专题06 分式（9大压轴题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06分式(9大压轴题型) 题型归纳·内容导航 题型1分式的求值 题型7分式方程解的情况求值问题 题型2分式混合运算压轴 题型8分式方程的实际应用 题型3分式规律性计算 题型9分式的新定义问题 题型4分式值为整数时的求值问题 题型5分式中的最值问题 题型6解分式方程综合运算 题型通关·靶向提分 题型一分式的求值（共3小题） 1.(23-24八年级上云南昆明期末)阅读下面的解题过程：已知产=有，求柔的值. 解：由泽=号知x≠0，所以安=3，即x+=3: 因此装=x2+是=(x+)2-2=32-2=7,所以的值为时. 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知=字，求+的值. 2。(20-21九年级下河南郑州开学考试)先化简，再求值：（号-x十1D9,其中×的取值-32， 8+1 -4,-√17，-(25-1)这四个实数中最小值. 3.(23-24八年级下.甘肃天水月考)计算： 0(-2)+(33-24)°-()2， 2+. 题型二分式混合运算压轴（共3小题） 4.(25-26九年级上·重庆期中)先化简，再求值： 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2a+1)(2a-1)-a(4a-1)-(a+1)÷,其中a=(青)°6. 5.(25-26九年级上重庆期中)先化简，再求值： 四-4÷（学-m-1)-m(2m-)+2(m+号）(m-),其中m=1V+(3.14-m)° 6.(25-26九年级上重庆·月考)先化简，再求值： (3x+2)(x+1)-x(3x+4)+÷(点)，其中x=()+(π+1)°， 题型三分式规律性计算（共3小题） 7.(23-24九年级下·重庆期中)给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1，第二个数记为2，第三个 数记为a3,以此类推，第n个数记为an(n为正整数)，已知a1X.并规定：an+1=气，Tn=1a2agan ，Sn日1十a2十a十.十am:则①a2R5:②T1+T2+T3十+71000=；③对于任意正整数k, Tx+3(SSx+2)=T张-T张-1-T张-2成立，以上结论中正确的有(） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2am+1 8.(2022湖南中考真题)有一组数据：a1=1x2x,a2-2x3x,ag3x4x5,…,an-m++万·记 Sn=a1十a2十a3十.十an,则S12F 9.（24-25九年级上重庆北碚·期中)给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1，第二个数记为a2,第 三个数记为g,以比类推，第n个数记为n:已知a1X,并规定：n+1-号，n=日1a2ag”an Sn=a1十a2十a3十…十an.下列说法： ①a2=a10: ②T1+T2十T3十…+T2024=0; ③对于任意正整数k,都有， 5业=+T4k+1-3成立. Tik+1 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 题型四分式值为整数时的求值问题（共3小题） 10.(25-26九年级上山东烟台期末)阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式， 例如：a十b十c,abc,a2+b2,含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a2+b2, (a+2)(b+2)等对称式都可以用a+b,ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2-2ab. 请根据以上材料解决下列问题： 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)式子①a262;②a2-b2;③洁+号：④a26+b2a中，属于对称式的是_（填序号）； (2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n. ①若m=4,n=一6时，求对称式号+号的值. ②若n=-6时，请直接写出对称式吕+号的最大值.。 11.(24-25八年级上福建福州期末)阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比 分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”.类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母 的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时， 我们称之为“真分式”。 如：，器这样的分式就是假分式：如：寻年这样的分式就是真分式，假分数子，可以化成1+（即 带分数1)的形式，类似的，假分式也可以化为带分式. 如：_-x+业2--1+， 8-1 8-1 分式就拆分成一个分式忌与一个整式(x-1)的和的带分式形式. 阅读材料2：由(ab)2≥0得，a2+b2≥2ab:如果两个正数a,b,即a>0,b>0, 则有下面的不等式：a+b≥2Wb,当且仅当a=b时取到等号. 例如：己知x>0,求式子x+号的最小值， 解：令a=x,b=爱，则由a+b≥2Wb,得x+≥2k=4, 当且仅当x=是时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4. 请根据上面材料回答下列问题： (①)分式安可变形带分式得，当x>0,它的最小值为_： (2)若分式+1四的值为整数，则整数x的值为： 8十3 (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元， 二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍.求当参 加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用÷ 参加活动的同学人数) 8+m (④)若式子-一2的最小值是4，求m的值. 12.(25-26八年级上江苏镇江·月考)请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例 如：圣，号；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：辛，我们知道，假分 数可化为带分数，例号-1牛=3+=3，类似的，假分式也可以化为带分式”（整式与真分式和的形式）， 4 例如： -2=1一吊、 ()将分式器化为带分式： ②)当x取哪些整数值时，分式警的值也是整数？ (3)当x= 时，分式的最大值是 题型五分式中的最值问题（共3小题） 13.（23-24八年级上江西南昌期末)阅读材料： 已知ab为非负实数，a+b-2V6=(W)2+(6)2-26=(6)2≥0a+b≥2b,当且仅 当“a=b”时，等号成立. 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.例：己知x>0,求代 数式x+的最小值. 解：令a=x,b=是，则由a+b≥2Wb,得x+爱≥2k是=4. 当且仅当x=号，即x=2时，代数式取到最小值，最小值为4. 根据以上材料解答下列问题： (1)已知x>0,则当x= 时，代数式x+取到最小值，最小值为 (2)用篱笆围一个面积为1002的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最 短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知x>0,则自变量x取何值时，函数y=x-+9取到最大值？最大值为多少？ (④)若x为任意实数，代数式+x+5的值为m,则m的取值范围为 14.(2025八年级上福建福州专题练习)已知a,b为非负实数， a+b-2b=()2+(6)2-2a6=(a6)2≥0， a+b≥2ab,当且仅当“ab时，等号成立. 这个结论就是著名的均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用. 例：已知x>0,求代数式x+最小值. 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：令a=x,b=是，则由a+b≥2yb,得x+≥2yk爱=4. 当且仅当x=,即x=2时，代数式取到最小值，最小值为4. 根据以上材料解答下列问题： (1)已知x>0,则当x=时，代数式x+取到最小值，最小值为： (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为200m2的长方形的生物园，其中生物园的一面AD靠墙（墙足够 长)，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边AB的长为x米，当这个矩形生物园的宽AB为多少米时，所 用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ 墙 A D 生物园 B 3)已知x>0,则自变量x取何值时，代数式-云+4取到最大值？最大值为多少？ 15.(25-26八年级上北京·月考)阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：=1+片.在分式中，对于只含有 一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的 次数时，我们称之为真分式，如，器，这样的分式是假分式：如录与2这样的分式是真分 式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例知：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式。 方法1：25-+-5_+832X-1一； +3 +3 +3 方法2：由分母为x+3,可设x2+2x-5=(x+3)(x十a)+b(a,b为待确定的系数)， :(8+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+(a+3)x+(3a+b), x2+2x-5=x24(a+3)x+(3a+b)对于任意x,上述等式均成立， {626 fa=-1 x2+2x-5=(8+3)(x-1)-2 祭5_-1-， 8+3 这样，分式装等就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式。 【材料2】对于式子2+，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以2+的最大 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值为5。 (分式是分式（填“真或“假）； ②)把分式经兰化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： 6)当x≥1时，求分式平之的最大值. 题型六解分式方程综合运算（共3小题） 品+=5 16.(25-26七年级上·上海·月考)解方程组 站奇1 17.（25-26八年级上湖南郴州·月考)解方程： 02十=1： (2是2=-3. 18.(25-26八年级上上海期中)解关于x的方程：号+号=+特。 题型七分式方程解的情况求值问题（共3小题）】 ∫学≤-x+2 19.(21-22八年级下江苏宿迁·月考)若关于x的不等式组 (5x+4>-a 有且仅有4个整数解，且使得 关于y的分式方程六-1=品有整数解，则满足条件整数a的和为 5x>3(x-2) 20.(25,26八年级下重庆月考)已知关于x的不等式组x盛学≤号有且仅有3个整数解，且关于y的 分式方程》=号一1的解为整数，则满足条件的整数的和为 21.(25-26八年级下·山西临汾月考)若关于x的分式方程爱=爱的解为正整数，且关于y的不等式组 号+9>2w 、a-5y≤6 有且仅有4个整数解，则满足条件的a的值为 题型八分式方程的实际应用（共5小题） 22.(25-26八年级上·北京·期末)京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行.但在实际运营 中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整.某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南 站运营时长的2倍.已知怀柔南站至承德南站运营里程约为128km，朝阳站至怀柔南站运营里程约为 55km,若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快25kmh,求该次列 车朝阳站至怀柔南站运营时长 23.(25-26八年级上·上海·期末)某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成.己 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间 的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成.问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 24.(2022浙江温州模拟预测)猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能 促进心脏健康.在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同 价格的同一种猕猴桃.泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤. 泰泰：我花的钱》 顺顺：我和上次 C和上次样. 买的斤数一样 8 0 (1)求这种猕猴桃的单价 (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元.两个人购买方案不同如图所示.他们想 通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算.计算得泰泰两次购 买的猕猴桃平均价格是元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是元/斤 (3)泰泰和顺顺通过这次购买猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到 爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”.他们要建议父母按相同的_（填“金额” 或“油量”)加油更合算.请你通过计算说明理由. 25.(25-26八年级上·全国·期末)在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不 同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于 购买A型口罩和B型口罩的费用相同 (I)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的α倍，乙单独完 成的时间是甲丙合作完成时闻的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求十中十。的 值. 26.(25-26八年级上·福建厦门期末)某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别 由A,B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要 指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨） 年污水处理总量 决定，污水处理率一年污水排散思园 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025年A,B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理) 年污水处理总量万吨 甲 A 90 乙 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的80%，A厂的污水处理率高于B厂，且两者 的差值为2.5%： ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加25%，现计划对A,B两厂均进行设 备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的20%.镇长希望以此为契机，提升B 厂的污水处理能力，使A,B两厂的污水处理率相同.不妨设A厂的年污水处理总量增加：万吨，B厂的年 污水处理总量增加b万吨(a,b均为整数)，若作为镇长，你如何规划A,B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A,B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨， B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为10%.为 给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的 大小 题型九分式的新定义问题（共3小题） 27.(25-26八年级下江苏盐城月考)【定义新运算】对正实数，b,定义运算“田”，满足a0=出。 例如：当a>0时，(2a)田1=0=条 (1)当a>0时，计算：(2a)⊕2=；(2a)⊕(2a)= (2)【探究运算律】对正实数a,b,运算“⊕”是否满足交换律a⊕b=b⊕a? a⊕b=典，bda-照， .a⊕b=b⊕a .运算“⊕”满足交换律a⊕b=b⊕a. 对正实数a,b,c,运算“⊕”是否满足结合律(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)?请说明理由： (3)【应用新运算】如图，在线段AB上取一点E,在同侧分别以AB、BE为边作正方形ABCD和正方形 BEFG,连接DEBD,AB=a,BE=b,若△BDE的面积为3，AE=1,则(2a)⊕b⊕(2a)的值为 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B G 28. (25-26八年级上江苏南通月考)新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我 们把这样的式子称作交换对称式。 例如：2+y2(8-1)y-1),它们都是交换对称式.已知：(8-a)(&b)=x2-px+q, ①若p=2,q=一1，则交换对称式贵+号= ②若q=-2,则交换对称式2学+的最小值为 29.(25-26八年级上广东汕头月考)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即A-B=AB,则称分 式B是分式A的友好分式.如中与中，因为市中=西寸×中=百，所以中是 1 本克的友好分式”。 )填空：分式x4 分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式+是分式A的“友好分式”.求分式A的表达式. 9/9专题06 分式（9大压轴题型） 题型1 分式的求值 题型7 分式方程解的情况求值问题 题型2 分式混合运算压轴 题型8 分式方程的实际应用 题型3 分式规律性计算 题型9 分式的新定义问题 题型4分式值为整数时的求值问题 题型5 分式中的最值问题 题型6 解分式方程综合运算 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的求值（共3小题） 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论． 【详解】解：由知 ，即 ， ． 2．（20-21九年级下·河南郑州·开学考试）先化简，再求值：（－x＋1）÷，其中x的取值－3，－4，－，－（2－1）这四个实数中最小值． 【答案】，﹣(1+)2 【分析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分． 【详解】解：原式 ； ，，，， 最小， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键． 3．（23-24八年级下·甘肃天水·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的计算及分式的化简，掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）先算立方、零次幂、负指数幂再算加减法； （2）利用分式化简得方法直接化简即可． 【详解】（1）解： （2） 题型二 分式混合运算压轴（共3小题） 4．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】，． 【分析】先利用平方差公式、单项式乘多项式化简整式部分，再对分式部分通分、因式分解后化简，最后计算的值并代入求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算、分式的混合运算、零指数幂与算术平方根的运算，熟练掌握公式（平方差公式）的应用、因式分解及分式的约分通分是解题的关键． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：；值为： 【分析】先将分式、整式通过通分、因式分解等方法进行化简，再将的值计算出来，最后代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴上式 【点睛】本题考查了分式的化简及整式的化简，绝对值的化简，零指数幂的计算，关键是熟练准确的进行运算． 6．（25-26九年级上·重庆·月考）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算． 根据题意化简得，再计算的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 又， 代入得， 所以原式的值为． 题型三 分式规律性计算（共3小题） 7．（23-24九年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， 故②正确； 由①②可得分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时： ， ， ∴， 当为偶数时： ， ， ∴， 故③正确； 故选：D． 8．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 9．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以比类推，第n个数记为．已知，并规定：，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意，找到循环周期和规律，逐一计算判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以，，，，每四个为一个周期循环， ， ∴，，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ，故②正确； ∴，， ∴ ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 题型四 分式值为整数时的求值问题（共3小题） 10．（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【详解】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的最大值是5 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识． （1）根据材料提供方法变形即可求解； （2）由（1）得，根据分式的值是整数，得到为整数，即可得到当x取整数时，是3的整数因数，得到或，即可求出； （3）变形为，即可得到当取最小值时，分式有最大值．根据，得到，求出当时，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵由（1）得， ∵分式的值是整数， ∴为整数， ∴当x取整数时，是3的整数因数， ∴或， ∴； （3）解：， ∴当取最小值时，分式有最大值． ∵， ∴， ∴当即时，， 故当时，分式的最大值是5． 题型五 分式中的最值问题（共3小题） 13．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 14．（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为6，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得代数式解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原代数式变形为，由取最小值，即可确定取何值时， 取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40， ∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 15．（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 题型六 解分式方程综合运算（共3小题） 16．（25-26七年级上·上海·月考）解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程组，设，则原方程组化为，解出，进而求出，再求出结论即可． 【详解】解：设，则原方程组化为： ， 解得：， ， ， 解得：． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根． （2）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 18．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，将原方程变形再计算即可． 【详解】解：原方程变形得，， 化简得，， ， ， ， ， 即， 解得，， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 题型七 分式方程解的情况求值问题（共3小题） 19．（21-22八年级下·江苏宿迁·月考）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件整数a的和为__________． 【答案】 【分析】根据不等式组有且仅有4个整数解，求出a的取值范围，再根据y的分式方程有整数解，求出满足条件的整数a的值，然后求和即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴，整数解为：3，2，1，0， ∴， ∴， ∵，解得：， ∵方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴a的值为：或1， ∴满足条件整数a的和为． 20．（25-26八年级下·重庆·月考）已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有个整数解，确定出的范围，将分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数以及分式有意义的情况确定出的值，再计算满足条件的整数的和即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ，解得， 整数可以为，，，，，，，， ， 去分母得，， 解得， ，即， ， ，即， ， 分式方程的解为整数，当时，，不满足题意， ， 整数可以为，，，，， 满足条件的整数的和为． 21．（25-26八年级下·山西临汾·月考）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的的值为________． 【答案】5 【分析】先解方程得到，根据方程的解为正整数且方程不能有增根得到为正整数，且；求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集情况求出a的取值范围，再结合为正整数求出a的值即可． 【详解】解：解方程 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的分式方程的解为正整数，且要满足，即， ∴为正整数，且，即 解不等式， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴或 ∴或（舍去）． 题型八 分式方程的实际应用（共5小题） 22．（25-26八年级上·北京·期末）京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 【答案】该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时 【分析】设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时，根据题意列方程求解即可． 本题考查分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时． 23．（25-26八年级上·上海·期末）某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合作需要24天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 【答案】甲、乙两组合做能在规定时间内完成 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式方程的解法的运用，工程问题的数量关系“工作量工作效率工作时间”的运用，解答时根据工作问题的数量关系建立方程是关键．设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天，根据题意可列方程为，由此解答即可． 【详解】解：设规定时间为天，则甲组单独完成这项工程需要天，乙组单独完成这项工程需要天， 根据题意得： 化简得： 整理得： ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 但时，，不符合实际意义，故舍去 所以规定时间为28天， 因为，所以甲、乙两组合做能在规定时间内完成， 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成． 24．（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 25．（25-26八年级上·全国·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 26．（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为 ，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 题型九 分式的新定义问题（共3小题） 27．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． (1)当时，计算：______；______． (2)【探究运算律】对正实数a，b，运算“”是否满足交换律？ ，， ． ∴运算“”满足交换律． 对正实数a，b，c，运算“⊕”是否满足结合律？请说明理由； (3)【应用新运算】如图，在线段上取一点E，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，连接、，，，若的面积为3，，则的值为_______． 【答案】(1)； (2)满足，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算先分别计算和，再计算和，然后比较计算结果，即可得出结论； （3）根据新定义的运算先计算，再计算，再根据已知得出，，然后根据完全平方公式求出，再待入原式的最简结果计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：满足，理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即对正实数a，b，c，运算“⊕”满足结合律； （3）解：∵， ∴ ， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，已舍去）， ∴原式． 28．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 29．（25-26八年级上·广东汕头·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． $