7.2.3 第2课时 平行线的性质与判定的综合-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线的性质与判定综合应用，通过基础题回顾性质判定，过渡到综合题，结合铅笔、猪蹄等模型搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融入护眼灯、抖空竹等生活情境，以模型解读培养几何直观，通过推理过程训练推理能力，体现数学眼光与思维。学生能提升应用意识，教师可高效开展分层教学。

第七章　相交线与平行线 7.2　平行线 7.2.3　平行线的性质 第2课时　平行线的性质与判定的综合 初中同步培优课堂  　平行线的性质与判定的综合 1.【学科特色·教材变式P19T5】(2024内蒙古呼和浩特中考) 如图,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则 ∠4的度数为 ( ) A.75°　　    B.105°　　    C.115°　　    D.130°     B     初中同步培优课堂 解析　如图,   ∵∠1=∠2=130°,∴l1∥l2,∴∠5=∠3=75°. ∵∠5+∠4=180°, ∴∠4=180°-∠5=180°-75°=105°.故选B. 初中同步培优课堂 2.(2025四川绵阳三台期中)将一副三角尺按如图所示的方式 摆放,过点E作直线AB,过点F作直线CD,且AB∥CD.若∠HFD =30°,则∠AEG的度数为 ( )   A.30°　　    B.45°　　    C.60°　　    D.75°     B     初中同步培优课堂 解析　由题意得∠EGH=45°,∠GHF=30°, ∵∠HFD=30°,∴∠GHF=∠HFD,∴CD∥GH. ∵AB∥CD,∴AB∥GH. ∴∠AEG=∠EGH=45°.故选B. 初中同步培优课堂 3.【学科特色·铅笔模型】(2025重庆沙坪坝期中)近几年中学 生近视的情况越来越严重,为保护视力,某公司推出了护眼灯, 其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中AD⊥ DE,BC∥DE.经使用发现,当∠B=126°时,台灯光线最佳,此时 ∠BAD的度数为____________.            144°     初中同步培优课堂 解析　如图所示,过点A作AF∥BC. ∵BC∥DE,∴BC∥DE∥AF, ∴∠D+∠DAF=180°,∠B+∠BAF=180°. ∵AD⊥DE,∴∠D=90°,∴∠DAF=180°-∠D=90°. ∵∠B=126°,∴∠BAF=180°-∠B=180°-126°=54°. ∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°+54°=144°. 初中同步培优课堂 模型解读 如果两条平行线中间有向外的拐点,如图,就得到了铅笔模型. 该模型常用结论:若AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°.   初中同步培优课堂 4.(2025河南郑州高新区期中)把下列推理过程补充完整,并在 括号里填上推理的依据. 如图,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.试说 明:DF∥AB. 证明:∵BE是∠ABC的平分线, ∴∠1=∠2(____), 又∵∠E=∠1(已知), ∴∠E=∠2(____), ∴______(____), 初中同步培优课堂 ∴∠A+∠ABC=180°(____), 又∵∠3+∠ABC=180°(已知), ∴∠A=∠3(____), ∴DF∥AB(____). 初中同步培优课堂 解析　∵BE是∠ABC的平分线, ∴∠1=∠2(角平分线的定义), 又∵∠E=∠1(已知), ∴∠E=∠2(等量代换), ∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行), ∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补), 又∵∠3+∠ABC=180°(已知), ∴∠A=∠3(同角的补角相等), ∴DF∥AB(同位角相等,两直线平行). 初中同步培优课堂 5.(2025浙江杭州月考)如图,已知∠DEC=90°,∠AGF=∠ABC, ∠1与∠2互补,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.   初中同步培优课堂 解析    BF⊥AC.理由如下: ∵∠AGF=∠ABC,∴GF∥BC,∴∠1=∠3. ∵∠1与∠2互补,∴∠1+∠2=180°, ∴∠3+∠2=180°,∴BF∥DE, ∴∠BFC=∠DEC=90°,∴BF⊥AC. 初中同步培优课堂   6.【学科特色·猪蹄模型】(2025福建中考,★★☆)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,把一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B= 45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的度数为 ( )     B A.5°　　    B.15°　　    C.25°　　    D.35° 初中同步培优课堂 解析　根据题意得∠ACB=45°,∠DEF=60°. 如图,过点E作EG∥AD. ∵AD∥BC,∴EG∥BC,∴∠GEC=∠ACB=45°. ∴∠DEG=∠DEC-∠GEC=60°-45°=15°. ∵EG∥AD,∴∠ADE=∠DEG=15°,故选B. 初中同步培优课堂 模型解读 如果两条平行线中间有向内的拐点,如图,就得到了猪蹄模型. 该模型常用结论:若AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C.   初中同步培优课堂 7.(2024山东潍坊中考,★★☆)一种路灯的示意图如图所示,其 底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成锐角α =15°,顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF与FG所成 锐角的度数为( )   A.60°　　    B.55°　　    C.50°　　    D.45°     A     初中同步培优课堂 解析　如图,过点E作EH∥AB.   ∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG. ∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°. ∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°. ∴∠EFG=180°-∠FEH=60°. ∴EF与FG所成锐角的度数为60°,故选A. 初中同步培优课堂 8.【学科特色·鹰嘴模型】【新课标·中华优秀传统文化】(20 25四川巴中期末,★★☆)为增强学生体质,感受中国的传统文 化,我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空 竹”引入体育社团.图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间,小 明把它抽象成图2的数学问题:已知AB∥CD,∠E=28°,∠ECD= 114°,则∠A的度数是___________.     86°     初中同步培优课堂 解析　如图,过点E作EF∥CD. ∵EF∥CD,∴∠1+∠C=180°. ∵∠C=114°,∴∠1=180°-114°=66°. ∵∠CEA=28°,∴∠FEA=∠1+∠CEA=94°. ∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AB. ∴∠FEA+∠A=180°,∴∠A=180°-94°=86°. 初中同步培优课堂 模型解读 鹰嘴模型常分为两种:内拐角型、外拐角型,三个角之间存在 如下的关系.       初中同步培优课堂 9.(2025河南许昌禹州期中改编,★★☆)如图所示的是一种躺 椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面EF, 前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交 于点N,∠AOE=∠BNM. (1)试说明:OE∥DM. (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=32°,求扶手AB与靠背DM的夹角 ∠ANM的度数. 初中同步培优课堂 解析    (1)证明:∵∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM, ∴∠AOE=∠AND.∴OE∥DM. (2)∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF, ∴AB∥CD.∴∠BOD=∠ODC=32°. ∵∠AOF+∠BOD=180°,∴∠AOF=148°. ∵OE平分∠AOF,∴∠EOF= ∠AOF=74°. ∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=106°. ∵OE∥DM,∴∠ANM=∠BOE=106°. 初中同步培优课堂   10.【新课标·推理能力】(2025湖北武汉江汉期末)如图,AB∥ CD,AE∥DF,EG,DG分别平分∠AEF和∠FDC,若∠BAE=40°, ∠EFD=160°,则∠G的度数是___________.     60°     初中同步培优课堂 解析　如图,延长AE交CD的延长线于点L,过点E,G分别作HI ∥AB,JK∥AB,   ∵AB∥CD,∴AB∥HI∥JK∥CD.∴∠8=∠1=∠BAE=40°, 初中同步培优课堂 ∵AE∥DF, ∴∠AEF=∠EFD=160°,∠FDC=∠1=40°, ∵EG,DG分别平分∠AEF和∠FDC, ∴∠5=∠6= ∠FDC=20°,∠AEG=∠3= ∠AEF=80°, ∴∠2=∠AEG-∠8=80°-40°=40°, ∵HI∥JK∥CD,∴∠4=∠2=40°,∠7=∠5=20°, ∴∠EGD=∠4+∠7=40°+20°=60°. 初中同步培优课堂 11.【新课标·推理能力】(2025陕西咸阳永寿期中)如图,已知 ∠AOB,点C在射线OA上,CD∥OE. (1)如图①,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度数. (2)如图②,若∠AOB=130°,射线OE沿射线OB平移得到O'E'.探 究∠OCD和∠BO'E'的数量关系. 初中同步培优课堂 (3)如图③,在(2)的条件下,作PO'⊥OB,垂足为O',与∠OCD的 平分线CP交于点P,若∠BO'E'=α,试用含α的式子表示∠CPO' 的度数. 初中同步培优课堂 解析    (1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°. ∵∠AOB=90°,∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-120° -90°=150°. (2)如图,延长EO到F,   ∵CD∥OE,OE∥O'E',∴OF∥CD∥O'E',∴∠AOF=180°- 初中同步培优课堂 ∠OCD,∠BOF=∠E'O'O=180°-∠BO'E',∴∠AOB=∠AOF+ ∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E'=360°-(∠OCD+ ∠BO'E')=130°.∴∠OCD+∠BO'E'=230°. (3)如图,过点P作PH∥CD,延长E'O'到G,   ∵CD∥OE,OE∥O'E',∴PH∥CD∥O'G, 初中同步培优课堂 ∴∠CPH=∠DCP,∠O'PH=∠PO'G, ∵CP是∠OCD的平分线,∴∠DCP= ∠OCD. ∵PO'⊥OB,∴∠PO'B=90°, ∴∠PO'G+∠BO'G=90°, ∵∠BO'G=180°-∠BO'E'=180°-α, ∴∠PO'G=90°-∠BO'G=90°-(180°-α)=α-90°, 由(2)可得∠OCD+∠BO'E'=230°, ∴∠OCD=230°-∠BO'E'=230°-α, 初中同步培优课堂 ∴∠CPH=∠DCP=115°- α, ∴∠CPO'=∠CPH+∠O'PH=∠DCP+∠PO'G=115°- α+α-90° =25°+ α. 初中同步培优课堂 $