精品解析：2026年河北邯郸市邯山区九年级阶段性学情调研数学试卷

2026年初三年级阶段性学情调研 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 如图所示的三视图描述的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如果一元二次方程x2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A. m=0 B. m=﹣1 C. m=1 D. 以上结论都不对 7. 如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（　　） A. （2，2） B. （1，2） C. （﹣1，2） D. （2，﹣1） 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 垂直平分 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在式子中，m的值为________． 14. 已知x，y满足，则______． 15. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 整式． （1）当时，求M的值； （2）若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 18. 计算与化简： （1） （2） 19. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 20. 2025年4月23日是第30个世界读书日，联合国教科文组织将今年读书日的主题定为“阅读：通往未来的桥梁”，倡导通过阅读开拓视野、传递智慧，为人类共建更美好的明天．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． （1）求被调查的学生人数； （2）求扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数； （3）求被调查的学生每周的平均阅读时间； （4）该校共有800名学生，请估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数． 21. 图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高．（结果精确到） 22. 如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 24. 如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三年级阶段性学情调研 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， ∴最大的数是：3； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则实数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，预估无理数的取值，解题的关键是掌握预估无理数的取值． 确定的取值范围即可在数轴上表示出其位置． 【详解】解：， 即， ， 故选：B． 3. 如图所示的三视图描述的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的意义判断解答即可． 【详解】解：A.三视图都是长方形，不符合要求； B.主视图是五边形，不符合要求； C.三视图都与已知视图一致，符合要求； D.主视图不一致，不符合要求． 4. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5. 如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明，再结合点是的中点，进一步可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 故选：B 6. 如果一元二次方程x2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么有（　　） A. m=0 B. m=﹣1 C. m=1 D. 以上结论都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设该一元二次方程的两个根分别是，则根据题意知 即 解得， 故选B． 点睛：一元二次方程的两根分别是 则 7. 如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8. 反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时时，据此解答即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（　　） A. （2，2） B. （1，2） C. （﹣1，2） D. （2，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可． 【详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=2， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， 如图所示， 将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A′的坐标为（﹣1，2）， 再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2）， 故选A． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断； ②由对称轴和函数的图像可以判断； ③算出a和c的关系即可； ④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0) ∴对称轴 ∴b =-2a，c = -3a ∵二次函数的图象开口向下 ∴a < 0 ∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵c = -3a ∴3a+c=0，故③正确； 由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a) ∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y= ∴故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 11. 如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 12. 如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在式子中，m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】逆用积的乘方求得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键． 14. 已知x，y满足，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据，得出，再把代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 整式． （1）当时，求M的值； （2）若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ； 【小问2详解】 解：由数轴知，， 即， 解得， ∵为负整数， ，． 18. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 2025年4月23日是第30个世界读书日，联合国教科文组织将今年读书日的主题定为“阅读：通往未来的桥梁”，倡导通过阅读开拓视野、传递智慧，为人类共建更美好的明天．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． （1）求被调查的学生人数； （2）求扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数； （3）求被调查的学生每周的平均阅读时间； （4）该校共有800名学生，请估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数． 【答案】（1）40名 （2） （3） （4）440名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求平均数，用样本估计总体． （1）观察统计图，找出阅读时间的学生数和所占的百分比，然后求出总人数即可； （2）用乘“”所占的百分比即可； （3）根据平均数的定义求被调查的学生每周的平均阅读时间即可； （4）用总人数乘每周课外阅读时间不少于的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：本次共调查的学生人数有：（名）； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角的度数为： ； 【小问3详解】 解：被调查的学生每周的平均阅读时间为： ； 【小问4详解】 解：（名）， 即估计该校每周课外阅读时间不少于的学生人数为440名． 21. 图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等腰直角三角形，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． 则， ． ， ． ，， ， 同理可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 22. 如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 23. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 24. 如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． （1）求抛物线P的解析式和点D的坐标． （2）在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【答案】（1）， （2）①；②1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式；然后配方成顶点式求解即可； （2）①如图，连接，证明出四边形是正方形，得到点D，B，共线，，，求出，然后利用代数求解即可； ②首先求出所在抛物线的表达式为，然后与抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得 ∴抛物线P的解析式为； ∴ ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，连接 ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形 ∴， ∵以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形 ∴点D，B，共线，， ∴ ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵， ∴由旋转的性质得， ∴所在抛物线的表达式为 ∴联立抛物线和得， 整理得， ∴ ∴抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $