ①+②,得8x=16,解得x=2. 将x=2代入①,得4×2-3y=17,解得y=-3. 所以原方程组的解为  (2)由(1)得 解得  所以方程组 的解为  初中同步培优卷 ∵关于m,n的方程组 与 有相同的解, ∴ 解得  将bn=7代入方程2m-bn=-2,得2m-7=-2,解得m= ,将m= 代入方 程3m+n=5,得3× +n=5,解得n=- , 所以 a=4,- b=7,解得a= ,b=- . 初中同步培优卷 24. (2025山东日照期末,★★★)(12分)某家电专卖店销售A,B 两种型号的空调,已知四、五月份的销售情况如表所示: A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 初中同步培优卷 (1)求两种型号空调的销售单价. (2)六月份进入空调销售高峰期,专卖店为提升销售额,决定对 A,B两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政 策:换购一台A型空调每台旧空调可抵1 200元;每台B型空调 优惠10%.某公司计划购买m台A型空调,n台B型空调,公司现 有旧空调若干(数量大于m)可供换购,若购买资金为36 000元, 请问有几种购买方案?并写出所有可行的购买方案. 初中同步培优卷 解析    (1)设A型空调的销售单价是x元,B型空调的销售单价 是y元, 根据题意得  解得  答:A型空调的销售单价是6 000元,B型空调的销售单价是4 000元. (2)根据题意得(6 000-1 200)m+4 000×(1-10%)n=36 000, ∴n=10- m. 初中同步培优卷 ∵m,n均为正整数,∴ 或  ∴共有2种购买方案, 方案1:购买3台A型空调,6台B型空调; 方案2:购买6台A型空调,2台B型空调. 初中同步培优卷 $