专题03 一元一次不等式（组）（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题03 一元一次不等式（组）（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的性质的运用 题型02 求一元一次不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的整数解 题型04 一元一次不等式的应用 题型05 求一元一次不等式组的解集 题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 题型07 由不等式组解集的情况求参数 题型08 一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 准确理解并掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3（不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号方向改变）。 能熟练运用性质进行不等式的变形，判断变形过程的正确性，为解不等式奠定坚实基础。 考查频率： 中。常作为选择题、填空题的基础考点出现，或融合在解不等式/组的步骤中进行隐性考查。 命题趋势： 直接考查性质判断正误；在解不等式的步骤中设置陷阱（如系数化为负时未变号），要求找出错误。 一元一次不等式的解法 熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 重点攻克去分母时各项均需乘以公分母、系数化为1时根据系数正负决定不等号方向是否改变等易错环节。 能在数轴上规范、准确地表示不等式的解集。 考查频率： 高。是期中、期末考试的必考内容，形式包括直接求解、在数轴上表示解集等。 命题趋势： 纯代数求解是基础；与数轴结合，要求根据解集反求不等式中字母系数；作为解答题的前置步骤，为后续应用或不等式组求解做准备。 一元一次不等式的应用 能够从实际问题中抽象出不等关系，建立一元一次不等式模型。 熟练掌握解决“至少”、“至多”、“不超过”、“不低于”等关键词的翻译与建模。 在求出数学解集后，能结合实际问题背景，检验解的合理性并给出符合题意的最终答案。 考查频率： 高。是考查数学建模能力和解决实际问题能力的重要载体，常以解答题形式出现。 命题趋势： 背景多来源于生活实际，如购物优惠、行程规划、工程进度等。强调对“关键词”的理解和不等关系的准确建立。常与方程（组）结合，构成“混合组”问题，区分何时用等式（确定关系），何时用不等式（范围限制）。 一元一次不等式组的解法 熟练掌握解一元一次不等式组的方法：分别解出每个不等式，再通过数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集。 重点训练含字母参数的不等式组解集的讨论，以及解集为特定情况（如无解、有解范围）时参数的确定。 考查频率： 高。与单个不等式解法同等重要，是代数部分的核心技能之一。 命题趋势： 基础题考查常规不等式组的求解与表示；提高题常涉及含字母参数的不等式组，要求根据解集情况（如有解、无解、解集为某范围）讨论参数的取值范围，这是区分学生能力层次的关键点。 一元一次不等式组的应用 能够分析复杂情境，建立多个不等关系，并将其组合成一元一次不等式组。 解决涉及两种或两种以上条件限制的实际问题，如方案设计、资源分配等。 理解不等式组解集的公共部分即为满足所有条件的可行范围，并能据此做出决策或判断。 考查频率： 中高。常作为压轴题或综合应用题出现，难度和综合性较强。 命题规律： 问题情境更为复杂，通常包含多个约束条件，需要学生仔细梳理并列出不等式组。常见题型有：方案设计问题（如购买方案、运输方案）、分配问题、比较问题等。解答时不仅要求解出不等式组，还需对解集进行筛选，找出符合实际意义的整数解，并可能需要进行优劣比较或方案论证。 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“-”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 示例：判断下列式子是否为不等式： 5 > 3 （是，使用了不等号“>”） x + 2 = 7 （不是，这是等式，使用等号“=”） a - 1 ≤ 0 （是，使用了不等号“≤”） 2x ≠ 5 （是，使用了不等号“≠”） 3 + 4 （不是，这只是代数式，没有表示关系） 用不等式表示： a 是正数：a > 0 b 是非负数：b ≥ 0 x 与 5 的和小于 10：x + 5 < 10 y 的 2 倍减去 3 不小于 1：2y - 3 ≥ 1 易错点：混淆不等式与代数式、等式：学生容易将没有不等号的代数式（如 2a+1）误判为不等式，或将含有未知数的等式（方程）误判为不等式。关键看连接符号。 列不等式时关系词翻译错误： “至少”、“不低于” 对应 ≥ “至多”、“不超过” 对应 ≤ “大于”、“超过” 对应 > “小于”、“不足” 对应 < 忽略“非正数”(≤0)、“非负数”(≥0)中“非”的含义。 忽略未知数的取值范围：在列出如 a > 0 时，未意识到 a 代表的是所有大于0的实数，而不仅仅是一个特定的数。 知识点02 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 示例：若 2x - 3 > 5，利用性质求解： 两边同时加3（性质1）：2x > 8 两边同时除以2（性质2）：x > 4 易错点：性质3（乘除负数）的方向改变被遗忘：这是最核心的易错点。当不等式两边乘以或除以同一个负数时，学生常常忘记改变不等号的方向。例如：由 -2x > 6 得 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 对“同一个数（或式）”的理解不全面：性质中要求是“同一个”。若两边加减或乘除的不是同一个量，性质不适用。但学生有时会忽略。 与等式性质混淆：等式两边可以乘以0，但不等式两边乘以0会使不等式变为等式 0=0，失去比较意义，且若乘以的式子可能为0，需要分类讨论。 知识点03 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 用数轴表示不等式的解集： 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 示例：解不等式 (2x - 1)/3 ≤ (x + 2)/2 - 1，并在数轴上表示解集。 步骤： 去分母（两边同乘6）：2(2x - 1) ≤ 3(x + 2) - 6 去括号：4x - 2 ≤ 3x + 6 - 6 移项：4x - 3x ≤ 2 + 6 - 6 合并同类项：x ≤ 2 数轴表示：在数轴上找到点2，画实心圆点（因为包含等号），并向左画射线。 易错点：去分母漏乘：去分母时，不等式两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项或单独项（如上面的 -1）容易漏乘。 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 移项不变号：移动某项到另一边时，忘记改变该项的符号。 系数化为1时方向错误：当未知数系数为负数时，忘记改变不等号方向（同性质3易错点）。 数轴表示不规范： 解集包含等号（≥ 或 ≤）用实心圆点，不包含等号（> 或 <）用空心圆圈。 方向画反：大于向右，小于向左。 知识点04 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明要想得分超过80分，他至少要答对多少道题？ 解： 设答对 x 道题，则答错或不答 (20 - x) 道。 得分表达式：5x - 2(20 - x) 列不等式：5x - 2(20 - x) > 80 解不等式：5x - 40 + 2x > 80 -> 7x > 120 -> x > 120/7 ≈ 17.14 取符合题意的最小整数解：x ≥ 18 答：小明至少要答对18道题。 易错点：“不等关系”找不准：抓不住题目中的关键词（如“超过”、“至少”、“不足”），错误地列成了等式。 设未知数不明确：未明确“设什么为x”，或单位不统一。 列出不等式后忽略实际意义检验：解出不等式后，解集可能是一个范围，但需要根据实际情境（如人数、物品数必须是非负整数）筛选出符合条件的特殊解（整数解）。如上例中，x 必须是介于1到20之间的整数。 作答不完整：只写了 x ≥ 18，没有回答“至少要答对18道题”。 知识点05 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 示例：解不等式组 { 2x + 1 > -1; 3 - x ≥ 1 }，并在数轴上表示解集。 步骤： 解第一个不等式：2x > -2 -> x > -1 解第二个不等式：-x ≥ -2 -> x ≤ 2 （注意：除以-1，变号） 将两个解集 x > -1 和 x ≤ 2 在数轴上表示出来。 找出公共部分：-1 < x ≤ 2。口诀：“大小小大中间找”。 易错点：分别解每个不等式时出错：包含上述解单个不等式的所有易错点。 解集公共部分找错： 依赖口诀但记忆混淆。 不使用数轴辅助，仅凭想象容易出错。强烈建议画数轴。 含字母参数的不等式组讨论不清：当解集为 x > a 和 x < b，且已知解集情况时，对 a 和 b 的大小关系讨论不完整。例如：解集无解（“大大小小无处找”）的条件是 a ≥ b（等号何时取需单独验证），学生易漏等号。 知识点06 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 解： 设有 x 辆汽车。 货物总量为 (4x + 20) 吨。 “最后一辆不满也不空”意味着：如果全部按8吨装，则货物总量多于 8(x-1) 吨（最后一辆没装满），但不超过 8x 吨（最后一辆有货）。 列不等式组：{ 4x + 20 > 8(x - 1); 4x + 20 ≤ 8x } 解不等式组： 由 4x + 20 > 8x - 8 得 -4x > -28 -> x < 7 由 4x + 20 ≤ 8x 得 -4x ≤ -20 -> x ≥ 5 解集为 5 ≤ x < 7 取整数解：x = 5 或 x = 6。 答：有5辆或6辆汽车。 易错点：多个不等关系提取不全：应用题条件复杂，学生可能只列出其中一个不等式，漏掉另一个限制条件。 “不满也不空”等临界条件翻译错误：“不满”是 >，“不空”是 ≥ 或 >（通常结合题意取 >），需要仔细斟酌。例如上例中，若最后一辆“不满”理解为“少于8吨”，则第一个不等式是 4x+20 < 8x；若理解为“不能刚好装满”，则可能是 4x+20 > 8(x-1)。需结合“也不空”综合判断。这是难点。 解出不等式组后未进行符合题意的筛选：和单个不等式应用一样，解集可能是范围，但最终答案往往是整数解，并且有时需要验证所有整数解的合理性。 方案设计问题中，比较和表述不清晰：当有多种可行方案时，需要比较优劣（如费用最少、利润最大），并完整表述最终方案。 题型一 不等式的性质的运用 解｜题｜技｜巧 定向：首先判断题目是要求运用性质进行变形，还是判断变形过程的正误。 对标：将每一步变形与不等式三条基本性质严格对标。重点关注乘除操作，立即判断所乘（除）的数是正数、负数还是零。 验号：若两边同乘或同除以一个负数，必须在脑海中高亮提示：“变号！”。这是此类题目的核心考点。 特值检验：对于不确定的选项，可以选取一组符合条件的特殊数值（如a=2， b=1， c=-1）代入原不等式和变形后的不等式进行快速验证。 易｜错｜点｜拨 最致命错误：忽略性质3。在不等式两边同乘或同除以同一个负数时，忘记改变不等号的方向。例如：由 -3x > 9 得到 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 概念混淆：将不等式的性质与等式的性质混淆。等式两边可同乘0，但不等式两边同乘0会破坏不等关系。 操作对象不统一：性质要求对“两边”进行“同一个数（或式）”的运算。若只对一边运算或两边运算的量不同，则变形无效。 【典例1】（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知，，则下列说法正确的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）若，下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求一元一次不等式的解集 解｜题｜技｜巧 流程化操作：严格按照“去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1”五步法进行。建议在草稿纸上清晰分步书写。 细节标记：在“去分母”和“系数化为1”这两个易错步骤旁做标记。 去分母：在方程两边每一项（包括不含分母的常数项）旁边标上要乘的公倍数，确保不漏乘。 系数化为1：在未知数系数上画圈，若系数为负数，在旁边醒目地写上“变号”。 数轴表示规范化： 定界点：解集包含等号（≥， ≤）用实心圆点；不包含等号（>, <）用空心圆圈。 定方向：大于向右画，小于向左画。 易｜错｜点｜拨 1. 去分母漏乘：常数项或单独在一边的项忘记乘以公分母。 2. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项的符号都要改变。 3. 移项忘变号：把某项从一边移到另一边后，忘记改变其符号。 4. 系数化为1方向错：同性质3错误，当系数为负时，忘记改变不等号方向。 5. 数轴表示不规范：界点空心实心混淆，方向画反。 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并在数轴上表示出解集． 【变式1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，． (1)若，则点A，B间的距离是多少？ (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边还是右边？说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）解不等式： 题型三 求一元一次不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 先求范围：首先正确解出不等式，得到解集的一般形式（如 x < a 或 x ≥ b）。 数轴定位：在草稿纸上画出数轴示意图，标出解集的范围和边界点。 边界审定：仔细审查边界点是否包含在解集内。这是确定整数解起点或终点的关键。 列举筛选：在解集范围内，从小到大或从大到小列举所有整数。特别注意边界值本身是否可取。 易｜错｜点｜拨 1. 边界值取舍错误：例如，解集为 x > 2，则整数解从3开始，不包括2；若解集为 x ≥ 2，则整数解从2开始。 2. 解集求解错误：此题型建立在“题型二”正确求解的基础上，若第一步解集求错，则满盘皆输。 3. 整数解遗漏或重复：在列举时粗心，漏掉某个符合范围的整数。 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【变式1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）不等式的正整数解的个数是________． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 题型四 一元一次不等式的应用 解｜题｜技｜巧 关键词翻译：将文字语言精准转化为数学符号。 “至少”、“不低于”、“不少于” → ≥ “至多”、“不超过”、“不大于” → ≤ “超过”、“大于” → > “不足”、“小于” → < 明确建模步骤： 审：找出所有已知量和未知量，以及关键的不等关系。 设：设出未知数，注意带单位（如“设小明答对了x道题”）。 列：根据不等关系列出不等式。 解：求解不等式。 验与答：验证解是否符合实际意义（如人数、物品数为非负整数），并给出完整答案。 整数解处理：实际问题中，解集常是一个范围，但最终答案往往是该范围内的特定整数（如人数、车辆数）。必须进行筛选。 易｜错｜点｜拨 关系词翻译错误：如将“至少”误列为“>”。 不等关系找不全：在复杂情境中漏掉某个限制条件。 忽略实际意义：求出解集 x ≥ 17.5 后，直接作答，未取 x=18（若x代表整数）。 作答不完整：只写了 x=18，没有用语言完整回答“小明至少要答对18道题”。 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·月考）全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆炸前跑到米以外的安全区域．已知导火索的燃烧速度是厘米/秒，人跑的速度是米/秒．要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过多长才行？ 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 题型五 求一元一次不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 分而治之：分别独立求解组内的每一个不等式。确保每个不等式的解集都正确。 数轴辅助：将每个不等式的解集在同一数轴上表示出来。这是寻找公共部分最直观、最不易错的方法。 口诀验证：利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）”来快速验证数轴得出的结果。 规范书写：最终解集要用大括号 { } 或区间形式表示。 易｜错｜点｜拨 单个不等式解错：这是导致整个不等式组解错的最常见原因。 公共部分判断失误：不画数轴，仅凭感觉猜测公共部分，容易出错。 解集表示错误：例如，解集是 -1 < x ≤ 2，错误地写成 x > -1 且 x ≤ 2（虽然意思对，但不够规范），或漏掉一部分。 【典例1】（25-26九年级下·北京·期中）解不等式组： 【变式1】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）设x是实数，现在我们用表示不小于x的最小整数，如，，，．在此规定下任一实数都能写出如下形式：，其中． (1)与x，的大小关系是以下哪种情况：______； ①②③ (2)根据（1）中的关系式解决下列问题； ①求满足的取值范围______； ②解方程：． 【变式3】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 题型六 由一元一次不等式组的解集求参数 解｜题｜技｜巧 常规求解：先将不等式组中的不含参不等式解出来，得到如 x > a 或 x < b 的形式。 含参表示：解出含参数的不等式，其解集边界用含参数的式子表示，如 x < m。 对比定界：将已知的不等式组的最终解集（如 x < 2）与第1、2步得到的两个解集进行对比。 确定关系：根据“同大取大”等规则，确定参数表达式与已知边界值的大小关系（是否取等号是难点，需代入验证）。 易｜错｜点｜拨 等号取舍不清：这是此类题的最大难点。判断参数边界是否包含等号时，可将等号情况单独代入原不等式组，检验解集是否与已知完全一致。 逻辑关系混乱：未能清晰地将不等式组的解集规则转化为参数满足的不等式条件。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 【变式2】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 题型七 由不等式组解集的情况求参数 解｜题｜技｜巧 情况分类：明确不等式组解集的几种特殊情况：“有解”（存在公共部分）和“无解”（没有公共部分）。 数轴模型化：在脑海中或草稿上建立两个解集在数轴上的模型。 无解模型：两个解集在数轴上向相反方向延伸且没有公共部分，即“大大小小无处找”。形式为 x > a 和 x < b，且 a ≥ b。 有解模型：存在公共部分。 转化为不等式：根据模型，将解集的情况（如“无解”）转化为参数所满足的不等式（如 a ≥ b）。 验证端点：同样需要谨慎处理等号是否成立。 易｜错｜点｜拨 模型记忆错误：混淆“有解”和“无解”对应的数轴模型。 参数关系式列错：例如，对于 x > a 和 x < b 无解，应得 a ≥ b，错误列为 a > b（若 a = b，解集为 x > a 且 x < a，同样无解）。 【典例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 题型八 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 梳理多重条件：仔细阅读，将题目中的每一个限制条件都用数学语言（不等式）表达出来。通常需要列出两个或以上的不等式。 建立不等式组：将这些不等式联立，组成一个不等式组。 求解与筛选：求解不等式组，得到一个解集范围。这个范围内的值（通常是整数）是所有条件同时满足的“可行解”。 方案枚举与比较：根据“可行解”枚举出所有可能的方案。若题目要求最优方案（如最省钱、利润最大），需分别计算每种方案的结果并进行比较。 完整表述：答案应包括：①可能的方案有哪几种；②最优方案是什么及其理由。 易｜错｜点｜拨 条件遗漏：只列出一个不等式，漏掉其他隐含或显性的限制条件。 “不满不空”类条件处理不当：如“最后一辆汽车不满也不空”，需转化为两个不等式：货物总量 > 前(n-1)辆车满载量，且货物总量 ≤ 全部n辆车满载量。 解集未结合实际筛选：解出 5 ≤ x < 7 后，未指出 x=5, 6 两种整数解情况。 方案比较缺失：题目要求选择最佳方案，但只列出了所有方案，未进行比较和选择。 【典例1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．当______时，不等式的解集是． 5．解不等式组： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的正整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 4．已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 5．在某次篮球联赛中，雄鹰队与未来队要争夺最后一个出线权，雄鹰队目前的战绩是10胜8负，后面还要比赛10场；未来队目前的战绩是9胜10负，后面还要比赛9场．该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成28场比赛后，得分更高者获得出线权． (1)为确保出线，雄鹰队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果未来队在后面的比赛中5胜4负，那么雄鹰队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (3)如果雄鹰队在后面的比赛中4胜6负，未能出线，那么未来队在后面的比赛中的战果如何？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知实数x，y满足，则的最大值为____． 2．“魔幻5D城市”—重庆，受到越来越多游客的追捧，其中火锅是最著名的城市名片．圆圆火锅店的毛肚、黄喉、麻辣牛肉、耗儿鱼四道菜，人气颇高．4月30日，黄喉的单价比毛肚便宜5元，耗儿鱼的单价比麻辣牛肉贵5元，且毛肚与麻辣牛肉的单价和大于等于60元，小于等于70元，4月30日当天麻辣牛肉比毛肚少卖10份，耗儿鱼比黄喉多卖10份．5月1日，该火锅店引进了高端牛肉食材，麻辣牛肉单价比之前上涨1倍，其余三道菜的单价不变，5月1日毛肚的销量比4月30日增加1倍，黄喉的销量不变，麻辣牛肉比4月30日多卖20份，耗儿鱼比4月30日少卖了30份，经统计，4月30日和5月1日两天，四道菜的销售额共6250元．若这四道菜每天均有售出，且单价均为正整数，则4月30日四道菜的销售额最多为________元． 3．若实数a，b同时满足，则的值为________． 4．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 5．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（组）（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的性质的运用 题型02 求一元一次不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的整数解 题型04 一元一次不等式的应用 题型05 求一元一次不等式组的解集 题型06 由一元一次不等式组的解集求参数 题型07 由不等式组解集的情况求参数 题型08 一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的基本性质 准确理解并掌握不等式的三条基本性质，特别是性质3（不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号方向改变）。 能熟练运用性质进行不等式的变形，判断变形过程的正确性，为解不等式奠定坚实基础。 考查频率： 中。常作为选择题、填空题的基础考点出现，或融合在解不等式/组的步骤中进行隐性考查。 命题趋势： 直接考查性质判断正误；在解不等式的步骤中设置陷阱（如系数化为负时未变号），要求找出错误。 一元一次不等式的解法 熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 重点攻克去分母时各项均需乘以公分母、系数化为1时根据系数正负决定不等号方向是否改变等易错环节。 能在数轴上规范、准确地表示不等式的解集。 考查频率： 高。是期中、期末考试的必考内容，形式包括直接求解、在数轴上表示解集等。 命题趋势： 纯代数求解是基础；与数轴结合，要求根据解集反求不等式中字母系数；作为解答题的前置步骤，为后续应用或不等式组求解做准备。 一元一次不等式的应用 能够从实际问题中抽象出不等关系，建立一元一次不等式模型。 熟练掌握解决“至少”、“至多”、“不超过”、“不低于”等关键词的翻译与建模。 在求出数学解集后，能结合实际问题背景，检验解的合理性并给出符合题意的最终答案。 考查频率： 高。是考查数学建模能力和解决实际问题能力的重要载体，常以解答题形式出现。 命题趋势： 背景多来源于生活实际，如购物优惠、行程规划、工程进度等。强调对“关键词”的理解和不等关系的准确建立。常与方程（组）结合，构成“混合组”问题，区分何时用等式（确定关系），何时用不等式（范围限制）。 一元一次不等式组的解法 熟练掌握解一元一次不等式组的方法：分别解出每个不等式，再通过数轴或口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集。 重点训练含字母参数的不等式组解集的讨论，以及解集为特定情况（如无解、有解范围）时参数的确定。 考查频率： 高。与单个不等式解法同等重要，是代数部分的核心技能之一。 命题趋势： 基础题考查常规不等式组的求解与表示；提高题常涉及含字母参数的不等式组，要求根据解集情况（如有解、无解、解集为某范围）讨论参数的取值范围，这是区分学生能力层次的关键点。 一元一次不等式组的应用 能够分析复杂情境，建立多个不等关系，并将其组合成一元一次不等式组。 解决涉及两种或两种以上条件限制的实际问题，如方案设计、资源分配等。 理解不等式组解集的公共部分即为满足所有条件的可行范围，并能据此做出决策或判断。 考查频率： 中高。常作为压轴题或综合应用题出现，难度和综合性较强。 命题规律： 问题情境更为复杂，通常包含多个约束条件，需要学生仔细梳理并列出不等式组。常见题型有：方案设计问题（如购买方案、运输方案）、分配问题、比较问题等。解答时不仅要求解出不等式组，还需对解集进行筛选，找出符合实际意义的整数解，并可能需要进行优劣比较或方案论证。 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“-”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 示例：判断下列式子是否为不等式： 5 > 3 （是，使用了不等号“>”） x + 2 = 7 （不是，这是等式，使用等号“=”） a - 1 ≤ 0 （是，使用了不等号“≤”） 2x ≠ 5 （是，使用了不等号“≠”） 3 + 4 （不是，这只是代数式，没有表示关系） 用不等式表示： a 是正数：a > 0 b 是非负数：b ≥ 0 x 与 5 的和小于 10：x + 5 < 10 y 的 2 倍减去 3 不小于 1：2y - 3 ≥ 1 易错点：混淆不等式与代数式、等式：学生容易将没有不等号的代数式（如 2a+1）误判为不等式，或将含有未知数的等式（方程）误判为不等式。关键看连接符号。 列不等式时关系词翻译错误： “至少”、“不低于” 对应 ≥ “至多”、“不超过” 对应 ≤ “大于”、“超过” 对应 > “小于”、“不足” 对应 < 忽略“非正数”(≤0)、“非负数”(≥0)中“非”的含义。 忽略未知数的取值范围：在列出如 a > 0 时，未意识到 a 代表的是所有大于0的实数，而不仅仅是一个特定的数。 知识点02 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 示例：若 2x - 3 > 5，利用性质求解： 两边同时加3（性质1）：2x > 8 两边同时除以2（性质2）：x > 4 易错点：性质3（乘除负数）的方向改变被遗忘：这是最核心的易错点。当不等式两边乘以或除以同一个负数时，学生常常忘记改变不等号的方向。例如：由 -2x > 6 得 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 对“同一个数（或式）”的理解不全面：性质中要求是“同一个”。若两边加减或乘除的不是同一个量，性质不适用。但学生有时会忽略。 与等式性质混淆：等式两边可以乘以0，但不等式两边乘以0会使不等式变为等式 0=0，失去比较意义，且若乘以的式子可能为0，需要分类讨论。 知识点03 一元一次不等式的解法 定义:含有一个未知数,且含有未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式. 解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 用数轴表示不等式的解集： 步骤:(1)画数轴; (2)定边界点,边界点包含于解集的为实心圆点,不包含于解集的为空心圆圈; 定方向,相对于边界点而言,大于向右;小于向左. 示例：解不等式 (2x - 1)/3 ≤ (x + 2)/2 - 1，并在数轴上表示解集。 步骤： 去分母（两边同乘6）：2(2x - 1) ≤ 3(x + 2) - 6 去括号：4x - 2 ≤ 3x + 6 - 6 移项：4x - 3x ≤ 2 + 6 - 6 合并同类项：x ≤ 2 数轴表示：在数轴上找到点2，画实心圆点（因为包含等号），并向左画射线。 易错点：去分母漏乘：去分母时，不等式两边的每一项都要乘以最简公分母，常数项或单独项（如上面的 -1）容易漏乘。 去括号符号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 移项不变号：移动某项到另一边时，忘记改变该项的符号。 系数化为1时方向错误：当未知数系数为负数时，忘记改变不等号方向（同性质3易错点）。 数轴表示不规范： 解集包含等号（≥ 或 ≤）用实心圆点，不包含等号（> 或 <）用空心圆圈。 方向画反：大于向右，小于向左。 知识点04 列一元一次不等式解应用题 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的一个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明要想得分超过80分，他至少要答对多少道题？ 解： 设答对 x 道题，则答错或不答 (20 - x) 道。 得分表达式：5x - 2(20 - x) 列不等式：5x - 2(20 - x) > 80 解不等式：5x - 40 + 2x > 80 -> 7x > 120 -> x > 120/7 ≈ 17.14 取符合题意的最小整数解：x ≥ 18 答：小明至少要答对18道题。 易错点：“不等关系”找不准：抓不住题目中的关键词（如“超过”、“至少”、“不足”），错误地列成了等式。 设未知数不明确：未明确“设什么为x”，或单位不统一。 列出不等式后忽略实际意义检验：解出不等式后，解集可能是一个范围，但需要根据实际情境（如人数、物品数必须是非负整数）筛选出符合条件的特殊解（整数解）。如上例中，x 必须是介于1到20之间的整数。 作答不完整：只写了 x ≥ 18，没有回答“至少要答对18道题”。 知识点05 一元一次不等式组的解法 (1)定义:把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来,就组成了一个一元一次不等式组; (2)解集:几个一元一次不等式解集的公共部分,叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集; (3)解不等式组:求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. 常见情形:已知 a<b. 示例：解不等式组 { 2x + 1 > -1; 3 - x ≥ 1 }，并在数轴上表示解集。 步骤： 解第一个不等式：2x > -2 -> x > -1 解第二个不等式：-x ≥ -2 -> x ≤ 2 （注意：除以-1，变号） 将两个解集 x > -1 和 x ≤ 2 在数轴上表示出来。 找出公共部分：-1 < x ≤ 2。口诀：“大小小大中间找”。 易错点：分别解每个不等式时出错：包含上述解单个不等式的所有易错点。 解集公共部分找错： 依赖口诀但记忆混淆。 不使用数轴辅助，仅凭想象容易出错。强烈建议画数轴。 含字母参数的不等式组讨论不清：当解集为 x > a 和 x < b，且已知解集情况时，对 a 和 b 的大小关系讨论不完整。例如：解集无解（“大大小小无处找”）的条件是 a ≥ b（等号何时取需单独验证），学生易漏等号。 知识点06 一元一次不等式组的应用 (1)审;认真审题,分清已知量,未知量,找出能表示题目全部含义的两个不等关系: (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式: (4)解:解一元一次不等式组,求出其解集: (5)答:写出答案,作出解释. 示例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 解： 设有 x 辆汽车。 货物总量为 (4x + 20) 吨。 “最后一辆不满也不空”意味着：如果全部按8吨装，则货物总量多于 8(x-1) 吨（最后一辆没装满），但不超过 8x 吨（最后一辆有货）。 列不等式组：{ 4x + 20 > 8(x - 1); 4x + 20 ≤ 8x } 解不等式组： 由 4x + 20 > 8x - 8 得 -4x > -28 -> x < 7 由 4x + 20 ≤ 8x 得 -4x ≤ -20 -> x ≥ 5 解集为 5 ≤ x < 7 取整数解：x = 5 或 x = 6。 答：有5辆或6辆汽车。 易错点：多个不等关系提取不全：应用题条件复杂，学生可能只列出其中一个不等式，漏掉另一个限制条件。 “不满也不空”等临界条件翻译错误：“不满”是 >，“不空”是 ≥ 或 >（通常结合题意取 >），需要仔细斟酌。例如上例中，若最后一辆“不满”理解为“少于8吨”，则第一个不等式是 4x+20 < 8x；若理解为“不能刚好装满”，则可能是 4x+20 > 8(x-1)。需结合“也不空”综合判断。这是难点。 解出不等式组后未进行符合题意的筛选：和单个不等式应用一样，解集可能是范围，但最终答案往往是整数解，并且有时需要验证所有整数解的合理性。 方案设计问题中，比较和表述不清晰：当有多种可行方案时，需要比较优劣（如费用最少、利润最大），并完整表述最终方案。 题型一 不等式的性质的运用 解｜题｜技｜巧 定向：首先判断题目是要求运用性质进行变形，还是判断变形过程的正误。 对标：将每一步变形与不等式三条基本性质严格对标。重点关注乘除操作，立即判断所乘（除）的数是正数、负数还是零。 验号：若两边同乘或同除以一个负数，必须在脑海中高亮提示：“变号！”。这是此类题目的核心考点。 特值检验：对于不确定的选项，可以选取一组符合条件的特殊数值（如a=2， b=1， c=-1）代入原不等式和变形后的不等式进行快速验证。 易｜错｜点｜拨 最致命错误：忽略性质3。在不等式两边同乘或同除以同一个负数时，忘记改变不等号的方向。例如：由 -3x > 9 得到 x > -3（错误），正确应为 x < -3。 概念混淆：将不等式的性质与等式的性质混淆。等式两边可同乘0，但不等式两边同乘0会破坏不等关系。 操作对象不统一：性质要求对“两边”进行“同一个数（或式）”的运算。若只对一边运算或两边运算的量不同，则变形无效。 【典例1】（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知，，则下列说法正确的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题根据已知条件，结合不等式性质逐个判断四个说法的正误，利用举反例、不等式变形、二次函数性质推导，统计正确个数得到结果． 【详解】解：已知，，逐个判断： ①判断： 举反例，取，，则，取，满足，但， 故①错误； ②判断： ， ， 又， ， 故②正确； ③判断： ，移项得， ， ， 两边平方得， 故③正确。 ④判断： 构造二次函数， ，抛物线开口向上， 当时，，说明抛物线存在纵坐标小于0的点， 因此抛物线与x轴有两个不同交点， 故判别式，④正确， 综上，正确的说法有②③④，共3个． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）若，下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据不等式的性质一、二， 可判断，，，， 故选项D错误． 【变式2】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ， ，故本选项错误，不符合题意； B. ， ，故本选项错误，不符合题意； C. ， ，故本选项错误，不符合题意； D. ， ，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·期中）若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型二 求一元一次不等式的解集 解｜题｜技｜巧 流程化操作：严格按照“去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1”五步法进行。建议在草稿纸上清晰分步书写。 细节标记：在“去分母”和“系数化为1”这两个易错步骤旁做标记。 去分母：在方程两边每一项（包括不含分母的常数项）旁边标上要乘的公倍数，确保不漏乘。 系数化为1：在未知数系数上画圈，若系数为负数，在旁边醒目地写上“变号”。 数轴表示规范化： 定界点：解集包含等号（≥， ≤）用实心圆点；不包含等号（>, <）用空心圆圈。 定方向：大于向右画，小于向左画。 易｜错｜点｜拨 1. 去分母漏乘：常数项或单独在一边的项忘记乘以公分母。 2. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项的符号都要改变。 3. 移项忘变号：把某项从一边移到另一边后，忘记改变其符号。 4. 系数化为1方向错：同性质3错误，当系数为负时，忘记改变不等号方向。 5. 数轴表示不规范：界点空心实心混淆，方向画反。 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）解不等式，并在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，再数形结合用数轴表示不等式解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如下． 【变式1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，． (1)若，则点A，B间的距离是多少？ (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边还是右边？说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)落在点A右边，理由见解析 【分析】（1）将代入，求出点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （3）根据x的取值范围，求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 点B表示的数为8， 点A，B间的距离为． （2）解：由题意得，， 解得，． （3）解：落在点A右边，理由如下： ， ， ，即， 表示数的点应落在点A右边． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 题型三 求一元一次不等式的整数解 解｜题｜技｜巧 先求范围：首先正确解出不等式，得到解集的一般形式（如 x < a 或 x ≥ b）。 数轴定位：在草稿纸上画出数轴示意图，标出解集的范围和边界点。 边界审定：仔细审查边界点是否包含在解集内。这是确定整数解起点或终点的关键。 列举筛选：在解集范围内，从小到大或从大到小列举所有整数。特别注意边界值本身是否可取。 易｜错｜点｜拨 1. 边界值取舍错误：例如，解集为 x > 2，则整数解从3开始，不包括2；若解集为 x ≥ 2，则整数解从2开始。 2. 解集求解错误：此题型建立在“题型二”正确求解的基础上，若第一步解集求错，则满盘皆输。 3. 整数解遗漏或重复：在列举时粗心，漏掉某个符合范围的整数。 【典例1】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 【变式1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）不等式的正整数解的个数是________． 【答案】2 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：解不等式 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为，得． 不等式的正整数解为，，共个． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式的正整数解是________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 题型四 一元一次不等式的应用 解｜题｜技｜巧 关键词翻译：将文字语言精准转化为数学符号。 “至少”、“不低于”、“不少于” → ≥ “至多”、“不超过”、“不大于” → ≤ “超过”、“大于” → > “不足”、“小于” → < 明确建模步骤： 审：找出所有已知量和未知量，以及关键的不等关系。 设：设出未知数，注意带单位（如“设小明答对了x道题”）。 列：根据不等关系列出不等式。 解：求解不等式。 验与答：验证解是否符合实际意义（如人数、物品数为非负整数），并给出完整答案。 整数解处理：实际问题中，解集常是一个范围，但最终答案往往是该范围内的特定整数（如人数、车辆数）。必须进行筛选。 易｜错｜点｜拨 关系词翻译错误：如将“至少”误列为“>”。 不等关系找不全：在复杂情境中漏掉某个限制条件。 忽略实际意义：求出解集 x ≥ 17.5 后，直接作答，未取 x=18（若x代表整数）。 作答不完整：只写了 x=18，没有用语言完整回答“小明至少要答对18道题”。 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元． (1)若购买这两种学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)购买A种学习用品400件，B种学习用品600件 (2)最多购买B型学习用品800件 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． （1）设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件，根据某文具商场计划购买A，B两种型号的学习用品共1000件，购买这两种学习用品用了26000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品（1000﹣a）件，根据购买这批学习用品的钱不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买A种学习用品x件，B种学习用品y件， 由题意得：， 解得：， 答：购买A种学习用品400件，B种学习用品600件； （2）解：设可以购买B型学习用品a件，则购买A型学习用品件， 由题意得：， 解得：， 答：最多购买B型学习用品800件． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·月考）全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 【答案】(1)该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂 (2)共有3种生产方案，方案1：投入8个大车间，2个小车间；方案2：投入9个大车间，1个小车间；方案3：投入10个大车间 【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，根据题意找出等量关系，列方程组，进行解答即可； （2）设投入m个大车间，则投入小车间个，根据题意列出不等式，进行解答即可． 【详解】（1）解：设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂， 依题意得：， 解得：． 答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂． （2）解：设投入m个大车间，则投入小车间个， 依题意得：， 解得：， 即． 又∵m，均为正整数， ∴m可以为8，9，10，相应的为2，1，0 ∴共有3种生产方案， 方案1：投入8个大车间，2个小车间； 方案2：投入9个大车间，1个小车间； 方案3：投入10个大车间． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火索后，要在炸药爆炸前跑到米以外的安全区域．已知导火索的燃烧速度是厘米/秒，人跑的速度是米/秒．要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过多长才行？ 【答案】超过厘米 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．解决本题的关键是根据操作人员点燃导火索后人所跑的路程要大于米，列出不等式求解即可． 【详解】解：设导火索的长度为厘米，米/秒 厘米/秒，米厘米， 根据题意可得：， 解不等式，得． 答：要保证点火操作人员的安全，导火索的长度必须超过厘米． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)租用型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用； （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 （2）根据总运货量列出二元一次方程，找出所有非负整数解，计算各方案租金并比较最小值 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 依题意，得： 解得 答：1辆A型车运货3吨，1辆B型车运货4吨 （2）依题意，得： 、均为非负整数 ∴ 解得，故 又∵为非负整数 可取、、 当时， 当时， 当时， 租车方案有三种：方案：；方案：；方案： 方案租金：（元） 方案租金：（元） 方案租金：（元） 方案租金最少，为元 答：最省钱方案为租型车辆、型车辆，最少租车费元 题型五 求一元一次不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 分而治之：分别独立求解组内的每一个不等式。确保每个不等式的解集都正确。 数轴辅助：将每个不等式的解集在同一数轴上表示出来。这是寻找公共部分最直观、最不易错的方法。 口诀验证：利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）”来快速验证数轴得出的结果。 规范书写：最终解集要用大括号 { } 或区间形式表示。 易｜错｜点｜拨 单个不等式解错：这是导致整个不等式组解错的最常见原因。 公共部分判断失误：不画数轴，仅凭感觉猜测公共部分，容易出错。 解集表示错误：例如，解集是 -1 < x ≤ 2，错误地写成 x > -1 且 x ≤ 2（虽然意思对，但不够规范），或漏掉一部分。 【典例1】（25-26九年级下·北京·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解为． 【变式1】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）一元一次不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示以上不等式解集为： ． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）设x是实数，现在我们用表示不小于x的最小整数，如，，，．在此规定下任一实数都能写出如下形式：，其中． (1)与x，的大小关系是以下哪种情况：______； ①②③ (2)根据（1）中的关系式解决下列问题； ①求满足的取值范围______； ②解方程：． 【答案】(1)② (2)①；②或 【分析】（1）根据表示不小于x的最小整数，，且即可解答； （2）①由（1）中的关系式得到，求解即可； ②由（1）中的关系式得到，求得，再根据为整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵表示不小于x的最小整数，，且， ∴． （2）解：①∵，且， ∴ 解得； ②∵， 又， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或． 【变式3】（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 【答案】或 【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：将不等式，转化为①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解集为或． 题型六 由一元一次不等式组的解集求参数 解｜题｜技｜巧 常规求解：先将不等式组中的不含参不等式解出来，得到如 x > a 或 x < b 的形式。 含参表示：解出含参数的不等式，其解集边界用含参数的式子表示，如 x < m。 对比定界：将已知的不等式组的最终解集（如 x < 2）与第1、2步得到的两个解集进行对比。 确定关系：根据“同大取大”等规则，确定参数表达式与已知边界值的大小关系（是否取等号是难点，需代入验证）。 易｜错｜点｜拨 等号取舍不清：这是此类题的最大难点。判断参数边界是否包含等号时，可将等号情况单独代入原不等式组，检验解集是否与已知完全一致。 逻辑关系混乱：未能清晰地将不等式组的解集规则转化为参数满足的不等式条件。 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和______． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 题型七 由不等式组解集的情况求参数 解｜题｜技｜巧 情况分类：明确不等式组解集的几种特殊情况：“有解”（存在公共部分）和“无解”（没有公共部分）。 数轴模型化：在脑海中或草稿上建立两个解集在数轴上的模型。 无解模型：两个解集在数轴上向相反方向延伸且没有公共部分，即“大大小小无处找”。形式为 x > a 和 x < b，且 a ≥ b。 有解模型：存在公共部分。 转化为不等式：根据模型，将解集的情况（如“无解”）转化为参数所满足的不等式（如 a ≥ b）。 验证端点：同样需要谨慎处理等号是否成立。 易｜错｜点｜拨 模型记忆错误：混淆“有解”和“无解”对应的数轴模型。 参数关系式列错：例如，对于 x > a 和 x < b 无解，应得 a ≥ b，错误列为 a > b（若 a = b，解集为 x > a 且 x < a，同样无解）。 【典例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 题型八 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 梳理多重条件：仔细阅读，将题目中的每一个限制条件都用数学语言（不等式）表达出来。通常需要列出两个或以上的不等式。 建立不等式组：将这些不等式联立，组成一个不等式组。 求解与筛选：求解不等式组，得到一个解集范围。这个范围内的值（通常是整数）是所有条件同时满足的“可行解”。 方案枚举与比较：根据“可行解”枚举出所有可能的方案。若题目要求最优方案（如最省钱、利润最大），需分别计算每种方案的结果并进行比较。 完整表述：答案应包括：①可能的方案有哪几种；②最优方案是什么及其理由。 易｜错｜点｜拨 条件遗漏：只列出一个不等式，漏掉其他隐含或显性的限制条件。 “不满不空”类条件处理不当：如“最后一辆汽车不满也不空”，需转化为两个不等式：货物总量 > 前(n-1)辆车满载量，且货物总量 ≤ 全部n辆车满载量。 解集未结合实际筛选：解出 5 ≤ x < 7 后，未指出 x=5, 6 两种整数解情况。 方案比较缺失：题目要求选择最佳方案，但只列出了所有方案，未进行比较和选择。 【典例1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不等式两边同时减，则，故A正确； B、，不等式两边同时乘以，则，故B正确； C、，不等式两边同时乘以，则，故C正确； D、，不等式两边同时乘以，则，然后不等式两边同时加，则，故D错误，不成立． 2．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡．已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升，气温下降．要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上？设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列出不等式，先找出气温与海拔高度的关系，再结合杜鹃花适宜生长的气温条件列出不等式即可． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高的山坡上，那么海拔上升了， 则气温下降的度数为，此时的气温为， 由于杜鹃花适宜生长在平均气温不低于的山坡， 因此，可列出的不等式为：． 3．不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 4．当______时，不等式的解集是． 【答案】3 【分析】根据不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得：． 5．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 2．若关于的不等式的正整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得到，由不等式的正整数解共有4个，得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， 系数化1得，， ∵不等式的正整数解共有4个， ∴正整数解为：， ∴， 解得：． 3．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 4．已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】先将方程的解代入原方程，得到，根据非负整数的定义确定的所有可能取值，再计算对应的，比较得到最小值． 【详解】解：将代入得：， 整理得， ∵为非负整数， ∴，， 解得， ∵为非负整数， ∴的可能取值为． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． ， ∴的最小值为． 5．在某次篮球联赛中，雄鹰队与未来队要争夺最后一个出线权，雄鹰队目前的战绩是10胜8负，后面还要比赛10场；未来队目前的战绩是9胜10负，后面还要比赛9场．该篮球联赛的得分规则为胜一场得1分，负一场不得分，所有参赛球队完成28场比赛后，得分更高者获得出线权． (1)为确保出线，雄鹰队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果未来队在后面的比赛中5胜4负，那么雄鹰队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？ (3)如果雄鹰队在后面的比赛中4胜6负，未能出线，那么未来队在后面的比赛中的战果如何？ 【答案】(1)9场 (2)5场 (3)四种可能：①6胜3负；②7胜2负；③8胜1负；④9胜0负 【分析】（1）设雄鹰队还要胜利场，未来队可以胜利场，根据题意列出不等式，解不等式即可； （2）设雄鹰队还要胜利场，未来队胜利场，根据题意列出不等式，解不等式即可； （3）雄鹰队在后面的比赛中胜利4场，则得分为分，设未来队在后面的比赛中胜利场，根据未来队出线，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设雄鹰队还要胜利场，未来队最多可以胜利场， 则， 解得：． 为整数， ∴取， 答：雄鹰队至少要胜利9场． （2）解：设雄鹰队还要胜利场，未来队胜利场，则 ， 解得：． 为整数， ∴取． 答：雄鹰队在后面的比赛中至少要胜利5场． （3）解：∵雄鹰队在后面的比赛中胜利4场，则得分为分，且未来队出线， 则设未来队在后面的比赛中胜利场， ， 解得：． 根据题意可知， 为整数， ∴取或7或8或9． 答：未来队在后面的比赛中的战果有四种可能：①6胜3负；②7胜2负；③8胜1负；④9胜0负． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知实数x，y满足，则的最大值为____． 【答案】18 【分析】先求得和的值，再求得，解不等式可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意，设①， 又②， 得，， 即， 得，， ∴， ， 的最大值为18． 2．“魔幻5D城市”—重庆，受到越来越多游客的追捧，其中火锅是最著名的城市名片．圆圆火锅店的毛肚、黄喉、麻辣牛肉、耗儿鱼四道菜，人气颇高．4月30日，黄喉的单价比毛肚便宜5元，耗儿鱼的单价比麻辣牛肉贵5元，且毛肚与麻辣牛肉的单价和大于等于60元，小于等于70元，4月30日当天麻辣牛肉比毛肚少卖10份，耗儿鱼比黄喉多卖10份．5月1日，该火锅店引进了高端牛肉食材，麻辣牛肉单价比之前上涨1倍，其余三道菜的单价不变，5月1日毛肚的销量比4月30日增加1倍，黄喉的销量不变，麻辣牛肉比4月30日多卖20份，耗儿鱼比4月30日少卖了30份，经统计，4月30日和5月1日两天，四道菜的销售额共6250元．若这四道菜每天均有售出，且单价均为正整数，则4月30日四道菜的销售额最多为________元． 【答案】2870 【分析】设4月30日毛肚的单价为x元，卖出a份，麻辣牛肉单价y元，黄喉卖出b份，4月30日销售额为S，根据4月30日和5月1日两天，四道菜的销售额共6250元，列出方程并整理得，，进而求出可取60、63、70，分类讨论：①当时，，②当时，，③当时，，逐个求解并比较大小即可解答． 【详解】解：设4月30日毛肚的单价为x元，卖出a份，麻辣牛肉单价y元，黄喉卖出b份，4月30日销售额为S， 由题意可得： 4月30日单价 4月30日销量 5月1日单价 5月1日销量 毛肚 x a x 黄喉 b b 麻辣牛肉 y 耗儿鱼 ∵4月30日和5月1日两天，四道菜的销售额共6250元， ∴， 整理，可得：， 又∵四道菜每天均有售出，且单价均为正整数，且4月30日毛肚与麻辣牛肉的单价和大于等于60元，小于等于70元， ， ， ， ∴，且为整数，， 则， ∵且为6300因数， ∴可取60、63、70． ①当时，， ∵为正整数， ∴能被3整除． ∵105能被3整除， ∴也能被3整除． ∵2与3互质， ∴b为3的倍数． 又∵，即， ∴． ∵且为3的倍数， ∴b最大可取36，此时，满足条件． ∴． ②当时，， 同①可得能被3整除， ∵， ∴， ∴b最大可取32，此时， ∴； ③当时，， 同①可得能被3整除， ∵， ∴， ∴b最大可取27，此时， ∴； ∵， ∴4月30日销售额最多为2870元． 3．若实数a，b同时满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据题意得出，再分四种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得：， 当，时，，此方程组无解； 当，时，，解得：， ∴； 当，时，，解得：，此解不符合题意舍去； 当，时，，此方程组无解； 综上，． 4．已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 5．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $