专题05平行四边形专项训练(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题05平行四边形专项训练 题型01.平行四边形的性质 题型02.求平行线间的距离 题型03.利用平行线间距离解决问题 题型04.平行四边形的判定 题型05.补全条件判定平行四边形 题型06.平行四边形计数与三点构成问题 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.由平行四边形判定与性质求解 题型09.由平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质和判定的应用 题型11.三角形中位线的求解问题 题型12.三角形中位线的证明问题 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形的动点问题 题型15.平行四边形的折叠问题 题型16.平行四边形的最值问题 题型01.平行四边形的性质 1．如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 2．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等角，利用等角对等边得到，再根据线段的和差关系计算EF的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ，． 平分，平分， ，． ，． ，． 当为与的重叠部分时， ． ． 当为与的不重叠部分时， ． ． ． 故答案为：． 3．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 【答案】 【分析】根据三角形性质可得S1=， S2=，根据平行四边形性质可得 ，然后可以得到解答． 【详解】解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上， ∵O是AC中点，E是BC中点， ∴S1=， ∵DF=， ∴S2=， ∴S1：S2=， 即， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 5．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 题型02.求平行线间的距离 7．在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 8．如图，，，若，，求中边上的高等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积求出△ABC的边AB上的高BC，再根据平行线间的距离相等解答． 【详解】解：∵， ，， ∴S△ABC= =， 解得BC= 6， ∵A BCD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高等于6cm， 故答案为：6cm． 【点睛】本题考查了三角形的面积以及平行线间的距离相等的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 9．如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10．已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点B作直线的垂线，交直线于点，根据平行线间距离处处相等，得到，利用三角形面积公式即可求解； （2）由，推出，由，推出，则，从而得到再由角平分线的定义得到，则． 【详解】（1）解：过点B作直线的垂线，交直线于点， ，， ， ∵， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型03.利用平行线间距离解决问题 11．如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半是解题的关键．由平行四边形的性质得，设与之间的距离为，则，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为8，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 设与之间的距离为，则， ， ， 图中阴影部分的面积为8， 故答案为：8 12．如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为_______． 【答案】32 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：32． 13．点E是的边上一点，连接并延长交延长线于F，连接，则下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离处处相等．利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合三角形和梯形面积公式，验证各选项，找出不一定成立的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴，， 设平行四边形边上的高为h， 则， 依题意，与同底，且底边长为， ∵， ∴点C和点D到直线的距离相等，均为h， ∴，A选项一定成立，不符合题意； ∵平行四边形对角线平分面积， ∴， 在中，底，高为到直线的距离，等于h， ∴，B选项一定成立，不符合题意； ∵ ∴四边形是梯形，上底为，下底为，高为h， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，C选项一定成立，不符合题意； 依题意， ， 若 则，化简得，仅当E是中点时该等式成立，E不是中点时不成立， 故D选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 14．如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 题型04.平行四边形的判定 15．如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A、，，可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 16．在四边形中，现给出下列结论： ①若，，则四边形是平行四边形； ②若，，则四边形是平行四边形； ③若，，则四边形是平行四边形； ④若，，则四边形是平行四边形． 其中正确的结论是____________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据，可得，又由于，可判定，再依据平行四边形的定义可得结论；过点作于，在上截取，连接，根据线段垂直平分线性质可得出 ，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，再结合平行四边形的性质，可证出，，这样的四边形满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四边形，所以④错误，这样就可得解． 【详解】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误； ②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确； ③∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 因此③正确； ④作，连接， 过点作于，在上截取，连接， ∵，， ∴， 将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 显然，图中的四边形不是平行四边形． 所以④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质与作图，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解本题的关键，同时要注意真命题需要证明，假命题只需举出反例即可． 17．如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 题型05.补全条件判定平行四边形 18．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 【答案】AB=CD 【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答． 【详解】解：添加AB=CD， ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB=CD（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 19．如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 20．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 【答案】D 【详解】解：A、 ∵ ，即两组对边分别相等， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B 、∵ ，即两组对边分别平行， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C 、∵ ，即对角线互相平分， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D 、∵ ， ∴ 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故此选项符合题意． 21．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 题型06.平行四边形计数与三点构成问题 22．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 23．在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据题意画出图形即可解决问题． 【详解】解：根据题意、、、画图如下： A、将点先向左平移1个单位，再向上平移6个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； B、将点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； C、由可得将点先向左平移1个单位，再向上平移7个单位后，不能使、、、围成的四边形是平行四边形，符合题意； D、将点先向左平移11个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 24．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 25．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 题型07.证明四边形是平行四边形 26．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定，根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判断． 【详解】解：， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故选：A． 27．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平行四边形的判定，由平行四边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故答案为：③． 28．综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（  ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由作图可得，，据此可得求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，，， ∴魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：． 29．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 题型08.由平行四边形判定与性质求解 30．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图所示，    根据题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 31．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出、，结合判定为等腰三角形，过点作，得到，再由勾股定理算出的长度；接着由为的中点，根据三角形中位线定理，得是的中位线，从而得到的长度及；再由为的中点，求出的长度，证得与平行且相等，据此判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，得出，求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，． ， ， 是等腰三角形． 如图，过点作于点，连接． ， 在中，由勾股定理得：． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ． 32．如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点M作于点N，作交延长线于点E，可得四边形是平行四边形， ， ，，得是直角三角形，，由，得，即得． 【详解】解：过点M作于点N，作交延长线于点E， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 33．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 题型09.由平行四边形性质与判定证明. 34．如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 35．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 36．如图，在中，对角线相交于点O，，E、F、G分别是的中点，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据可得，由E是的中点，即可判断①；由E是的中点，，可得，再由点E、F是的中点，即可判断②；证明四边形是平行四边形，可判断③，由，即可判断④； 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴，故①正确； ∵E是的中点，， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵点E、F是的中点， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确。 故选：D.    【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键. 37．如图，已知在中，E，F分别在边上，且相交于O，连接．求证：； 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型10.平行四边形性质和判定的应用 38．如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可； 【详解】解：∵点、分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，熟知三角形中位线定理并能正确识图是解题关键． 39．如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________．    【答案】 【分析】连接，，根据反比例函数的性质可得点在线段上，且，由点是反比例函数的图象上的点，可得，由轴，可得点的坐标为，进而可得的长，从而可以判断四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，整理得：． 【详解】解：连接，，如图，    、关于原点对称，且是反比例函数的图象上的两点， 点在线段上，且， 是反比例函数的图象上的点， ， ∥y轴， 点的坐标为， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、三角形面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 40．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 41．如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形判定及性质．根据题意连接、、、，即可判定四边形是平行四边形，继而得到本题答案． 【详解】解：证明：连接、、、， ，是四边形的边的中点，是的中点． ，， ∴，， 同理，， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 题型11.三角形中位线的求解问题 42．如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点．则的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用中位线定理分别求出的三条边长，再将三边长度相加得到周长，从而选出正确选项． 【详解】解：∵点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． 同理，，． ∴的周长为． 43．已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 【答案】1 【分析】延长交于F，证明，得到，，得到是的中位线，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：延长交于F， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴是的中位线， ∴． 44．如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时C、E、F三点的位置关系． 取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，当在上方且C、E、F三点共线时，有最大值． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 取的中点F，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如图，当在上方时， 如果C、E、F三点共线，则有最大值， 最大值为， ∴的长不可能是． 45．如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 题型12.三角形中位线的证明问题 46．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，的中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 47．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为______． 【答案】4 【分析】由三角形中位线定理得到，由平行线的性质推出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：点D、E、F分别是直角各边的中点， ，是的中位线， ， ， ， ，， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 48．如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤． 【详解】∵，但不一定等于， ∴不一定等于，故①错误； ∵， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵中点为F ∴，故②正确； 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∴，故③错误； 如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，而不一定等于 ∴不一定等于，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②④． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 题型13.三角形中位线的实际应用 49．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵点，是，的中点 ∴米， 故选：D． 50．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 51．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数． 【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°， ∴∠B=40°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40° ∴∠DEB=140°， ∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般． 52．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图①，直线即为所求． （2）如图②，直线即为所求． 题型14.平行四边形的动点问题 53．如图，平行四边形中，，．点为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点．的延长线交平行四边形于点．若点在线段上，且不与端点重合，则线段长度的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质及勾股定理分当点与点重合，和点和点重合两种情况求出临界值，即可得解． 【详解】解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 如图，当点和点重合时，过作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴即， ∴，解得， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴即， 解得， ∴线段长度的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质及解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质及解直角三角形是解题的关键． 54．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 _____ ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 55．如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答． 根据平行四边形的性质得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 当为2秒时，四边形是平行四边形． 故答案为：2． 56．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型15.平行四边形的折叠问题 57．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】延长交于，由平行四边形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质和勾股定理得，由折叠的性质，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质等；掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 58．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴． 由折叠可得． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 59．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线构造等腰直角三角形． 由平行四边形的性质可知O是、的中点，最短也就是最短，所以过O作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵最短也就是最短， 过O作于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 60．在平行四边形中，，点为线段的三等分点靠近点，点为线段的三等分点靠近点，且．将沿对折，边与边交于点，且． (1)证明：四边形为矩形； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）根据题意得出，证明四边形为平行四边形，根据，即可证明四边形为矩形； （2）根据沿对折得到，根据对称性得出，则，，则，进而得出进而根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，， 点为线段的三等分点靠近点， ， 点为线段的三等分点靠近点， ， ， ， 四边形为平行四边形； ， ， 四边形为矩形； （2）解：， ，， 将沿对折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型16.平行四边形的最值问题 61．如图，中，，，、为对角线边上两个动点（不与点、重合），连接、．若，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以点为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点作，交的延长线于点，证明和相似得，则，由此得当为最小时，为最小，因此当，，在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长，故得的最小值是线段的长，先求出，则，进而得，，，然后在中由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：以点为顶点，为一边在的上方作，且使，连接，过点作，交的延长线于点，如图所示： 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，， ∴ 又， ∴ ， ∴ ， ， 当为最小时，为最小，当，，在同一条直线上时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ∴， 的最小值是， 故答案为：． 62．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___． 【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵平行四边形的坐标分别为、、、， ∴，， ∵点A关于的对称点为， ∴， 在中，由三角形三边关系可知：， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形三边的关系，以及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 63．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，，作交的延长线于，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，作交的延长线于，   由题意可得：，， 点是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，，， ， ，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ， 在中，，，， ， 在中，， ， 的最小值为； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形专项训练 题型01.平行四边形的性质 题型02.求平行线间的距离 题型03.利用平行线间距离解决问题 题型04.平行四边形的判定 题型05.补全条件判定平行四边形 题型06.平行四边形计数与三点构成问题 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.由平行四边形判定与性质求解 题型09.由平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质和判定的应用 题型11.三角形中位线的求解问题 题型12.三角形中位线的证明问题 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形的动点问题 题型15.平行四边形的折叠问题 题型16.平行四边形的最值问题 题型01.平行四边形的性质 1．如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 2．在平行四边形中，，，、的平分线分别交于F、E，则线段的长表示为______．（用a、b表示） 3．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 5．如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 题型02.求平行线间的距离 7．在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为________． 8．如图，，，若，，求中边上的高等于______． 9．如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 10．已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 题型03.利用平行线间距离解决问题 11．如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 12．如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为_______． 13．点E是的边上一点，连接并延长交延长线于F，连接，则下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 题型04.平行四边形的判定 15．如图，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．在四边形中，现给出下列结论： ①若，，则四边形是平行四边形； ②若，，则四边形是平行四边形； ③若，，则四边形是平行四边形； ④若，，则四边形是平行四边形． 其中正确的结论是____________．（写出所有正确结论的序号） 17．如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.补全条件判定平行四边形 18．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 19．如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是________ 20．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 21．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 题型06.平行四边形计数与三点构成问题 22．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 23．在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 24．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 25．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 题型07.证明四边形是平行四边形 26．将两个全等的三角形与按如图所示方式摆放，其中点A，B与点，是对应顶点，连接，，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 27．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 28．综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（  ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 29．如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 题型08.由平行四边形判定与性质求解 30．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数为________． 31．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 32．如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 33．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 题型09.由平行四边形性质与判定证明. 34．如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为______． 35．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 36．如图，在中，对角线相交于点O，，E、F、G分别是的中点，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，已知在中，E，F分别在边上，且相交于O，连接．求证：； 题型10.平行四边形性质和判定的应用 38．如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ）    A．3 B．2 C． D． 39．如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________．    40．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______． 41．如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 题型11.三角形中位线的求解问题 42．如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点．则的周长为（   ） A．9 B． C． D． 43．已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 44．如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 45．如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 题型12.三角形中位线的证明问题 46．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 47．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为______． 48．如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 题型13.三角形中位线的实际应用 49．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 50．如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 51．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 52．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 题型14.平行四边形的动点问题 53．如图，平行四边形中，，．点为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点．的延长线交平行四边形于点．若点在线段上，且不与端点重合，则线段长度的取值范围为________． 54．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 _____ ． 55．如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当_____时，四边形是平行四边形． 56．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 题型15.平行四边形的折叠问题 57．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为__________． 58．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 59．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线长度的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 60．在平行四边形中，，点为线段的三等分点靠近点，点为线段的三等分点靠近点，且．将沿对折，边与边交于点，且． (1)证明：四边形为矩形； (2)求平行四边形的周长． 题型16.平行四边形的最值问题 61．如图，中，，，、为对角线边上两个动点（不与点、重合），连接、．若，则的最小值为______________． 62．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为、、、，点P是边上的一个动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___． 63．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（　　）    A．4 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $