精品解析：2025年河北省邯郸市邯山区七校联考中考一模数学试题

2025年初三毕业班4月模拟检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 7. 如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（ ）（注：锂和铍为金属元素） A. B. C. D. 8. 如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 11. 如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（ ） A 2 B. C. D. 3 12. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中，点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：_____（填“>”“<”或“=”） 14. 若，则_______． 15. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____． 16. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． （1）分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． （2）原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 18. 琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为___________（填序号）； A．等式的性质 B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为___________ 19. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理． (满分分，所有竞赛成绩均不低于分)如下表： 组别 成绩(/分) 人数(人) 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______； （4）若竞赛成绩分以上(含分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 20. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； （3）若直线经过点，且与线段有交点，求取值范围． 22. 爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以为直径的圆形框架，是一个足够长的水平轨道，且与相切．支架的一端固定在圆心处，另一端可在轨道上滑动，支架的一端固定在处，另一端在上，且．当点滑动时，点随之在直径右侧的上运动．设与交于点，连接．已知． （1）图1图2当点，所在的直线与互相垂直时，_____°． （2）当时，如图1，求的长． （3）当时，如图2，求的长． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 24. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三毕业班4月模拟检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】考查相反数的概念及应用，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数.的相反数是. 故选D. 2. 爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（ ） A. 数 B. 学 C. 很 D. 好 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数和玩是相对面，很和好是相对面， 故没有相对面的字为学； 故选B． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式以及算术平方根和合并同类等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．分别利用完全平方公式以及算术平方根和合并同类项法则判断得出即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确． 故选：D． 4. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1光年千米，1百亿， 1百亿光年千米， 故选：C 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得，，进而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 为直径， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 7. 如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（ ）（注：锂和铍为金属元素） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率． 【详解】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 8. 如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及方位角，熟练掌握平行线的性质及方位角是解题的关键；由题意易得，，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 9. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键．根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可． 【详解】解：甲：设与相交于点， 由作图可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； 乙：由作图可知，平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； 故选：C． 10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　） A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解． 【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP， ∴BC＝BP＝BA， ∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP， ∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°， ∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA， ∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°， ∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°， ∴∠PAH的度数是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 11. 如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理 ，解题关键是利用图象信息确定半径，通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值． 先由图象中与重合时的长度及是中点确定圆半径；再根据弧长公式求出时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出最大值即的值． 【详解】解：结合题图可知，当点与点重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点是的中点， ∴，即圆的半径， 当的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知最大值为， ∴， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中，点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意判断出点M的位置是解题的关键．由题意可得点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，即每12秒运动一周，即得第2025秒时与第9秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明，可得，，即可求解． 【详解】解：正六边形的顶点，的坐标分别为，， 正六边形的边长为1， 点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，即每12秒运动一周， ， 第2025秒时与第9秒时的位置相同，即如下图所示位置，此时， 过点作轴，垂足为点，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：_____（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．先平方，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 14. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得． 过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 轴于点， ， ，， ， ， ， ∵轴， ∴ ， ∴， ∴， ， 根据反比例函数中 的几何意义，得 ， ． 又 ∵， ． 故答案为：3． 16. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确；④延长至点，可证，可得④正确； 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图1： ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图1，取的中点为，连接、， ∵， ∴， 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图2： 当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点，如图1， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． （1）分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． （2）原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【答案】（1）当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时， （2）的值将会增大3，原点在点处 【解析】 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可； （2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到． 【小问1详解】 解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． 【小问2详解】 解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 18. 琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示， （1）求被墨迹覆盖的系数； （2）答案的第四步应用的性质为___________（填序号）； A．等式的性质 B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （3）该不等式组的解集为___________ 【答案】（1）6 （2）C （3） 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质、解一元一次不等式、解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式的性质是解答的关键． （1）设被墨迹覆盖的系数是，根据不等式的性质，不等式的解集，分式方程的计算即可求解； （2）根据不等式的性质2可得结论； （3）求得①②不等式的解集，再求得它们的公共部分即可得到该不等式组的解集． 【小问1详解】 解：设被墨迹覆盖的系数是， ∴不等式可变形为， ∵不等式①的解集为， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴被墨迹覆盖的系数是6； 【小问2详解】 解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故选：C； 【小问3详解】 解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为：． 19. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理． (满分分，所有竞赛成绩均不低于分)如下表： 组别 成绩(/分) 人数(人) 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______； （4）若竞赛成绩分以上(含分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）根据组人数及其百分比求出抽取学生人数，进而可求出的值； （）根据（）中的值补图即可； （）用乘以组人数的占比即可求解； （）用乘以分以上(含分)的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数大约是人． 20. 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示． （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？（参考数据：，，，，，，） 【答案】（1） （2）不是，桌面应下调 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，先得到，继而得到，得到不是正确坐姿，在中，，，调整后，，．继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 故桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 21. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值； （3）若直线经过点，且与线段有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入的中点坐标，即可求出a的值； （3）把代入得，则可得，再将，分别代入中，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把和代入得 ，解得， ∴这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 设平移后的直线的解析式为． ∵，， ∴线段的中点坐标为． 把代入，得， 解得． 【小问3详解】 把代入得． ∴， 把代入得，．解得； 把代入得，．解得； ∴的取值范围是． 22. 爱动手的嘉嘉同学自制了如图所示的以为直径的圆形框架，是一个足够长的水平轨道，且与相切．支架的一端固定在圆心处，另一端可在轨道上滑动，支架的一端固定在处，另一端在上，且．当点滑动时，点随之在直径右侧的上运动．设与交于点，连接．已知． （1）图1图2当点，所在的直线与互相垂直时，_____°． （2）当时，如图1，求的长． （3）当时，如图2，求长． 【答案】（1）22.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆半径相等及，结合切线性质推出，进而得出四边形是正方形，得到，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，得出结论； （2）连接、，利用圆的直径和切线性质，结合，推出．由证得，得到边的关系，通过三角函数求出，进而推出．由得出是等边三角形，确定，最后用弧长公式求出答案． （3）连接，根据同弧所对圆周角相等得到，利用为直径得出，结合的值求出、的长度． 依据垂径定理，由推出，，得到． 根据三角函数求出的长度，进而得出的值． 【小问1详解】 解：如图： 当时，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵和同弧于， ∴． 【小问2详解】 如图（1），连接，． 是的直径，是的切线， ，， ． 由题意知， ， ． 又， ， ， ， ， ． ， 为等边三角形， ， ， 的长为 【小问3详解】 如图，连接，设，交于点， 则， 是的直径， ， ， ． ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质、平行四边形与正方形判定、圆周角定理、三角形全等、三角函数以及弧长公式等知识；解题关键是根据题目条件合理添加辅助线，灵活运用圆和三角形相关性质及定理进行角度、弧长和线段长度的推导计算． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）最小值为 （3）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 24. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $