2026年中考专题复习——解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用 1．波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线MN轴对称，线段PE和PF是可伸缩连接杆，点E，F的位置固定不变，在海浪波的带动下点P处齿轮组可以在MN上来回滑动生成动力．已知AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，MN＝10m，∠EAB＝127°，∠ECD＝135°，求连杆PE+PF的最小值．（结果精确到0.1m）（参考数据：，，．） 2．一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，其示意图如图2所示．已知B'、O'、C三点在同一直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°． （1）求散热架ACO'的高度O'C； （2）垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，取1.73） 3．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　 　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （3）请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 4．万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1．无人机在点A处以5m/s的速度竖直上升6s后，飞行至点B处． 2．调整无人机位置，使得点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上且DE⊥AE． 3．在点B处测得塔顶D的俯角为21°． 4．然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 参考数据 sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38 应用 请根据以上数据计算DE的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 5．【材料阅读】： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即n，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 【问题解答】： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线，测得折射角∠NOQ＝37°，NQ＝12cm．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：参考数据：sin37°，cos37°，tan37°） （1）sin∠CON＝　 　 ； （2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm） 6．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧BOT》．图2是其动作1的示意图，胳膊AB＝40cm，OB＝30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OD＝20cm，手绢OD与手臂OB始终保持垂直． （1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为16cm，即BF＝16cm，求肘关节角∠ABO的度数． （2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转90°，即∠BAB′＝90°，同时调节肘关节角∠AB′O′＝90°，完成动作2．问此时手绢端点D′与机器人身体AE的水平距离，即D′G的长度为多少？ （参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92．） 7．小华家院子里有如图一把遮阳伞，他发现在一天当中，遮阳伞保持不动的情况下，伞下的投影长度会随着时间推移而变化．于是他测量了相关数据，并画出了侧面示意图．已知遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE． （1）如图1，当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，求DF落在地面上的投影GH； （2）如图2，遮阳伞保持（1）中角度不动，当太阳光线与地面的夹角为α时，求DF落在地面上的投影GH（结果用含α的式子表示）． 8．综合与实践 香炉洲大桥是湘江流域主塔最高、跨度最大的独塔斜拉桥，是湖南基建的标志性成就，更是绿色建造领域的标杆工程．数学实践小组查阅相关资料，其主塔“湘江之钻”造型的高度为202米，这个高度包含了塔基、承台塔座等水下部分，他们计划运用所学知识测量香炉洲大桥的主塔相对于桥面的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点A是大桥主塔顶部一点，AB为主塔相对于桥面的高度．无人机在主塔上方点C处时，测得主塔顶部A处的俯角∠DCA＝22°，底部B处的俯角∠DCB＝71°，沿水平方向由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠D＝45°，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求大桥主塔相对于桥面的高度AB；（结果精确到1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90） 【方案反思】 （2）湘湘同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到桥面EF的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（22°，71°，84米，45°）中至多可以删减的数据为　 　 ． 参考答案与试题解析 1．解：如图所示， 连接EF交MN于点O，过点 C作 CG⊥EF于点G，过点A作AH⊥EF于点H． 由题意可知：OG＝CN，OH＝AM，CG＝ON，AH＝MO， ∵， ∵AB＝2，CD＝5， ∴OG＝CN＝2.5，OH＝AM＝1， ∴HG＝OG﹣OH＝2.5﹣1＝1.5， ∵∠EAB＝127°，∠ECD＝135°，∠GCN＝∠HAM＝90°， ∴∠ECG＝∠ECD﹣∠GCN＝135°﹣90°＝45°，∠EAH＝∠EAB﹣∠HAM＝127°﹣90°＝37°， ∵∠CEG＝90°﹣45°＝45°，， ∴CG＝EG， ∠AEH＝90°﹣37°＝53°，， ∴， ∴MN＝ON+OM＝CG+AH＝10， ∴， 解得 ， ∴， 当点P运动到点O处时，即P，E，F三点共线时，PE+PF取得最小值，即 PE+PF＝EF＝11.9， 答：连杆PE+PF的最小值是11.9m． 2．解：（1）如图2，Rt△ACO′中， ∵sinA＝sin37°0.6， ∴O′C＝40×0.6＝24； （2）如图1，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOH＝180°﹣120°＝60°， ∵sin∠BOH， ∴BH＝2020×1.73＝34.6， 如图2，B′C＝O′C+O′B′＝24+40＝64， ∴垫入散热架后，显示屏顶部B'的竖直高度比原来升高了64﹣34.6＝29.4． 3．解：（1）延长HG交BT于点X， 由题意得：∠ECF＝90°，EF∥HG， ∵∠CEF＝15°， ∴∠EFC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠HXF＝∠EFC＝75°， ∵∠GHK＝15°， ∴∠HKF＝75°﹣15°＝60°， 故答案为：60； （2）延长NK交HG于点Y，则∠HKY＝90°， 由题意得：∠FGX＝90°，FG＝4cm，HK＝26cm， ∵∠HXF＝75°， ∴∠KXY＝75°， ∴FX4.12cm， ∵∠GHK＝15°， ∴YK＝26×tan15°≈7.02cm，∠Y＝75°， ∴∠Y＝∠KXY， ∴XK＝KY＝7.02cm， ∴FK＝FX+XK≈11.1（cm）， 答：FK的长约为11.1cm； （3）延长MN，SR交于点Z，则∠KNZ＝∠MRZ＝90°， ∵∠NKT＝∠XKY＝90°﹣60°＝30°，KN＝4cm， ∴KC14.62cm，∠KC1M＝60°， ∵∠NMR＝15°， ∴∠MRC1＝45°， ∴∠KRZ＝∠SRT＝45°， 作ZA1⊥BT于点A1，则∠ZA1C1＝∠ZA1R＝90°， 由题意得：ZR＝YK＝7.02cm， ∴A1Z＝A1R4.98cm， ∴A1C12.89cm， ∵SR＝4cm， ∴RT2.84cm， 由题意得：EF＝26cm，∠ECF＝90°， ∵∠CEF＝15°， ∴CF＝26×sin15°≈26×0.26≈6.8cm， ∴BT＝4+6.8+11.1+4.62+2.89+4.98+2.84≈37（cm）． 答：BT的长约为37cm． 4．解：由题意可知：AB＝5×6＝30（m）， ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 则BC＝AB＝30m， 延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝30m， 设DE＝xm， 则DF＝（30﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（30﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（60﹣x）m， ∵tan∠FBD， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即30﹣x＝（60﹣x）×0.38， 解得：x≈11.6， 答：DE的高度约为11.6m． 5．解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm， ∴ON1216（cm）， ∵我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ∴sin∠POMsin37°； ∴sin∠CON＝sin∠POM， 故答案为：； （2）∵∠POM＝∠CON， ∴sin∠POM＝sin∠CON， 在Rt△CON中，sin∠CON， ∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm， 在直角三角形CON中，由勾股定理得：ON3x（cm）， ∴3x＝16， 解得：， ∴CN＝4xcm， ∴CQ＝CN﹣NQ129.3（cm）． 6．解：（1）在Rt△ABF中，AB＝40cm，BF＝16cm， ∴， ∵cos66.4°≈0.40， ∴∠ABF＝66.4°， ∴∠ABO＝180°﹣66.4°＝113.6°； （2）如图2，过点A作⊥OB交OB的延长线于点F，过点B′作B′⊥AE于点M，过点O′作O′⊥MN于点N，交GD′于点H， ∴四边形GHNM是矩形， 由（1）知∠ABF＝66.4°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣66.4°＝23.6°， ∵∠BAB′＝∠FAM＝90°， ∴∠MAB′＝∠BAF＝23.6°， ∵∠AMB′＝∠AB′O′＝∠B′NO′＝∠B′O′D′＝90°， ∴∠NB′O′＝90°﹣∠AB′M＝∠MAB′＝23.6°，∠HO′D′＝90°﹣∠B′ON＝∠NB′O′＝23.6°， ∵机器人手臂AB绕肩关节点A向下旋转90°，旋转的手绢近似圆形，半径OD＝20cm，手绢OD与手臂OB始终保持垂直， ∴AB′＝AB＝40cm，O′B′＝OB＝30cm，O′D′＝OD＝20cm， ∵四边形GHNM是矩形， ∴GH＝MN， ∴D′G＝MB′+B′N+D′H ＝AB′•sin23.6°+O′B′•cos23.6°+O′D′•sin23.6° ＝40×0.4+30×0.92+20×0.4 ＝51.6（cm）， ∴D′G的长度为51.6cm． 7．解：（1）如图，过点G作GM垂直于FH，∠DGB＝∠FHB＝60°， 由题意，∠ADE＝∠DGB＝60°，且AE＝DE， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝0.6m，DF＝1.8m， ∵∠FDG＝∠F＝∠FMG＝90°， ∴四边形DGMF为矩形， ∴GM＝DF＝1.8m， ∴， ∴． （2）如图，过点G作GN∥DF交FH于点N，过点N作NP⊥BC于点P，过点F作FQ⊥BC于点Q，交GN于点M， ∵∠ADE＝60°， 由（1）得，DF＝1.8m， ∵DF平行于GN，DG平行于FH， ∴GN＝DF＝1.8m， 在Rt△GNP中，，， ∵AB⊥BC，FQ⊥BC， ∴AB∥FQ， ∴∠DFQ＝∠ADE＝60°， ∵GN∥DF， ∴∠GMQ＝∠DFQ＝60°， ∴∠NGP＝90°﹣∠GMQ＝90°﹣60°＝30°， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．解：（1）如图，由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠D＝45°，延长BA交CD于点G，则AG⊥CD． 在Rt△AGD中，∠D＝45°， ∴． 设AG＝DG＝x米，则CG＝CD﹣DG＝（84﹣x）米． 在Rt△AGC中，∠ACG＝∠DCA＝22°， ∴，即， 解得：x≈24（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴AG＝DG＝24米，CG＝60米． 在Rt△GBC中，∠BCG＝71°， ∴， ∴BG＝CG•tan71°≈60×2.90＝174（米）， ∴AB＝BG﹣AG＝174﹣24＝150（米）， 答：大桥主塔相对于桥面的高度AB约为150米； （2）无人机能实时显示点C到桥面EF的距离，结合（1）可知，利用数据22°，71°，求得AG的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为84米和45°， 故答案为：84米和45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $