专题08 期中真题百练通关反比例函数压轴满分题型（32题5大题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

场学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08期中真题百练通关反比例函数压轴满分题型(32题5 大题型) 1 真题实战·百练通关 题型1反比例函数与一次函数综合压轴题 题型4反比例函数与实际应用压轴题 题型2反比例函数与几何图形综合压轴题 题型5反比例函数与动点问题综合压轴题 题型3反比例函数【的几何意义综合压轴题 题型一反比例函数与一次函数综合压轴题（共5小题） 1.(24-25八年级上上海宝山期中)如图，已知直线y=2x与双曲线y=(k≠0)交第一象限于点 A(m,6). (I)求点A的坐标和反比例函数的解析式： (2)将点0绕点A逆时针旋转90·至点B,求直线0B的函数解析式： (3)在(2)的条件下，若点C是射线0B上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线y=(k≠0)的 图像于点D,交x轴于点E,且S△Dco:S△DEo=2:3,求点C的坐标. 2.(24-25九年级上湖南岳阳月考)已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于 点A(-3,m),B(1,-6),与x轴交于点C. 1/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)若点P在x轴上，且△PAO为等腰三角形，求点P的坐标： (3)我们定义有一个内角为45的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”.反比例函 数y=是在第四象限的图象上是否存在点Q,使得△0BQ是不以0B为“半直角边的半直角三角形？若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(23-24九年级上河南周口·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x一1与y轴相交于点A, 与反比例函数y=会在第一象限内的图象相交于点B(4,a)· (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当x>0时，关于x的不等式签一x+1>0的解集； (3)将直线y=x-1向上平移号个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C,求△ABC的面积. 4.(2023广东河源.一模)问题：任意给定一个矩形A,是否存在另一个矩形B,使它的周长和面积分别 是矩形A周长和面积的一半？ (1)当己知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B,使它的周长和面积分别是矩形A 周长和面积的一半？ (2)如果矩形A的边长为m和n,请你研究：m,n满足什么条件时，矩形B存在？ 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)x和y分别表示矩形B的两边长，且x,y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研 究解答下列问题： ①满足条件的矩形B的两边长是多少？ ②这个图象所研究的矩形A的两边长是多少？ 2-1,0123 -1 5.(2023四川成都·三模)直线l1:y=-x+4与y轴交于点C,反比例函数y=受的图象交于点 A(m,3)、B. 图1 图2 (I)求a的值及B的坐标； (2)在x轴上存在点D,使S△4cD=S△4oc,求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数y=景的图象沿直线！1：y=一x十4翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分）， 若直线2：y=kx十4与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围. 题型二反比例函数与几何图形综合压轴题（共5小题） 6.(25-26九年级上贵州铜仁月考)如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=奈(x<0)的图 象过点C(-4,2),点D的纵坐标为4，直线CD与x轴，y轴分别交于点AB. 3/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P O (1)求直线CD的函数表达式： (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标. (3)已知点D关于y轴的对称点为M,点C关于x轴的对称点为NQ为y轴上的动点.问直线CD上是否存在 点G,使得以点M,N,Q,G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G的坐 标；若不存在，请说明理由 7.(2025九年级上·山东济南专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与反比例函数 y=(x>0)的图像交于点A3,n),与y轴交于点B(0,-2),点P是反比例函数y=(x>0)的图像上 一动点，过点P作直线PQIy轴交直线y=x+b于点Q,设点P的横坐标为t,且0<t<3,连接AP, BP. B B (备用图) (1)求k,b的值； (2)当△ABP的面积为6时，求点的坐标： (3)设PQ的中点为C,点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当四边形为BCDE正方形时，求出点P的 坐标。 8.(25-26九年级上重庆月考)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=罗在第一象限内的图象相 交于A(1,2),与x轴交于点B(-1,0). 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)已知C(2,n)是反比例函数图象上一点，求△ABC的面积； (3)结合图象，直接写出当x>0时，不等式kx+b≤要的解集为 9.(25-26九年级上全国期末)如图1，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数 y=罗(m≠0，x<0)的图象相交于点A(-1,n),与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知 0B=0C=2. B B 图1 图2 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线BD过点E(O,号)，且与反比例函数交于点D,点F是y轴上的一个动点，点P是直线BD上的 一个动点，当AP+号PB最小时，求AF+FP的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点D(一2,3，连接AD,将线段AD以点D为圆心，逆时针旋转90°，得到线段DN,连接 CN,在反比例函数图象上存在一点Q,使得∠CND+∠QC0=90°，直接写出所有符合条件的点Q的 坐标. 10.(2025山东济南模拟预测)己知：如图1，在平面直角坐标系中点A(2,0),B(0,1),以AB为顶 点在第一象限内作正方形ABCD,反比例函数y1=尝(x>0),y,=受(x>0)分别经过C、D两点 5/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A 图1 图2 (1)求点C的坐标并直接写出k1、k2的值； (②)在反比例函数y1=会(x>0)图象上点C的右方有-点P,使S△cDP=1,求P点的坐标； (③如图2，过点D作DH⊥x轴，垂足为点H,交y1=安(x>0)的图象于点E,点M为y轴上一动点，在 平面直角坐标系中是否存在点N,使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的 坐标，若不存在，请说明理由. 题型三反比例函数K的几何意义综合压轴题（共5小题） 11.(2026上海普陀一模)如图，点A、点B是双曲线y=会(k≠0)图象上的两点(A在B的右侧)· 延长BA交y轴正半轴于C,OC的中点为D.连接BD,OA,交点为E.若△BEO的面积为5，四边形 AEDC的面积等于△BEO的面积，则k的值为 12.(2024山东日照模拟预测)如图，点A、B是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点，延长线段AB 交y轴于点C,且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D,点E为线段OD的三等分点，且 OE<DE.连接AE、BE,若S△4BE=7,则k的值为； A 6/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(23-24九年级上辽宁盘锦期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的对角线OB在x轴上， 顶点A在反比例函数y=会(k≠0，x>0)的图象上，若菱形0ABC的面积为6，则k的值为() B A.-6 B.6 C.-3 D.3 14.(23-24九年级上湖南株洲期中)如图，点A,B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第 象限)，连接AB交x轴于点C.点D,E在函数y=(b<O,x<0)图象上，AEK轴，BDIy轴，连接 DE,BE.若AC=2BC,△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a的值为 15.(23-24九年级上安徽合肥期中)如图，点A,B分别在函数y=景(a>0)图象的两支上（A在第一 象限)，连接AB交x轴于点C.点D,E在函数y=是(b<0,x<O)图象上，AE‖x轴，BD‖y轴，连 接DE,BE (1)若AC=2BC,△ABE的面积为9，则a-b的值为 (2)在(1)的条件下，若四边形ABDE的面积为14，则经过点D的反比例函数解析式为 7/17 学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 题型四反比例函数与实际应用压轴题（共5小题） 16.(25-26九年级上山东枣庄·月考)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时 间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x≤10和10≤x≤20时，图象是 线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： B 48 01020 40x (1)分别求出当0≤x≤10与20≤x≤40时，注意力指标数y与时间x的函数表达式： (2)己知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节 课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接 受？ 17.(24-25九年级下·重庆渝北月考)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8,点D 为AB的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B一A方向匀速运动，至点A处停止；同 时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线C→D→A方向匀速运动，至点A处停止.设点P运动时 间为x秒(0<x<10),△ABC的面积与△PBC的面积之比为y1,△ACQ的面积为y2 12 11 10 9 7 6 2 0123456789101112x (1)请直接写出y1,Y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1,Y,的图象，并写出函数V,的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y,≥y,时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 18.(24-25九年级上·广东佛山·月考)教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上 升7℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(m)成反比例关系， 8/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为30℃时， 接通电源后，水温y(℃)和时间x(mn)的关系如图. Ay/C 100 30B x/min (I)直线AB的函数关系式为 (2)①如图，t的值为： ②饮水机第一次关机前，当水温达到60℃以上时，则x的取值范围为 (3)为了在上午第三节下课时(10：40)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的 7:30吗？说明理由 19.(23-24九年级上广西南宁.开学考试)【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用 木栏围住，木栏总长为am. LLLLLLLLLLLLLLLLLLL D B 图1 【问题提出】小明提出这样一个问题：若a=10,能否围出矩形地块？ 【问题探究】(1)小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为xm,BC为ym.由矩形地块面积为8m2,得到xy=8,木栏总长为10m,得到2x+y=10, 在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交 点的坐标 如图2，反比例函数y=景(x>0)的图象与直线l1:y=-2x+10的交点坐标为(1,8)和，因此， 木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m,BC=8m;或AB=m,BC= 9/17 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1= 8x>0) 图2 【类比探究】(2)若a=6,能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明 理由 【问题延伸】(3)当木栏总长为am时，小华建立了一次函数y=-2x+a.发现直线y=-2x十a可 以看成是直线y=一2x通过平移得到的.在平移过程中，当直线y=-2x+a与反比例函数 y=景(x>0)的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值. 20.(2023江苏盐城二模)盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两 边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的 一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b=号一2.某校“数学兴趣小组对此函 数进一步推广，得到更一般的函数y=号一2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： 8 6 4 -8-6-4-2 02468 b 4 6 8 图1 图2 ()如图2，在平面直角坐标系x0y中，请用描点法画出y=希一2的图象，并完成如下问题： ①函数y=斋-2的图象可由函数y=号的图象向左平移 个单位，再向下平移个单位得到， 其对称中心坐标为一； ②根据该函数图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥一1？ 10/17 专题08 期中真题百练通关反比例函数压轴满分题型（32题5大题型） 题型1 反比例函数与一次函数综合压轴题 题型4 反比例函数与实际应用压轴题 题型2 反比例函数与几何图形综合压轴题 题型5 反比例函数与动点问题综合压轴题 题型3 反比例函数K的几何意义综合压轴题 题型一 反比例函数与一次函数综合压轴题（共5小题） 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标； (3)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： (2)点坐标为 (3)存在两个点，坐标为或 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分、、三种情况，分别求解即可； （3）过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，①当时，求出点坐标，②当时，过点作，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在直线图象上， ，解得， 一次函数解析式为：； （2）解：设点， 由点、、的坐标得：，，， 当时，则， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点或， 综上，点的坐标为： ． （3）解：如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ①当时， 在和中， ， ， ，， ， 设直线解析式为，将代入得，解得， 直线解析式为， 联立方程组，解得， ， ②当时，过点作， 直线的，设直线解析式为， 将点坐标代入得：，解得， 直线解析式为， 联立方程组得： ，解得， ． 综上所述，存在两个点，坐标为或 3．（23-24九年级上·河南周口·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．    (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集； (3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在直线上可得a，将点B代入即可求解． （2）由反比例反比例函数大于一次函数时反比函数图像位于一次函数上方即可求解； （3）直线向上平移个单位可得，联立平移后的直线与反比例函数即可得点C坐标，过B作得求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入得： ． （2）原不等式变形得：， 即可看作反比例函数大于一次函数， ， 由图可知可得：   ． （3）直线向上平移个单位得： ， 联立， 解得：或（舍去）， 点C坐标为， 过B作，    点M坐标为，点N坐标为， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题，待定系数法求函数解析式，反比函数与一次函数的图像及性质，解题关键是“利用割补法求面积”． 4．（2023·广东河源·一模）问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ (2)如果矩形A的边长为m和n，请你研究：m，n满足什么条件时，矩形B存在？ (3)x和y分别表示矩形B的两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题： ①满足条件的矩形B的两边长是多少？ ②这个图象所研究的矩形A的两边长是多少？ 【答案】(1)存在，理由见解析 (2)存在，理由见解析 (3)①和；②和 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用： （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长为x、宽为y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解； （2）设所求矩形的长为x、宽为y,将两个函数关系式联立后得到方程组，利用方程时，存在这样的矩形即可； （3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，根据图象求得周长k和面积S；①根据图象求出解析式，组成方程组即可求得，②设矩形A的长为m、宽n，根据题意列出方程组，即可求解； 解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点． 【详解】（1）存在． 设所求矩形的两边分别是x，y， 由题意得方程组， 消去y化简得， ∵， ∴； 所以满足要求的矩形B存在； （2）当时，矩形B存在， 理由：， ∴， ∴， ∴当时，矩形B存在； （3）设矩形B周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长， ∴， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ①由题意知， 解方程得或， ∴满足条件的矩形B的两边长为和； ②∵B的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半． 设矩形A的长是m、宽是n， ∴， 解得或， ∴矩形A的两边长为和． 5．（2023·四川成都·三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．    (1)求a的值及B的坐标； (2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答； （2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答； （3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围． 【详解】（1）解：代入，可得， 解得， ， 将代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 列方程， 解得，， 经检验，，是方程的解， 当时，， ； （2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，    当时，得，解得， 当时，得， ， ， ， 设， 故， ， ， ， 可得方程， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：列方程， 整理得， 当和，只有一个交点时，只有一个解， 此时， 即， 解得， 当时，方程为， 解得， 和的交点为， 如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，    故，，， 当时，可得，解得， ， ， ， ， ， ， ， 点M的横坐标为， 当时，可得， ， ， 将代入，可得，解得， 满足条件的k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键． 题型二 反比例函数与几何图形综合压轴题（共5小题） 6．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解、最短路径问题、平行四边形的判定等知识． （1）用反比例函数图象上点的坐标特征求反比例函数解析式后求的坐标，然后设一次函数解析式，代入坐标解方程组，得到直线的表达式； （2）作关于轴的对称点，求直线与轴的交点，即为点； （3）求的坐标，设的坐标，分“为对角线、为对角线、为对角线”三种情况，利用平行四边形“对角线中点重合”的性质列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴代入得，即反比例函数为． ∵点在上且纵坐标为4， ∴把代入，得，即． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点在轴上，要使最小， ∴如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，，即直线为． ∵点在轴上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为； （3）解：∵关于轴的对称点为， ∴； ∵关于轴的对称点为， ∴． 设，，分三种情况： ①以为对角线 ∵平行四边形对角线中点重合，中点为，中点为， ∴，，解得，此时； ②为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时； ③为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时． 综上所述，点的坐标为、、． 7．（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图像上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． (1)求，的值； (2)当的面积为6时，求点的坐标； (3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将点坐标代入求得； （2）表示出的长，根据求得，进而得出点的坐标； （3）分为是边，点在轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点在轴正半轴上时，过点作轴，作，证明，进而得出，从而求得的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∴过点， ∴． （2）设，则， ∵，， ∴． ∵， ∴ 得：， ， 解得：，（舍）． ∴； （3）①如图1， ∵，， ∴． 当是边，点在轴正半轴上， 作于，作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴； ②如图2， 当点在轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴； ③如图3， 当是对角线时， 当是对角线时，点在轴的负半轴上时， 可得：，， ∴， ∴， ∴， ④如图， ，， ∴， ∴，（舍）， 当时，， ∴． 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 8．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)已知是反比例函数图象上一点，求的面积； (3)结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． （2）解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． （3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为，点F的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）由可得两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；再由点A在反比例函数的图象上，由待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）易得直线的解析式为，作轴于点G，轴于点H，交直线于点，设，则，则可表示出，，，从而求得，则，当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长．作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点，则可得，，当三点共线时，的值最小，且可求得最小值；再由待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点F的坐标； （3）过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T，则由易证，从而得，从而得到，并求得直线的解析式为，由此可得点R的坐标，待定系数法求得直线的解析式，与反比例函数联立，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把上述两点坐标分别代入一次函数中，得， 解得：, ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴， 把点A的坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把点B的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图1，作轴于点G，轴于点H，交直线于点， 设，则，易知所求点P在点B的左侧． ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长． ∵， ∴， 如图1，作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点， 由轴对称的性质可得，， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为． 由待定系数法得直线的解析式为， 当时，， ∴，即此时点F的坐标为． （3）解：如图2，过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T， 则， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设直线与直线交于点R． ∵，， ∴轴， ∴． 又∵． ∴， ∴， 作于点K，则， ∴点R的横坐标为， 当时，，即， ∴直线的解析式为． 联立解得或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点或； (3)存在，或或． 【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值； （2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解； （3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时． 【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点， ， 正方形中，，， 平面直角坐标系中， ，， ， 在和中， ， ， 又，， 则，， 则点， 同理可得，， ，， 则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点， 过点作交轴于点，作交延长线为， 则， ， 由直线的表达式知，， ，， ， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点， ， 解得：或， 即点或； （3）解：存在，理由： 当时，，即点， 设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或， 解得：， 即点或， 综上，或或． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合、一元二次方程的实际应用，解题关键是分类讨论． 题型三 反比例函数K的几何意义综合压轴题（共5小题） 11．（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得是解题的关键． 先求出为中边的中线，求出面积的比例，再推导为中边的中线，根据中线得出为重心，求出，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵的中点为， ∴为中边的中线， ∴，即． 四边形的面积等于的面积，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵和高相等， ∴， ∴为中边的中线．     ∴为的重心， ∴， ∵设和过点的高为， ， ∴， ∴， ∴． ∵设，， ∵， ∴，即，即 ∴，即． ∵点、点在双曲线上， ∴， 将代入①中得：，即， ， ， ． 故答案为：． 12．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段的中点，过点作轴于点，点为线段的三等分点，且．连接、，若，则的值为______； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．设，其中，则由B是中点可求得点坐标，由点C在y轴上，得m与n的关系，从而得D、E的坐标；连接，则得，根据，则可求得k的值． 【详解】解：设，其中， 由于点B是的中点， 则； 因点C在y轴上，则， ∴； 即，； ∵轴于点，点为线段的三等分点，且 ∴D点的坐标为，E点坐标为， ∴，； 如图，连接， ∵点为线段的中点， ∴； ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：； 故答案为：． 13．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值． 【详解】连接交于如图： 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， 解得∶． 故选∶D． 14．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为______．    【答案】9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．    （1）若，的面积为9，则的值为______． （2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为______． 【答案】 12 【分析】（1）设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解； （2）可求，由，即可求解． 【详解】（1）解：设， 轴， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为9， ， ， 解得：； 故答案：． （2）解：四边形的面积为14， ， 由（1）得： ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键． 题型四 反比例函数与实际应用压轴题（共5小题） 16．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)分别求出当与时，注意力指标数与时间的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标应不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 【答案】(1) ； (2)这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得；当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30分钟的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分， ∴设， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴（）； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则 解得 ∴（）； （2）解：将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 注意力指标不低于30的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 17．（24-25九年级下·重庆渝北·月考）如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 18．（24-25九年级上·广东佛山·月考）教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 【答案】(1) (2)①  ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）设直线的函数关系式为，利用待定系数法解答即可． （2）①根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可； ②根据解析式为，，分别计算当时的x的值，即可得到范围． （3）根据解析式为，，当时，；当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 19．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 20．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 题型五 反比例函数与动点问题综合压轴题（共3小题） 21．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图1，在中，为的中点，连接．动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动；同时动点从点出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，记为，记为． (1)请直接写出分别关于的函数解析式．并注明自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)画图见解析，函数的一条性质：当时，取得最大值 (3)时x的取值范围为或 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F，勾股定理求出，求出，然后利用等面积法求出，然后分和两种情况讨论，分别求出，然后利用面积公式即可求出； （2）根据列表，描点，然后用平滑的线连接即可画出图象，进而求得函数的一条性质； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在线段上，如图， 根据题意得，， ∴； 当时，点P在线段上，如图， ∴， ∴； 综上所述，； 根据题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：列表如下： 画图如下： 函数的一条性质：当时，取得最大值3； （3）解：由图象可得，当和时，函数图象在函数图象得下面， ∴时x的取值范围为或． 22．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一； （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （2）解：如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线经过点，求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）①由点，得到直线的解析式，求出点、坐标即可求解； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，根据平行四边形，得到，求出直线的解析式，联立得点的坐标，得到直线的表达式，当时，结合图象可知，当直线在轴与之间，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，把点的坐标代入直线，得： ， ∴， 代入反比例函数，得： ，解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①当时，， ∴直线的解析式为：， 代入中，得：， 解得：， ∴， 把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，如图2： ∵，轴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，且过原点， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， 代入，得， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，结合图象可知，当直线在轴与之间（可重合），且点在点下方， ∴． 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）解：在一次函数中，令，则， ， ； （3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为 (2)①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点P作轴交直线于点Q，设点，将各线段分别表示出来，根据等量关系列出方程求解即可． ②分类讨论，当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N；当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到．分别进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ．解得． ． 将代入，得．解得． 反比例函数的表达式为． 对于一次函数，令，则． 解得． 点B的坐标为． （2）解：①如图1，过点P作轴交直线于点Q，设点， 则点． ． ． 一次函数的图象与y轴交于点C， ． ． ， ．整理，得． 解得，（舍去）． ． 将代入，得． 解得． ②或． ，，， ，，． （ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N． ，， ． ，， E是中点， ． ，． ，，． ， ，即． 解得． （ⅱ）当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到， ∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线于点G． ． ． ． ．将代入，得．解得． 轴， ． ． ． 由平移可知，． ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或． 3．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．    (1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为； ②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______． A．      B．  C．  D．   (2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为． ①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项） A．的图象与x轴没有公共点 B．的图象关于原点对称 C．在每一个象限内，随x的值增大而减小 D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象 ②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论． 【答案】(1)①，或；②C； (2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0 【分析】（1）①直接代入求解即可； ②通过求在一三象限的最值确定函数图象； （2）①根据函数的性质依次判断即可； ②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， 把代入得：， 两边同乘，得：， 解得，， 经检验，，都是方程的解． 所以当或时，的值为； ②由完全平方公式可知：，，，即， 当时，， 当时，，， ∴，， 观察四个函数图象，C选项符合题意， 故选：C； （2）①解：∵，， ∴， A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误； B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出 成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确； C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误； D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：BD； ②解：根据题意可得：， 即，该方程， 当且且时，公共点的个数为2； 当或时，公共点的个数为1； 当时，公共点的个数为0． 【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键． 4．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值； （2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标； （3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， 解得， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称， ∴点A和点B也关于原点对称， ∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点G的坐标为， ∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下： 如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在直角中，， ∴, ∴为定值． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形面积问题，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的解析式是解题关键． 5．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，时，求x的范围． (3)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题及依据轴对称性质求最短路线问题，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式是解题关键． （1）把代入中，可求得B点坐标为，再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式； （2）根据图象求得反比例函数的图象在直线上方的x的范围即可； （3）先根据反比例函数解析式求出点D的坐标，作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为， ∴把代入中，， ∴点B的坐标为， 又∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：由图象知，当时，时，x的范围为； （3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P， ∴， ∴， ∴最小值为的长， 将点代入，得：， ∴点， 则点关于x轴的对称点为， 设过、的直线解析式为：， 可得，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， 故点P的坐标为． 6．已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4． (1)求反比例函数与正比例函数的表达式； (2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标； (3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象与在第一象限的交点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2) (3)或． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积等于4可得，则，利用待定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式； （2）直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点、，可分两种情况，由可得，即可得点M的坐标； （3）分点Q在点P的下方和点Q在点P的上方两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵等腰直角三角形的面积等于4， ∴， ∴， ∴，， ∵在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数表达式为， 设正比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴正比例函数表达式为； （2）解：∵点M在正比例函数表达式为和直线：的图象上， ∴设，则点N的横坐标为m， 若点在上方时，如图，    ∵点N在反比例函数图象上， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 若点在上方时，如图，    ∵点N在反比例函数图象上， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图， ∵直线与正比例函数平行， ∴直线正比例函数图象， 过点M作轴于点C， ∵点M的坐标为， ∴此时交反比例函数于点P，， 过点P作于D， ∴， 在线段上截取，则， ∵反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为， ∴， ∴，， 当点Q在点P的下方时， ， 过点M作于点E， ∵， ∴， ∴， 代入得， ∴， ∴的表达式为． 当点Q在点P的上方时，， ∵，， ∴， 代入得， 解得， ∴， 综上可知，的表达式为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 7．已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标： (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点关于原点的对称点为，求的面积； (4)点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，从而可得答案； （3）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （4）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：根据图象的解集为：或； （3）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （4）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 故答案为：． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)当函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为， (2)32 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴点， ∴， ∴； （3）解：观察图象得：当函数值时，的取值范围为或． 9．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． (1)求a，b的值及反比例函数的解析式； (2)若点P在线段上，且，请求出此时点P的坐标； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）根据点和点在一次函数上可算出和的值，根据点和点也在反比例函数上即可算出的值． （2）连接、，作，垂足为，，垂足为，设，用含的式子可表示出和的面积，根据面积相等列出等式，可算出的值 ，即可得到点的坐标． （3）设点，则，，，若使得等腰三角形，则或或，求解出即可得点的坐标，注意． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交，两点， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴反比例函数解析式为； （2）连接、，作，垂足为，，垂足为， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴或， ∴或 （3）设， ∵，， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，， ∴（舍） ②当时，， ∴或（舍）， ∴ ③当时，， ∴或（舍）， ∴ 即：满足条件的或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $