精品解析：2026年山东省济南市市中区中考数学一模试卷

2026年九年级学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 山东省大力建设数字基础设施，全省数据中心标准机架规模预计达到架，为人工智能、大数据、云计算提供坚实算力支撑，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列济南特色图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. 泉标 B. 荷花 C. 解放阁 D. 黑虎泉虎头 5. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 8. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点D，作射线交于点E； ②分别以点A和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交的延长线于点F． 若，，则线段的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 10. 定义：为二次函数（，，，为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图象与轴恒有两个交点； ③若点，在“序列数”为的二次函数的图象上，已知，，当时，则的取值范围为； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，随的增大而增大； ⑤“序列数”为的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线与轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则． 以上结论正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 要使分式有意义，应满足的条件是___________． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为______． 14. 如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 19. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校随机抽取部分学生进行体育活动项目测试，测试的活动项目为：A.坐位体前屈；B.跳远；C.仰卧起坐；D.引体向上；E.50米．每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试． 请结合下面的信息回答下列问题： 项目 人数 A.坐位体前屈 6 B.跳远 m C.仰卧起坐 10 D.引体向上 4 E.50米 18 （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的______，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为______度； （3）若选择测试C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是______分； （4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？ 22. 济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． （1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ （2）文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若平分，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为，求出满足条件的P点坐标； （3）在（2）满足的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 25. 根据题目条件，完成下列各题 （1）【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； （2）【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； （3）【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了几何体的三视图，根据左视图是从左侧看到的求解即可． 【详解】解：它的左视图是， 故选：A． 3. 山东省大力建设数字基础设施，全省数据中心标准机架规模预计达到架，为人工智能、大数据、云计算提供坚实算力支撑，将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：将的小数点向左移动位可得到，满足， 则，， 故用科学记数法表示为． 4. 下列济南特色图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. 泉标 B. 荷花 C. 解放阁 D. 黑虎泉虎头 【答案】B 【解析】 【分析】将一个图形沿着一条直线翻折后，两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，将图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，符合两个定义的图形即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、是轴对称图形但不是中心对称图形； D、是轴对称图形但不是中心对称图形． 5. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断选项正误． 【详解】对选项A： ∵ =≠ ∴ A错误． 对选项B： ∵ ==≠． ∴ B错误． 对选项C： ∵ ==≠． ∴ C错误． 对选项D： ∵ ==． ∴ D正确． 7. 若点，，在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，即可比较函数值大小 ． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵，，， ∴点在第二象限，点，在第四象限， ∴，，， ∵，第四象限内随增大而增大， ∴， ∴ ． 8. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点D，作射线交于点E； ②分别以点A和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交的延长线于点F． 若，，则线段的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由作图可知，证明，则，即，代入数值即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知，垂直平分， ， ， 由作图可知，平分， ， ，， ， ∵， ， ∴ 即， ∵，， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴ 10. 定义：为二次函数（，，，为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图象与轴恒有两个交点； ③若点，在“序列数”为的二次函数的图象上，已知，，当时，则的取值范围为； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，随的增大而增大； ⑤“序列数”为的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线与轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则． 以上结论正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据“序列数”的新定义，结合二次函数的性质，逐个判断结论正误即可． 【详解】解：①根据定义，中，，，因此“序列数”为，①正确； ② 该二次函数为，判别式，当时，函数图象与轴只有一个交点，②错误； ③该二次函数为，，开口向上，令，得，整理得，解得或，，即，，③正确； ④该二次函数为，，开口向下，对称轴为，，，则对称轴，开口向下的抛物线在对称轴左侧随增大而增大，故当时，随增大而增大，④正确； ⑤该二次函数为，令，因式分解得，则交点横坐标，，两交点距离为，顶点纵坐标为，由等腰直角三角形性质，顶点纵坐标的绝对值等于斜边长的一半，化简得，解得或，结论仅给出，因此⑤错误； 综上，正确结论共个，故选． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 要使分式有意义，应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得，分母， 解得， 故答案为． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长和半径求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴阴影部分的面积为． 14. 如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：，当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 联立，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 15. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，则，当A、G、R共线时，有最小值，此时G为的中点，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值， ∵此时， ∴， ∴ ∴在中，设，， ， 解得， ∴的长为． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂、二次根式的性质、绝对值进行化简，再进行加减法即可． 【详解】解：原式． 17. 解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 【答案】；整数解为：，0，1，2 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，再确定不等式组的所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：， 则该不等式组的整数解为：，0，1，2． 18. 如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，，再求得，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）A点上升的高度 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【小问1详解】 解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 20. 如图，在中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接半径，利用等腰三角形、平行线性质证明角相等，然后用证明全等三角形，得到，进而证明切线； （2）利用同角的余角相等、圆周角定理、余弦定义求出，再结合平行线性质、勾股定理求． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接，如图所示． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∵为的直径， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，，， 设，，， 即， ∴， ∴． 21. 为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校随机抽取部分学生进行体育活动项目测试，测试的活动项目为：A.坐位体前屈；B.跳远；C.仰卧起坐；D.引体向上；E.50米．每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试． 请结合下面的信息回答下列问题： 项目 人数 A.坐位体前屈 6 B.跳远 m C.仰卧起坐 10 D.引体向上 4 E.50米 18 （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的______，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为______度； （3）若选择测试C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是______分； （4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？ 【答案】（1）50人 （2）12，28.8 （3）51 （4）720人 【解析】 【分析】（1）利用“抽测A项目学生人数其占比”，即可求得本次抽样调查的学生； （2）根据（1）中的答案计算的值，用D的占比乘以即可得到圆心角的度数； （3）将抽测的C项目10人成绩按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义，即可获得答案； （4）利用“全校学生总数抽测的学生中擅长跳远的人数占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生人数为：（人） 【小问2详解】 由题意可得，． ， 即扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为； 故答案为： 【小问3详解】 将抽测的C项目10人成绩按照从小到大的顺序排列， 可得36，47，48，49，50，52，52，53，54，60， 其中处在第5和第6位的是50，52， ∴这组数据的中位数为． 故答案为：51； 【小问4详解】 （人）， ∴估计全校擅长跳远的学生人数是720人． 22. 济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． （1）求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ （2）文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 【答案】（1）每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元 （2）生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元 【解析】 【分析】（1）设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设生产A礼盒m件，列不等式求出自变量的取值范围，再设生产总成本为w元，列一次函数解析式并根据一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元． 【小问2详解】 解：设生产A礼盒m件，则生产B礼盒件， 由题意得：， 解得：， 设生产总成本为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w有最小值，此时， 答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为，求出满足条件的P点坐标； （3）在（2）满足的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）P的坐标为 （3）解：符合条件的点F的坐标为或， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则， 过P作轴交y轴于点W， 如图点P沿射线方向平移至点E，所以， ∵，， ∴，P的坐标为， ∴． ∵， ∴直线（如图a）或（如图b）， 点F为直线与抛物线的交点， ∴或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， ∴点F的坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，则，根据列方程求出的值即可求出答案； （3）根据二次函数图象的平移、锐角三角函数、一次函数的图象和性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， 把点代入抛物线得， 即， ∴，解得， 则抛物线的表达式：． 【小问2详解】 解：过点P作于点H，作轴于点M，交BC于点K． ∵， ∴． ∵，轴， ∴． 又∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴P的坐标为． 【小问3详解】 略 25. 根据题目条件，完成下列各题 （1）【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； （2）【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； （3）【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 【答案】（1）①FB；② （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则．进一步即可证明结论； （2）在上截取，连接．证明，则，，得到，根据即可得到结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，，证明，得到，进一步即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴②． 故答案为：①；② 【小问2详解】 证明：在上截取，连接． ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． ∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴∽， ∴， 设， 则， ∴，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $