专题06 平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 方法总结 1.周期找规律：观察动点移动路径，发现其周期性或循环规律，用周期余数定位当前位置。 2.坐标分解：将移动分解为x方向与y方向的独立运动，分别求和或找规律。 解题技巧 1.画图追踪：在坐标系中画出前几次移动轨迹，直观发现规律。 2. 归纳通式：用含n的代数式表示第n次移动后的坐标（分段表示）。 例1.(25-26七年级上·山东济宁期末)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右 运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度.在 平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点？，第2次从点P出发按乙方式 运动到点，第3次从点D出发再按甲方式运动到点P,第4次从点出发再按乙方式运动到点P,·依 此运动规律，则经过第26次运动后，动点P所在位置P。的坐标是() 4 2之 -5-4-3-2-102345x B-I -2 -3引 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-10,-11 B.-11,-12 C.-12,-12 D.-13,-13 【变式1-1】(25-26七年级下·全国期中)如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向，从 原点出发，第1次运动到点P(1,1,第2次运动到点P(2,0),第3次运动到点P(3,-2),第4次运动到点 P,(4,0),…按这样的运动规律，点P2s的坐标是() (1.1) (5.1) (9.1) (2,0) (6,0) (10,0) 4,0) (8,0) 712,0)主 (3,-2) (7,-2) (11,-2) A.（2025,1 B.2025,-2 C.2023,1 D.2023,-2 【变式1-2】(25-26八年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为 A(-2,1,B(-2,-1,C(1,-1,D(1,1,如图所示.点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为 每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度.记P,Q在长 方形边上第一次相遇时的点为M1,第二次相遇时的点为M2,第三次相遇时的点为M3,…,如此继续，则 点M2026的坐标为() VA D B A.(1,0 B.（-2,-1 C.-2,1 D.1,-1 【变式1-3】(25-26八年级上江西九江期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,1)、B(-1,、 C(-1,-2)、D(1,-2),动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环 绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则 第2025次相遇点的坐标是() 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.（-1,0 B.-1,-2 C.(1,-2) D.(1,0) 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 方法总结 1. 对称方式：明确每次对称是关于x轴、y轴还是原点，按对称规则逐次推导坐标变化。 2.周期归纳：多次对称后常出现周期规律，归纳出周期长度与对应坐标的通项公式。 解题技巧 1.列表跟踪：列出前几次对称后的坐标，观察符号变化规律。 2.分奇偶讨论：常按对称次数为奇数或偶数分类，分别写出坐标表达式。 例2.(25-26八年级上·江苏宿迁·期末)如图，光点P从(0,2)处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形 OABC的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）.当光点P第2026次碰到长方形 OABC的边界时，光点P的坐标为() B D A 345678 A.(8,2 B.(6,0) C.(2,4) D.(6,4 【变式2-1】(25-26八年级上安徽宿州期末)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向 左平移1个单位长度.再竖直向下平移2个单位长度，得点P(-1,-2)；接着水平向右平移2个单位长度， 再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得 点B；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点P,按此做法进行下去，则 点P26的坐标为() 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.(1013,2026)B.(-1013,2026) C.(1013,-2026) D.(-1013,-2026) 【变式2-2】(25-26八年级上山东东营期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点A,(0,1),A(1,1),A(1,0),A4(2,0),…那么 点A26的坐标为 A13 【变式2-3】(25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，在平面直角坐标系中，对ABC进行循环往复的轴对 称变换，若原来点A的坐标是(x,y),则经过第2026次变换后所得的点4的坐标是 第1次 第2次 第3次 第4次 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 方法总结 1.旋转规则：明确旋转中心、方向（顺/逆）和角度(90°、180°等)，按规则逐次推导坐标变化。 2.周期归纳：多次旋转后常出现周期规律（如旋转4次回到原位置），归纳出周期与通项公式。 解题技巧 1.列表跟踪：列出前几次旋转后的坐标，观察坐标值及符号的变化规律。 2.模4分类：旋转90°时，按旋转次数除以4的余数(0,1,2,3)分类讨论坐标。 例3.(25-26九年级上湖北襄阳月考)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC的顶点0在原点上， AB=CB=4,OA=OC,∠A0C=60°，AB1x轴，将四边形0ABC绕点0逆时针旋转，每次旋转90°，第2025 4/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 次旋转结束时，点C的坐标为() A.（-3,5 B.3,-V3 C.-2W3,6 D.（-6,25 【变式3-1】(25-26九年级上河南安阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴 上，且坐标原点O为AB的中点，点A的坐标为-2,0).将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°， 则第2026次旋转结束时，点D的坐标为() D AO B A.(-2,4) B.4,2 C.2,-4 D.-4,2 【变式3-2】(25-26八年级上河南平顶山期末)在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点B在第一象限内， A0=AB,LOAB=90°，将AOB先关于y轴对称得到△4，OB,将△AOB关于x轴对称得到△A,OB2,将 A,0B,关于y轴对称得到△A,OB,将△A,OB,关于x轴对称得到△A,OB4,.,则按照这样的顺序继续对称 下去，第2026次对称后，点B226的坐标为（) A.（2,2 B.-2,2 C.（-2,-2 D.（2,-2 【变式3-3】(25-26八年级上江西抚州期中)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,将 ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上，将ABC按如图2方式顺时 5/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为() B B O4)第1次滚动 第2次滚动第3次滚动第4次滚动六 图1 图2 A.2025+674V5 B.2025+675V5 C.2026+674V5 D.2026+675√5 【变式3-4】(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)在平面直角坐标系中，一个图形向右平移Q个单位长 度，再绕原点按顺时针方向旋转O角度，这样的图形运动叫做图形的y(α，0)变换.现将斜边为1的等腰直 角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，ABC经y(1,I80°)变换后得△A,B,C为第一次变换， △AB,C经y(2,180°)变换后得△4，B,C2为第二次变换，.，经y(n,180)变换得△A B.C,则点C的坐标 是 VA B A 旋转 【变式3-5】(2026九年级下·全国专题练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，有一个等腰直角三角形 AOB,∠OAB=90°，直角边A0在x轴上，且A0=2,将RtaA0B绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边 长扩大一倍，得到等腰直角三角形A,0B,将Rt△A,OB,绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍， 得到等腰直角三角形A,0B,,.·.·依此规律，得到等腰直角三角形Ao24OB2o24,则点B224的坐标为 A 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 方法总结 1.理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“距离和”），准确理解其数学含义。 2.代数转化：将新定义用坐标代数式表示，转化为方程、不等式或函数问题求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单点代入新定义试算，确保理解正确后再进行一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及绝对值、距离等，需根据坐标符号分类讨论。 例4.(25-26八年级上山西晋中期末)法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”.在 平面直角坐标系中，我们定义点P(a,b)的“笛卡尔变换”为：P→P(b+1,-a+1).己知点A的坐标为2,0】 则经过2026次笛卡尔变换后得到的点A26的坐标为() A.(0,0 B.(1,1 C.(2,0 D.(L,-1) 【变式4-1】(25-26八年级上江苏南京·月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的 距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点” (1)点A(-4,6)的“长距”为； (2)若C(-3,2b-1)的长距为7，且点C在第三象限内，点D的坐标为9+2b,-3),请判断点D是否为“角平分 线点”，并说明理由。 【变式4-2】(25-26八年级上江西九江期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的 距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点？为“完美点”. (1)A2,4的长距”为 ；B(-3,2)的“长距为 (2)若M(5-2a,-l)是“完美点”，求a的值： (3)若C(-4,3b-2)的长距为5，且C在第三象限内，D的坐标为6-2b,-8),试说明：点D是“完美点” 【变式4-3】(25-26八年级上江苏扬州月考)在平面直角坐标系中，P(α，b)是第一象限内一点，给出如下 定义：片-号和名名两个值中的最大值叫微点P的领斜系数飞 (1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值； (2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,且a+b=3,求点P的坐标. 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上全国期中)如图，平面直角坐标系中，已知点A(1,1,B(-1,1),C(-1,-2),D1,-2),动 点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点 C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标 是() P B A.（-1,-1 B.(1,-1 C.（-2,2 D.(1,2 2.(25-26八年级上全国·期中)长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从 点(0,3)出发，沿所示的箭头方向运动，到点(3,0)时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反 弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为() 12345678x A.(1,4) B.(8,3) C.(7,4) D.(0,3) 3.(2025八年级上·全国专题练习)如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内， 它从原点运动到(0，)，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即 (0,0)→(0,1→(1,1)→(1,0)→(2,0)→，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置 为() 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A5 43 A.(1,44 B.(5,44 C.（44,1 D.(44,5 4.(24-25七年级下·新疆喀什期中)定义：T是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点T分别向x 轴、y轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点T叫作“垂距点”，例如：图中的点P,Q是“垂距点”. 若M(2m-5,11-3m是第四象限的点，且点M是“垂距点”，则m的值为() P(1,3) Q(-2,2 -3-2-10123x A.2 B.4 c: D.10 5 5.(25-26八年级上全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴， 点D,C,P,H在x轴上，A(1,2),B(-1,2),D-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),把一条长为2023个单位 长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A→B→C→D→E→F→G→H→P→A.的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置 的点的坐标是() G A.-1,1 B.（1,-1 C.(1,1 D.1,0 6.(24-25八年级下·广东韶关阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0绕点A顺时针旋转到 △AB,C,的位置，点B、O分别落在点B、C处，点B在x轴上，再将△AB,C绕点B顺时针旋转到 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AB,C2的位置，点C,在x轴上，将A,B,C2绕点C2顺时针旋转到△A,B,C的位置，点A在x轴上，依次进 B(0,2).则点B225的坐标是() B2 B B4 C A A3 A B A B3 Aa A.6068,0) B.（6072,2) C.6076,0 D.(6078,2 二、填空题 7.(25-26八年级上山东阶段练习)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个 单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依 次连续变换.例如：点0(0,1)按序列01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到0(1,1)，再将 0,(1,1关于x轴作轴对称从而得到021，-1).若点A(0,-1)经过“0101..01”共2025次变换后得到点A25, 则点Ao2s的坐标为 8.(24-25七年级下·广东中山期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方 向排列，如1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1，(3,0).根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 (5,4) 4,35,3) 3,24,25,2) 2,1)3,1)4,15,1) od0b08000主 9.(24-25七年级下·全国期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),我们把点P（-y+1,x+1叫做 点P的伴随点.己知点A的伴随点为A,点4的伴随点为A,点A的伴随点为A,,这样依次得到点 10/14 专题06 平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴专练 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 方法总结 1. 周期找规律：观察动点移动路径，发现其周期性或循环规律，用周期余数定位当前位置。 2. 坐标分解：将移动分解为x方向与y方向的独立运动，分别求和或找规律。 解题技巧 1. 画图追踪：在坐标系中画出前几次移动轨迹，直观发现规律。 2. 归纳通式：用含n的代数式表示第n次移动后的坐标（分段表示）。 例1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点，第2次从点出发按乙方式运动到点，第3次从点出发再按甲方式运动到点，第4次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第26次运动后，动点P所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探究，动点P经过第26次运动后，按甲方式运动了13次，按乙方式运动了13次，再根据甲、乙的运动方式分别计算点的横、纵坐标，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，动点P经过第26次运动后，按甲方式运动了13次，按乙方式运动了13次， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标是． 故选D． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照的顺序，每个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加．利用规律求解即可． 【详解】解：根据题意及题图可知，第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点， 第8次运动到点， 易知点的运动每4次位置循环1次，每循环1次向右移动4个单位， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点． ， 点的坐标是． 故选：A. 【变式1-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为，，，，如图所示．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个单位长度．记，在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，如此继续，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据点运动的方向和距离找出相遇点的坐标的变化规律，设点，在长方形上运动秒时第一次相遇，可列方程，可知两个点每相遇一次，由规律可知点，相遇次是一个循环，第次相遇是第个循环中的第次相遇，从而可得点的坐标． 【详解】解：由，，，，可知，， 长方形的周长为， 设点，在长方形上运动秒时第一次相遇， 则， 解得：， 即点，在长方形上每运动秒相遇一次， 第一次相遇时点运动秒，运动的路程为个单位长度， 点的坐标是， 由运动规律可知，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 第次相遇的位置恰好是点， 点，相遇次是一个循环， ， 第次相遇是第个循环中的第次相遇， 点的坐标是． 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 方法总结 1. 对称方式：明确每次对称是关于x轴、y轴还是原点，按对称规则逐次推导坐标变化。 2. 周期归纳：多次对称后常出现周期规律，归纳出周期长度与对应坐标的通项公式。 解题技巧 1. 列表跟踪：列出前几次对称后的坐标，观察符号变化规律。 2. 分奇偶讨论：常按对称次数为奇数或偶数分类，分别写出坐标表达式。 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵余2， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后所得的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—轴对称，点的坐标的规律探索，观察可知每四次变换为一个循环，求出2026除以4的余数，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同可得答案． 【详解】解：由题意得，第一次变换为关于x轴对称，第二次变换为关于y轴对称，第三次变换为关于x轴对称，第四次变换为关于y轴对称，且每四次变换为一个循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的点的坐标是点A关于x轴对称后，再关于y轴对称后得到的点的坐标，即点的坐标． 故答案为：． 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 方法总结 1. 旋转规则：明确旋转中心、方向（顺/逆）和角度（90°、180°等），按规则逐次推导坐标变化。 2. 周期归纳：多次旋转后常出现周期规律（如旋转4次回到原位置），归纳出周期与通项公式。 解题技巧 1. 列表跟踪：列出前几次旋转后的坐标，观察坐标值及符号的变化规律。 2. 模4分类：旋转90°时，按旋转次数除以4的余数（0,1,2,3）分类讨论坐标。 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质等知识点，第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同是解题的关键． 通过观察发现第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，根据正方形的性质，再根据旋转2次（将正方形绕点O顺时针旋转），根据旋转的性质可得，然后根据坐标系即可解答． 【详解】解：如图：将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴每8次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，即将正方形绕点O顺时针旋转的D坐标相同， ∵正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为， ∴， 如图：将正方形绕点O顺时针旋转，此时，即， ∴第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选B． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，通过图形正确的抽象概括出数字规律是解题的关键．根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2025次后，点B的横坐标． 【详解】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，即每滚动3次，点的横坐标的值就增加1个的周长， ∴， ∵， ∴， ∴三角形三边长的和为：， 则滚动2025次后，点B的横坐标为：． 故选：D． 【变式3-4】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【变式3-5】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∴点； 故答案为：． 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“距离和”），准确理解其数学含义。 2. 代数转化：将新定义用坐标代数式表示，转化为方程、不等式或函数问题求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单点代入新定义试算，确保理解正确后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及绝对值、距离等，需根据坐标符号分类讨论。 例4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标． 【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标： ， ， ， ， …… 可见每次变换后回到初始坐标． ∵， ∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同． 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)的“长距”为____________；的“长距”为____________． (2)若是“完美点”，求的值； (3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)4；3 (2)2或3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义可得，求出答案； （3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2， ∴点的“长距”为4； ∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴的“长距”为3 故答案为：4；3 （2）解：∵是“完美点”， ∴， 解得：或2； （3）解：∵的长距为5，且在第三象限内， ∴， 解得：， ∵的坐标为， ∴点D坐标为， ∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等， 故点D是“完美点”． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，根据新定义正确列出方程是解题的关键．根据是第四象限内的点，得出点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，根据点是“垂距点”，得出，解方程即可． 【详解】解：∵是第四象限内的点， ∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为， ∵点是“垂距点”， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的特点和坐标的规律．根据坐标的特点，长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，计算，看余数判断即可． 【详解】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∴长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20， ∵， ∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 通过旋转发现，、、．．每偶数之间的相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵， ， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，轴对称变换等知识，根据变换的定义解决问题即可． 【详解】解：由题意，得 将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到； 再将作2次变换，可得，； 再将作2次变换，可得，； .....． ∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的规律问题． 根据题意找出规律，进而根据规律作答即可． 【详解】解：把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则前n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第88个点在第13列，由上到下是第10个数． 因而第个点的坐标是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每个点为一个循环依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，，， 以此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故答案为：． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为： 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的规律变化，结合题意归纳出坐标变化规律是解题的关键． 根据题意可知：，，，，，，，可归纳出，，，（为自然数），然后据此规律求解即可． 【详解】解：观察题图可得（将记作），，，，，，，， ∴，，，（为自然数）． ∵， ∴的坐标为． 故答案为． 12．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点，点，若，，即点，则表示点A到点的一个平移．例如：点，若，，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． 根据上述定义，探究下列问题： （1）已知点，点，则线段的长度是 ； （2）已知点，点，则线段的长度是 ； （3）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，点，若，（为正数），当 时，点在的直角边上． 【答案】 2 5 【分析】本题考查的是新定义，坐标与图形，勾股定理的应用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）由点，点，利用两点间距离公式可得答案． （2）由点，点，根据勾股定理即可求出线段的长度． （3）由点的坐标为， 假设点在边上时求出m，检验是否在边上，若点在边上，检验是否在边上即可求解． 【详解】解：（1）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （2）∵点，点， ∴线段的长度是． 故答案为： （3）∵，，，， ∴，， ∴点的坐标为， 当点在边上，则， 解得，此时点的坐标为． ∵， ∴当时，点在边上． 当点在边上，则，此时点的坐标为，在第四象限， ∴当时，点不在边上． 综上：当时，点在的直角边上． 故答案为： 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标： （________，________）， （________，________）， （________，________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2 ，0 ，4 ，0，6，0 (2)点的坐标为 (3)向上移动 【分析】本题主要考查了点的坐标规律、平面直角坐标系、动点问题等知识点，发现坐标规律是解题的关键． （1）直接从直角坐标系读出坐标即可； （2）根据（1）归纳点的坐标规律即可解答； （3）根据2024是4的倍数，分别写出点和的坐标，从而可得蚂蚁从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据题意可直接写出， 故答案为2，0；4，0；6，0； （2）解：由题意可知：， ∴由点的坐标规律可知， ∴点的坐标为。 （3）解：∵， ∴，， ∴蚂蚁从点到点的移动方向是向上移动． 15．（24-25七年级下·宁夏固原·期末）综合与实践 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了“阶派生点”的定义，由题目已知“阶派生点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“；”即可求解； （2）设出点P的坐标，根据“阶派生点”的定义即可求解； （3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点，再根据在哪个轴分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：；， 点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意可知，解得：， 点的坐标为； （3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴， 的“4阶派生点”为：，即 当在轴上，，， ； 当在轴上，，， ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点中，为点A的“等距点”的是点 ； ②若点D的坐标为且A，D两点为“等距点”，则点D的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①；② (2)k的值为1或2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解绝对值方程，理解读懂“等距点”的定义是解题关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可得到答案；②根据点到x、y轴的距离中的最大值等于3，根据“等距点”概念分情况讨论，可得到答案； （2）根据“等距点”概念分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①点到x、y轴的距离中的最大值等于3， 又点到x、y轴的距离中的最大值等于3，点到x、y轴的距离中的最大值等于5， 点A的“等距点”的是点B， 故答案为：B； ②点， 点到x、y轴的距离中的最大值等于3， 点，且， 当时， 或， 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 点D的坐标为， 当时， 或， 当时，， 此时，点D与点A重合，不符合题意； 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：，两点为“等距点”， ①若时，则或， 解得：或， 当时，，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 当时，，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； ②若时，则， 当，则，解得：（舍去）， 当，则，解得：， 则，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 当，则，解得：， 则，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； 综上可知，k的值为1或2． 18．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三个点、、我们给出如下定义：“横长”是指三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”是指三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三个点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点． 例如点，，，则、、三点的“横长”，“纵长”，因为，所以、、三点为正方点． 已知：点， (1)在点，，中，能与点、为正方点的是___； (2)点为轴上一动点，若、、三点为正方点，则的值为___； (3)点坐标是，其中，动点满足：点、、三点是横、纵长都为的正方点，请在图②中画出所有符合条件的点组成的图形． 【答案】(1) (2)2或 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，图形与坐标，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义逐一判断即可； （2）求得“纵长”为，再分类讨论求得即可解答； （3）设，分别求得的取值范围和的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：点，点，点三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点不为正方点； 点，点，点三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点为正方点； 点，点，三点的“横长”，“纵长”， ， 这三点不为正方点； 综上所述，能与点、为正方点的是， 故答案为：； （2）解：、、三点的“纵长”为， 、、三点为正方点， “横长”等于“纵长”为， 当时，可得，解得； 当时，“纵长”小于不成立； 当时，可得，解得； 故答案为：2或； （3）解：设， 点、、三点是横、纵长都为的正方点， ，即， ， ， 点、、三点是纵长为， 始终成立， ， 故正方形为所有符合条件的点组成的图形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $