专题07 期中真题百练通关一次函数压轴满分题型（44题12大题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题07 期中真题百练通关一次函数压轴满分题型（44题12大题型） 题型1 一次函数与动点问题 题型7 一次函数的应用之分配方案问题 题型2 一次函数的图象与性质压轴 题型8 一次函数的应用之最大利润问题 题型3 含绝对值的函数问题 题型9 一次函数的应用之行程问题 题型4 一次函数的平移综合 题型10 一次函数的应用之几何问题 题型5 一次函数中的翻折问题 题型11 一次函数的应用之梯度计价问题 题型6 一次函数中的旋转问题 题型12 一次函数的规律探究问题 题型一 一次函数与动点问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数（为常数）的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 ①当的面积为8时，求的值； ②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线的函数解析式为，它与轴、轴分别交于，两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴负半轴运动．当为轴对称图形时，求点运动的时间． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）数学中，数与形相辅相成，坐标系正是连结两者的桥梁，以平面直角坐标系为背景，借助几何图形运动，在“形”中理解“数”，在“数”中把握“形”，体会运动与不变的数学思想． (1)在等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． ①如图（1），已知点的横坐标为，则点的坐标为______； ②如图（2），若，，，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求的长； (2)如图（3），若点在轴的负半轴上运动，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点．问当点，运动时，和满足什么样的数量关系，并说明理由． 题型二 一次函数的图象与性质压轴（共3小题） 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 6．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 题型三 含绝对值的函数问题（共3小题） 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． 8．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们称绝对值函数的最值点为函数的顶点，如的顶点坐标是； (1)函数的顶点坐标是 ，经过 象限 (2)对于函数 ①函数图象经过原点时，求的值． ②直接写出函数经过不同象限时，对应的的取值范围． (3)点在函数上，若，直接写出的取值范围． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象； (2)小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）； ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ②当时，此函数有最大值为1； ③此函数的图象关于轴对称． (3)已知原点．那么在函数的图象上是否存在一点，使得与面积相等．若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．        0 1 2 3 4 3 2 1 2 3           4 题型四 一次函数的平移综合（共3小题） 10．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 题型五 一次函数中的翻折问题（共3小题） 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为，上的两点，将长方形沿直线折叠后，点刚好与点重合，点落在点处，再将其打开、展平． (1)点的坐标是__________； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动，运动时间为秒，当的面积是30时，求的值． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）已知直线经过两点． (1)求直线的解析式． (2)点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 题型六 一次函数中的旋转问题（共3小题） 16．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为． (1)求k、b的值； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与直线的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与y轴正半轴交于点C，连接． (1)求一次函数的解析式和点 B的坐标． (2)如图2，点D是反比例函数图象上点A 左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转 点D的对应点恰好也落在反比例函数 的图象上，求点D的坐标． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． (1)__________． (2)将该直线绕点顺时针旋转45°至直线，过点作交直线于点．求点的坐标． 题型七 一次函数的应用之分配方案问题（共3小题） 19．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为丰富同学们的课外生活，周末期间，两位老师计划带领若干学生去大鹏所城参加社会实践，他们联系了报价均为200元/人的两家旅行社．经协商，春晖旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；凯丰旅行社的优惠条件是：老师、学生都按照七折收费． (1)设学生有x人，选择春晖旅行社时所需费用为元，选择凯丰旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式． (2)若本次参加活动的学生人数超过10人，为减少费用，他们应该如何去选择旅行社？ 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册元；另一种是会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为册，以零星租书方式每月应付的金额为元，以会员卡租书方式每月应付的金额为元． (1)请分别写出、与之间的函数关系式； (2)当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 题型八 一次函数的应用之最大利润问题（共3小题） 22．（25-26八年级下·山东·月考）年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）： 进货次数 甲款数量/盒 乙款数量/盒 进货总费用/元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款礼盒的进货单价； (2)该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值． 23．（2022·山东济南·二模）疫情期间“一方有难，八方支援”，我市筹集了大量的生活物资，用两种型号的货车，分两批支援急需地区．具体运输情况如表： 第一批 第二批 型货车的辆数（单位：辆） 型货车的辆数（单位：辆） 累计运输物资的吨数（单位：吨） 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)第三批需要运送吨生活物资，计划同时调用型车不超过辆和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．若A型车每辆运输成本元/次，B型车每辆运输成本元/次，请设计最省钱的派车方案，并求出最低成本． 24．（2026·河南洛阳·一模）为引导大众合理膳食，保持健康，某营养师推荐了高蛋白豆干和杂粮脆饼两种健康食品．两种食品每1克的营养成分表如下 营养成分健康食品 热量 膳食纤维 蛋白质 脂肪 高蛋白豆干（每） 杂粮脆饼（每） (1)若某人一天需要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，则需要高蛋白豆干、杂粮脆饼各多少克？ (2)若一天内共食用这两种食品100克，要求蛋白质总量不低于，且摄入的热量最低，应如何搭配这两种食品． 题型九 一次函数的应用之行程问题（共3小题） 25．（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 26．（2026·黑龙江·一模）已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 27．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米小时，结果与甲车同时到达地甲、乙两车距地的路程（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出的值，并求甲车的速度； (2)当时，请直接写出乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式； (3)乙车出发多少小时与甲车相距千米？ 题型十 一次函数的应用之几何问题（共3小题） 28．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 29．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 30．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 题型十一 一次函数的应用之梯度计价问题（共3小题） 31．（2026·陕西西安·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 32．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 33．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 题型十二 一次函数的规律探究问题（共3小题） 34．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 36．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知直线：与直线：（其中k为正整数），记 ，与x轴围成的三角形面积为，则_______， ______． 1．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 2．4月23日是世界读书日．某书店在世界读书日前同时购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同． (1)求A，B两类图书每本的进价各是多少元； (2)该书店计划用不超过6000元购进这两类图书200本，A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为28元，设购进A类图书本，将这批图书全部售出后获得的利润为元． ①求与之间的函数解析式； ②书店如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 5．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 6．已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 7． 如图， 一次函数与反比例函数 在第一象限的图象交于和两点， 过A作y轴的垂线，垂足为M． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求 的面积； (3)在y轴上求一点P，使的值最小并求出此时点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练通关一次函数压轴满分题型（44题12大题型） 题型1 一次函数与动点问题 题型7 一次函数的应用之分配方案问题 题型2 一次函数的图象与性质压轴 题型8 一次函数的应用之最大利润问题 题型3 含绝对值的函数问题 题型9 一次函数的应用之行程问题 题型4 一次函数的平移综合 题型10 一次函数的应用之几何问题 题型5 一次函数中的翻折问题 题型11 一次函数的应用之梯度计价问题 题型6 一次函数中的旋转问题 题型12 一次函数的规律探究问题 题型一 一次函数与动点问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数（为常数）的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 ①当的面积为8时，求的值； ②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①或；②或2或4． 【分析】本题考查由一次函数交点求参数，两点间的距离公式，勾股定理，方程的应用，分类讨论是解题的关键； （1）先代入求出点C的坐标，再代入即可解答； （2）①先求出点A、D的坐标，设点的运动时间为秒，则，即，得，根据列方程解答即可； ②由①，，，， ，， 当A、C、E分别为顶点时进行讨论即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知与交于点， ∵， ∴， 将代入得， 解得， ∴，； （2）①解：当时，即 设点的运动时间为秒，则，即 当时，，解得， ∴，， 当的面积为8时， ， 即， 解得或； ②解：由①，，，， ∴，， 当A为顶点即时，是等腰三角形， ∴， 解得， 当C为顶点即时，是等腰三角形， ∴，即， 解得或（舍去） 当E为顶点即时，是等腰三角形， ∴即， 解得； ∴当或2或4时是等腰三角形． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线的函数解析式为，它与轴、轴分别交于，两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴负半轴运动．当为轴对称图形时，求点运动的时间． 【答案】(1)点的坐标为 (2)当为轴对称图形时，点运动的时间为或或或 【分析】（1）先把代入解析式求出的值，再将代入解析式中即可求出点的坐标； （2）求为轴对称图形，实质是求动点，使为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 直线的函数解析式为． 令，得， 点的坐标为． （2）解：当为轴对称图形时，为等腰三角形． ，， ． 当时，点的坐标为或， 此时点运动的时间为或； 当时，点的坐标为，此时点运动的时间为； 当时，设，则． 在中，，解得， 点的坐标为，此时点运动的时间为． 综上所述，当为轴对称图形时，点运动的时间为或或或． 【点睛】此题考查的是求一次函数与坐标轴的交点坐标和动点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征、行程问题公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）数学中，数与形相辅相成，坐标系正是连结两者的桥梁，以平面直角坐标系为背景，借助几何图形运动，在“形”中理解“数”，在“数”中把握“形”，体会运动与不变的数学思想． (1)在等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． ①如图（1），已知点的横坐标为，则点的坐标为______； ②如图（2），若，，，当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求的长； (2)如图（3），若点在轴的负半轴上运动，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点．问当点，运动时，和满足什么样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①过点C作轴于点F，通过证明，得到，再结合点的横坐标为，即可求出点A的坐标；②根据中点坐标公式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到，最后利用勾股定理即可求出的长； （2）过点C作轴于点E，通过证明，得到，，再证明，利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：； ②设点的坐标为， ∵，，点恰为中点， ∴，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为； （2）解：，理由如下： 如图，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、中点坐标公式、求一次函数解析式、勾股定理、等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型二 一次函数的图象与性质压轴（共3小题） 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：一次函数与为常数，且互为“异号函数”．如：与互为“异号函数” (1)已知点在的“异号函数”的图象上，求的值， (2)请直接写出一次函数的“异号函数”，并求当时该“异号函数”的最大函数值； (3)一次函数的图象如图所示，若一次函数在范围内的部分记为函数，一次函数的“异号函数”在范围内的部分记为函数，和组成新函数，当时，，则__________，__________． 【答案】(1)2 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质： （1）把点 代入的“异号函数”，即可求解； （2）根据题意可得一次函数的“异号函数”为，再根据一次函数的增减性解答即可； （3）根据题意画出新函数的图象，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：的“异号函数”为， ∵点在的“异号函数”的图象上， ∴，解得：； （2）解：一次函数的“异号函数”为， ∵， ∴函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时该“异号函数”的最大函数值为； （3）解：一次函数的“异号函数”为， 新函数的图象，如图： 对于一次函数，当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 对于一次函数，当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴． 故答案为：；2 6．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 【答案】(1)①，；②或 (2)的值为或 【分析】本题是一次函数综合应用，点到坐标轴的距离，“同值点”的定义，一次函数图象的性质． （1）①找到x、y轴距离最大为的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“同值点”概念进行选择即可； （2）将代入，得，．由，依据“同值点”定义可得关于的不等式，即可解答本题． 【详解】（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为， ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为，， ∴点不是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∴与点是“同值点”的点是，； 故答案为：，； ②点在直线上，且，两点为同值点， 点坐标中到、轴距离其中至少有一个为， 当点到轴距离为时， 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 当点到轴距离为时， 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 这些点中与符合“同值点”的是或． 即点的坐标为或； 故答案为：或； （2） 是直线上的两点， ，， ， ，， 与为“同值点”， 当时，，解得， 当时，， ； 当时，，解得． 综上所述，的值为或． 题型三 含绝对值的函数问题（共3小题） 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）见解析；（3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；探究二：右侧；1；探究三：的值为1或5 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：， 填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 8．（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们称绝对值函数的最值点为函数的顶点，如的顶点坐标是； (1)函数的顶点坐标是 ，经过 象限 (2)对于函数 ①函数图象经过原点时，求的值． ②直接写出函数经过不同象限时，对应的的取值范围． (3)点在函数上，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；第一、第二、第三、第四 (2)①1；②当函数的图象经过第一、第二、第三、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二象限时，； (3) 【分析】（1）可求出当时，，此时y随x增大而减小，当时，，此时y随x增大而增大，据此可得函数的最小值，即可得到对应的顶点坐标；求出，函数的图象经过的象限，当时，函数的图象经过的象限即可得到答案； （2）①利用待定系数法求解即可；②可求出当时，函数有最小值，最小值为；再分，，，和这五种情况，分别讨论当时和当时函数图象经过的象限即可得到答案； （3）可求出当时，函数的图象一定经过点，则当时，，据此列出不等式组求解即可；当时，则时，y随x增大而减小，此时，不成立． 【详解】（1）解：当时，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 此时函数图象经过第二、三象限， 当时，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， 此时函数图象经过第一、三、四象限； 综上所述，当时，函数有最小值，最小值为，即函数的顶点坐标是，该函数经过第一、第二、第三、第四象限； （2）解：①∵的图象经过原点， ∴， ∴； ②当时，， ∴y随x增大而减小， 当时，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，函数有最小值，最小值为； 当时，且当时，， 当，， ∴函数与x轴的交点在x轴的负半轴，且此时； ∴当时，函数的图象一定经过第二、第三象限； 当时，且当时，， ∴当时，函数的图象一定经过点， 又∵此时， ∴当且时，函数的图象一定经过第一、第四象限； 综上所述，当时，函数的图象一定经过第一、第二、第三、第四象限； 当时，， 当时，，此时函数图象经过第二、第四象限， 当时，，此时函数图象经过第一、第四象限， ∴当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； 当时，，， ∴此时函数与x轴的交点在x轴的正半轴， ∴当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； ∵函数与x轴交于点， ∴当时，函数的图象经过第一、第四象限； 综上所述，当时，函数的图象经过第一、第二、第四象限； 当时，函数的最小值为， 此时当时，函数的图象经过第一、第二象限， 当时，函数的图象经过第一象限， 综上所述，当时，函数的图象经过第一、第二象限； 当时，函数的最小值为， 此时当时，函数的图象经过第一、第二象限， 当时，函数的图象经过第一象限； 综上所述，当函数的图象经过第一、第二、第三、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二、第四象限时，；当函数的图象经过第一、第二象限时，； （3）解：当时， 则当时，， 在中，当时，， ∴当时，函数的图象一定经过点， ∴当时，， ∵， ∴当时，； ∴时，， 解得； 当时，则时，y随x增大而减小， ∴此时，不成立； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，比较一次函数值的大小，求一次函数解析式，解一元一次不等式组，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象； (2)小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）； ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ②当时，此函数有最大值为1； ③此函数的图象关于轴对称． (3)已知原点．那么在函数的图象上是否存在一点，使得与面积相等．若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)③ (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）列表，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据图象可判断； （3）利用三角形面积求得点的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：列表：        0 1 2 3 4 3 2 1 2 3           4 函数的图象如图所示： （2）根据图象可知， ①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；故①错误； ②当时，此函数有最小值为1；故②错误； ③此函数的图象关于轴对称，故③正确； 故答案为：③； （3）存在，点P的坐标为或． 理由如下： ，为和公共边， ， 设的解析式为：， 当点在的右侧时， 将点代入得，， 设的解析式为, 将代入 ，得， 解得 的解析式为， 解方程组得， 点的坐标为. 当点在的左侧时，根据轴对称的性质，过点的直线为：， 解方程组得，， 点的坐标为． 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或． 题型四 一次函数的平移综合（共3小题） 10．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3） ， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键． （1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值； （2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可． 【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为， 将点代入， 得， 解得； （2）解：设所求直线解析式为， 则图象与坐标轴两交点坐标为． 由三角形面积公式得， 解得， ∴或（不合题意，舍去）， 故所求直线的函数关系式为． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）（1）【源于课本】 将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； （2）【深入探究】 ①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____； ②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____； 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了一次函数平移，对称的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由平移的性质即可求解； （2）①先求出函数图像平移后的解析式，再根据图象的平移就是点的平移即可求解； ②一次函数的图象关于轴对称，将x替换为即可求解． 【详解】解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：， 故答案为：； （2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：， 图象的平移就是点的平移， 直线对应的函数表达式为； ②一次函数的图象关于轴对称， 函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等， 将x替换为，， 故答案为：． 题型五 一次函数中的翻折问题（共3小题） 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知长方形的顶点在轴上，顶点在轴上，，，、分别为，上的两点，将长方形沿直线折叠后，点刚好与点重合，点落在点处，再将其打开、展平． (1)点的坐标是__________； (2)求直线的函数表达式； (3)设动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动，运动时间为秒，当的面积是30时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）根据，，知． （2）设，则，可得，解得，故，，证明，知，再用待定系数法可得直线的函数表达式为； （3）分当时，P在线段上，当时，P在线段上，当时．P在线段上三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据翻折的性质可得，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （3）解：，，， 当时，P在线段上， ， ， 解得； 当时，P在线段上，如图： 此时， ，，， ， 解得：； 当时．P在线段上，如图： ， 由题意得， 解得：，（不符合题意舍去）； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形面积，翻折问题等，解题的关键是掌握翻折的性质． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线解析式为， (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，设出点C的坐标，表示出的长，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出，进而得到，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点M在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 若，如图，过点P作轴于点G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点H，    同理可证明， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）已知直线经过两点． (1)求直线的解析式． (2)点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)①；②点D的坐标为或或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先画出图形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）①①如图，当落在轴上时，求解，可得，再进一步利用轴对称的性质与勾股定理求解即可；②如图，当时，由对折可得：，，可得，则，当时， 结合①可得：，如图，当时，同理可得：，，求解，可得，则，如图，当时，同理可得，此时在轴正半轴，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵直线经过两点． ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； （2）解：如图， ∵， 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 综上：点的坐标为； （3）解：①如图，当落在轴上时， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴当点落在第四象限时，的取值范围为：. ②如图，当时， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 结合①可得：， 如图，当时， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 如图，当时， 同理可得， 此时在轴正半轴， ∴， 综上：点D的坐标为或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线与图形，清晰的分类讨论是解本题的关键. 题型六 一次函数中的旋转问题（共3小题） 16．（24-25八年级下·福建泉州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为． (1)求k、b的值； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与直线的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点P的坐标是或或或． 【分析】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，求一次函数解析式，坐标与图形等等，作出图形分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①当P在的右侧，求，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论； （3）分4种情况：①当时，如图2，P与O重合，②当时，如图3，③当时，如图4，此时Q与C重合；④当时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算的长． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：； （2）解：①如图所示，当P在x轴的正半轴上时，点恰好落在直线上，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由折叠得： ， ∴， 在中， ， ∴； ②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3）解：当时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为； ②当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图4，此时Q与C重合， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称， ∴此时； 综上，点P的坐标是或或或． 17．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点和点B，与y轴正半轴交于点C，连接． (1)求一次函数的解析式和点 B的坐标． (2)如图2，点D是反比例函数图象上点A 左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转 点D的对应点恰好也落在反比例函数 的图象上，求点D的坐标． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2)点D的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数相交问题，解题的关键是熟悉待定系数法及交点坐标的求解． （1）根据题意易得点，结合得到，再利用待定系数法求直线方程即可，再联立得到交点坐标； （2）构造矩形，设，先证，得到，结合点E恰好也落在反比例函数的图象上即可列方程求解． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ， ∴． ∴点A的坐标为． ， ∴点C的坐标为． 把点A，C的坐标代入， 得，解得 ∴一次函数的解析式为． 联立反比例函数与一次函数的解析式， 得，解得或， ∴点 B的坐标为． （2）如图，构造矩形，设， ∵， ， ∵把线段绕点A 逆时针旋转， 点D的对应点E恰好也落在反比例函数 的图象上， ∴． ． 在矩形中，， ． ． 在和中， ， ∴． ， ∵点E恰好也落在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）． ∴点D的坐标为． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． (1)__________． (2)将该直线绕点顺时针旋转45°至直线，过点作交直线于点．求点的坐标． 【答案】(1)1 (2)点的坐标为 【分析】（1）将已知点代入一次函数的表达式，解方程求出b的值； （2）先求出一次函数与x轴、y轴的交点的坐标，过点C作轴，利用旋转的角和的条件推出，再通过角度关系证明与全等，利用全等性质求线段长度，进而得到点C的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴把代入得：， 解得：． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中： ， ，， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的待定系数法、全等三角形的判定与性质，掌握利用待定系数法求一次函数参数，结合辅助线与角度关系证明三角形全等以转化线段长度是解题的关键． 题型七 一次函数的应用之分配方案问题（共3小题） 19．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）为丰富同学们的课外生活，周末期间，两位老师计划带领若干学生去大鹏所城参加社会实践，他们联系了报价均为200元/人的两家旅行社．经协商，春晖旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；凯丰旅行社的优惠条件是：老师、学生都按照七折收费． (1)设学生有x人，选择春晖旅行社时所需费用为元，选择凯丰旅行社时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式． (2)若本次参加活动的学生人数超过10人，为减少费用，他们应该如何去选择旅行社？ 【答案】(1)； (2)他们应该选择春晖旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）春晖旅行社所需费用两位老师的费用学生人数；凯丰旅行社所需费用总人数，把相关数值代入后化简即可； （2）分别算出，，时对应的的值，即可根据人数判断出花销较少的旅行社． 【详解】（1）解：； ； （2）解：①． ． 解得：； ②． ． 解得：； ③． ． 解得：， 当学生人数少于6人，选择凯丰旅行社花销较少；学生人数为6人，两个旅行社花销相同；学生人数超过6人，春晖旅行社花销较少． ∵学生人数超过10人， ∴他们应该选择春晖旅行社． 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册元；另一种是会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为册，以零星租书方式每月应付的金额为元，以会员卡租书方式每月应付的金额为元． (1)请分别写出、与之间的函数关系式； (2)当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求函数的解析式，联立两个一次函数解决问题，解题的关键是求出一次函数的解析式． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）联立函数解析式，得，进而即可求解． 【详解】（1）解：零星租书，租书费为每册元，每月租书数量为册， ； 会员卡租书，办卡费每月元，租书费为每册元， ． （2）解：由题意得，， 解得， 当小军租本书时，选择两种租书方式的金额相同． 题型八 一次函数的应用之最大利润问题（共3小题） 22．（25-26八年级下·山东·月考）年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）： 进货次数 甲款数量/盒 乙款数量/盒 进货总费用/元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款礼盒的进货单价； (2)该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元 (2) 元 【分析】本题考查了一次函数，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元，列出方程组，即可； （2）设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒，则总利润，根据乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍，求出的取值，根据一次函数的性质，当取最大值时，利润，即可． 【详解】（1）解：设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元， ∴方程组得 解得， ∴甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元． （2）解：设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒， ∴总利润， 整理得：， ∵乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍 ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵中，，随着的增大而增大， ∴当取最大值时，利润， 即（元）． 23．（2022·山东济南·二模）疫情期间“一方有难，八方支援”，我市筹集了大量的生活物资，用两种型号的货车，分两批支援急需地区．具体运输情况如表： 第一批 第二批 型货车的辆数（单位：辆） 型货车的辆数（单位：辆） 累计运输物资的吨数（单位：吨） 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)第三批需要运送吨生活物资，计划同时调用型车不超过辆和型车若干辆，一次运完，且每辆车都载满货物．若A型车每辆运输成本元/次，B型车每辆运输成本元/次，请设计最省钱的派车方案，并求出最低成本． 【答案】(1)型货车每辆满载能运吨生活物资，型货车每辆满载能运吨生活物资 (2)最省钱的派车方案为：调用辆型货车，辆型货车，最低成本为元 【分析】（1）找准等量关系，设型货车每辆满载能运吨生活物资，型货车每辆满载能运吨生活物资，根据表格中两次具体运输情况，即可得出关于，的二元一次方程组，正确列出二元一次方程组；解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，设调用辆型货车，辆型货车，根据一次运送吨生活物资且每辆车都载满货物，即可得出关于，的二元一次方程，变形后可用含的代数式表示出值，由调用型车不超过辆且调用型车的数量为自然数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设派车成本为元，利用成本每辆型车的运输成本派车数量每辆型车的运输成本派车数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设型货车每辆满载能运吨生活物资，型货车每辆满载能运吨生活物资， 依题意得：， 解得：． 答：型货车每辆满载能运吨生活物资，型货车每辆满载能运吨生活物资． （2）解：设调用辆型货车，辆型货车，（、为非负整数）， 依题意得：， ， ． 设派车成本为元，则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值． 答：最省钱的派车方案为：调用辆型货车，辆型货车，最低成本为元． 24．（2026·河南洛阳·一模）为引导大众合理膳食，保持健康，某营养师推荐了高蛋白豆干和杂粮脆饼两种健康食品．两种食品每1克的营养成分表如下 营养成分健康食品 热量 膳食纤维 蛋白质 脂肪 高蛋白豆干（每） 杂粮脆饼（每） (1)若某人一天需要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，则需要高蛋白豆干、杂粮脆饼各多少克？ (2)若一天内共食用这两种食品100克，要求蛋白质总量不低于，且摄入的热量最低，应如何搭配这两种食品． 【答案】(1)需要高蛋白豆干100克，杂粮脆饼20克 (2)应食用高蛋白豆干60克，杂粮脆饼40克 【分析】（1）根据题意构造等量关系列出二元一次方程； （2）根据题意构造不等关系列出不等式，通过函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：设需要高蛋白豆干x克，杂粮脆饼y克， 依题意得： 解得： 答：需要高蛋白豆干100克，杂粮脆饼20克． （2）解：设食用高蛋白豆干a克，杂粮脆饼克，摄入的总热量为，依题意得： 解得： ， 随a的增大而增大 当时，w取最小值 此时 ∴应食用高蛋白豆干60克，杂粮脆饼40克． 题型九 一次函数的应用之行程问题（共3小题） 25．（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析；②20或65；③； (2)能，追上时兄妹俩离公园还有． 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 2分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 52分钟时，小华离家的距离为； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中： ， 小华从公园返回的过程中： ， 综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店； 妹妹在书店停留15，离开书店的时间：． 哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了， 距离为． 设妹妹离开书店后经过追上哥哥： 解得， 此时总时间为， 小于哥哥到达公园的30，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有． 26．（2026·黑龙江·一模）已知A、B两地相距，一位外卖配送员甲骑电动自行车从A地出发往返于两地，另一位快件派送员乙同时沿同一条公路从B地前往A地，甲途经换电站时停留2分钟给车换电，随后按原速骑行至B地，到达B地后，甲立即沿原路原速返回A地；甲、乙两人距A地的路程（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的速度为_____米/分，点M的坐标为_____； (2)求甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量取值范围）； (3)请直接写出在甲乙第二次相遇之前，经过多长时间两人相距300米． 【答案】(1)400； (2) (3)时间为分、7分或分 【分析】（1）利用路程÷时间可得出甲的速度；由甲骑行5分钟的路程，进而可得出点Ｍ的坐标； （2）设甲从换电站到B地的路程y与时间x之间的函数关系式为．代入和，建立方程组求解即可； （3）分，，和，根据题意可得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：甲从A地出发，到换电站停留2分钟，图中显示甲在7分钟时离开换电站，实际骑行时间为分钟， 甲从B地返回A地用了分钟，路程为2400米， 所以甲的速度为（米/分） 甲骑行5分钟的路程为米， 所以点M的坐标为； （2）解：换电站对应的时间为7分钟，此时甲的路程为2000米， 甲到达B地的时间为分钟，对应坐标为， 设函数关系式为， 代入和得； 解得， 所以，函数关系式为： （3）解：乙的速度为米/分， 设乙的行驶的时间与路程的函数关系式为， 把，代入得：， 解得， 所以，函数关系式为； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得： 综上，时间为分、7分或分． 27．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米小时，结果与甲车同时到达地甲、乙两车距地的路程（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出的值，并求甲车的速度； (2)当时，请直接写出乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式； (3)乙车出发多少小时与甲车相距千米？ 【答案】(1)，千米小时 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（1）观察图象计算a的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （2）设乙车在段的速度为v千米/小时，则在段的速度为千米/小时，将D、E的坐标用含v的代数式表示出来，根据路程速度时间列关于v的一元一次方程并求解，从而求出D、E的坐标及乙车在段和段的速度，再按照x的取值范围，分别写出对应的y与x之间的函数关系式并最终写成分段函数的形式即可； （3）求出点C的坐标，从而写出甲车距A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数关系式，按照x的取值范围，当两车相距15千米时，分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：小时， ， 千米小时， 甲车的速度是千米小时； （2）解：设乙车在段的速度为千米小时，则在段的速度为千米小时， 则，， 根据图象，得， 解得， 千米小时， ，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，乙车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式为； （3）解：千米， ， 则甲车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数关系式为， 当时，当两车相距千米时，得，解得或， 当时，当两车相距千米时，得，解得舍去， 当时，当两车相距千米时，得，解得． 答：乙车出发小时或小时或小时与甲车相距千米． 【点睛】学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化． 题型十 一次函数的应用之几何问题（共3小题） 28．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)， (4) 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）先出点的坐标为，代入，进而根据函数图象，当时，自变量的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴， ∵ ， 设， ∴， 解得或， ∴或 （3）解∶∵C是线段上的一点，且横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ∴点的坐标为 设直线的解析式为， 则， 解得， ， 如图， 根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围为； （4）解：点在直线上， 当时，即，即， ． 29．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点P是直线上一动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，若点P是线段上一动点，过P作于Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，分当点P在线段上时，当点P在点B左侧时，当点P在点C右侧，分别进行讨论，利用面积关系列式求解； （3）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答； 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：设， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点B左侧时， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴； 当点P在点C右侧时，不存在； 综上，或； （3）解：如图，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； 30．（22-23八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为3，边在x轴上，的中点与原点O重合，过定点与动点的直线记作l． (1)A点坐标为 ，D点坐标为 ； (2)若l的解析式为，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由； (3)当直线l与边有公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)此时点A不在直线l上，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合正方形的性质可得点B、A坐标； （2）把点A的横坐标代入解析式得出y的值，即可求解； （3）设直线l的解析式为，分别求出直线l经过点D时，直线l经过点A时，t的值即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵点O为中点， ∴， ∴点； （2）解：此时点A不在直线l上，理由如下： 当时，， ∴此时点A不在直线l上； （3）解：∵点， ∴可设直线l的解析式为， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， 当直线l经过点，点时， ，解得 ， ∴当直线l与边有公共点时，t的取值范围是． 题型十一 一次函数的应用之梯度计价问题（共3小题） 31．（2026·陕西西安·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 【答案】(1) (2)每月总电费为元 【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时， ∴每天的电费为（元）， ∴每月总电费； （2）解：当时，（元）． 答：每月总电费为元． 32．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 33．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 题型十二 一次函数的规律探究问题（共3小题） 34．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；；进而得出，即可求出结论． 【详解】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即； ； ； ∴点的坐标是． 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 36．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知直线：与直线：（其中k为正整数），记 ，与x轴围成的三角形面积为，则_______， ______． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0． 变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴直线经过点； ∵直线：， ∴直线：经过点． ∴无论k取何值，直线与的交点均为定点． ∵直线与x轴的交点为， 直线：与x轴的交点为， ∴， ∴； ∴ 故答案为：；． 1．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 【分析】根据互助一次函数的定义得到关于，的方程组，解方程组得到，的值，确定两个一次函数的解析式，求出两个函数与轴的交点坐标，结合两函数交点的横坐标，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解：根据互助一次函数的定义，可得， 整理方程组得， 解得， ∴两个函数解析式为，， 联立，得， 解得， 当时，与轴交点为，与轴交点为， ∴两个交点在轴上的距离为， ∵两函数交点的横坐标为，即三角形的高为， ∴三角形面积． 2．4月23日是世界读书日．某书店在世界读书日前同时购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同． (1)求A，B两类图书每本的进价各是多少元； (2)该书店计划用不超过6000元购进这两类图书200本，A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为28元，设购进A类图书本，将这批图书全部售出后获得的利润为元． ①求与之间的函数解析式； ②书店如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)1本A类图书的进价为32元，1本B类图书的进价为24元 (2)①；②购进A类图书150本，B类图书50本所获利润最大，最大利润为1100元 【分析】（1）设1本A类图书的进价为元，则1本B类图书的进价为元，根据“1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同”，列方程，解方程即可得解； （2）先由列出一次函数解析式，找到自变量的取值范围，由一次函数的增减性，即可得解． 【详解】（1）解：设1本A类图书的进价为元，则1本B类图书的进价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意． （元）． 答：1本A类图书的进价为32元，1本B类图书的进价为24元， （2）解：①根据题意，得， 与之间的函数解析式为， ②根据题意，得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，值最大， （本）， 答：购进A类图书150本，B类图书50本所获利润最大，最大利润为1100元． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)， (4) 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）先出点的坐标为，代入，进而根据函数图象，当时，自变量的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴， ∵ ， 设， ∴， 解得或， ∴或 （3）解∶∵C是线段上的一点，且横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ∴点的坐标为 设直线的解析式为， 则， 解得， ， 如图， 根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围为； （4）解：点在直线上， 当时，即，即， ． 5．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 6．已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)54，540，180； (2)①360；②60；③当时，；当时，；当时， (3) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：小明从家到公园的速度为， ∴当时，； 当时，小明在公园休息，距离不变，； 当时，小明在便利店停留，距离为； ∴填写表格如下， 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 （2）解：①便利店到公园的距离为； ②小明从便利店返回家的速度为； ③当时，； 当时，； 当时，； （3）解：妈妈的分段函数： 去公园，； 回家，； 小明的分段函数： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 1、：，即，无解； 2、：，得，无解； 3、：，得，无解； 4、：，得； 5、：，得； 6、：，得，无解； 综上，x的取值范围为． 7． 如图， 一次函数与反比例函数 在第一象限的图象交于和两点， 过A作y轴的垂线，垂足为M． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求 的面积； (3)在y轴上求一点P，使的值最小并求出此时点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 ；一次函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可； （2）根据计算面积即可； （3）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，点即为所求，用待定系数法求直线的解析式即可求解点坐标． 【详解】（1）解：把代入 得： ， ， ∴ 反比例函数解析式为 ； 把代入得： ， ， ∴ 一次函数解析式为 ； （2）解：连接， 当时，， ， ，中，边上的高为3，中，边上的高为4， ∴ ； （3）解：作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，点即为所求． 设直线的解析式为， 代入和 得∶ ，解得 ， ， 令，则 ， ∴ P点坐标为 ． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $