精品解析：2025年山东省济南市市中区九年级中考一模数学试题

九年级学业水平质量检测 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 2. 如图是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图的定义即可得． 【详解】解：此“大碗”的主视图是： 左视图是： 故选项A符合题意． 故选：A． 3. 2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：B． 4. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5. 如图，与关于直线对称，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、积的乘方及单项式乘以多项式进行求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 8. 学校招募运动会服务志愿者，从报名的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两人，则选取的两人中有乙同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．先根据题意画出画树状图，可知共有12种等可能的结果，其中甲被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中有乙同学的结果有6种， ∴选取的两人中有乙同学的概率为． 故选：C． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴ 由作图可得，平分，垂直平分 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线和垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 在平面直角坐标系中，定义：已知是的函数，如果对于任意两个不相等的自变量，，当时，的取值范围是，那么将称为这个函数的“级封闭定义域”．例如：函数，当时，，所以是函数的“3级封闭定义域”．下列结论：①是函数的“1级封闭定义域”；②若是函数的“2级封闭定义域”，则；③若函数存在“3级封闭定义域”，则；④函数不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①求出当时，；时，，进而得到当时，的取值范围是，然后根据“级封闭定义域”的概念判断即可； ②首先得到当时，；当时，，然后根据题意判断即可； ③根据题意得到当时，的取值范围是，再分两种情况讨论，即可判断； ④设，则，即，利用根的判别式即可判断． 【详解】解：①当时，；当时，； ∴当时，的取值范围是， ∴是函数的“1级封闭定义域”，故①正确； ②当时，；当时，， ∵是函数的“2级封闭定义域”， ∴，即， ∴， 解得或（舍去），故②正确； ③∵函数存在“3级封闭定义域”， ∴当时，的取值范围是， ∴当时，；当时，； 若k为正数时，y随着x的增大而增大， ，， 两式相减得：， 解得（舍去，，无解）； 若k为负数时，y随着x的增大而减小， ，， 两式相减得：， ∴， ∵， ∴， 即若函数存在“3级封闭定义域”，则，故③正确； ④设，则，即， ， 函数存在“4级封闭定义域”，故错误； 综上所述，其中正确结论的个数是3个． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【详解】解：圆被等分成4份，其中灰色区域占2份， 指针落在灰色区域的概率为． 故答案为：． 12. 的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 14. 某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．先求出乙队所用的时间，进而得到乙队比甲队晚出发，分别求出甲乙两队的函数解析式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，乙队所用的时间为：， 故乙队比甲队晚出发， 设甲队在时前进的路程（单位：）与甲队出发时间的函数解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， ， 设乙队的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ， ， 当时，， 即当甲出发时间时，甲乙两队相距， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及相似三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作，交于点，结合平行四边形的性质以及相似三角形的性质得出，列方程得出，进一步即可得出． 【详解】解：连接，延长交于点， 为中点， ， 沿翻折得到， ， ， ∵， ， 沿翻折得到， ， 在中，由勾股定理可得：， ， ， 过作，交于点， ∵四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 在中，，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别根据算术平方根、绝对值的代数意义、零指数幂、特殊角三角函数值以及负整数指数幂运算法则计算各项后再进行加减运算即可． 【详解】解： ＝． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，，，，0，1 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先分别解两个不等式，再用口诀法求解集，再根据解集写出所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为，，，，0，1． 18. 在平行四边形中，点，在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、平行线的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求证． 【详解】略 19. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】任务1：；任务2：的长为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键． 任务1：作，，由等腰三角形的性质可得，在中，，结合图形即可求解； 任务1：在中，，，可知，在中，，，再结合，即可求解． 【详解】解：任务1：作，， ∵，， ∴， 在中，， ，， 又∵ ∴四边形为矩形 ∴ 答：遮阳棚前端到地面的距离为； 任务2：在中，， ， ∵四边形为矩形 ∴， 在中，， 答：非机动车道有效遮阳宽度的长为． 20. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，得到，由为的切线，得到，根据点D为弧的中点，得到，再得到，即可得出结论； （2）连接，，即，再得到，证明，得到，即，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵点D为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 21. 某学校组织了丰富多彩的社团活动，学生参加社团活动后，可对社团进行“组织管理”评分（分值为1分、2分、3分、4分、5分）．学校为了解排舞社团和书法社团的组织管理情况，从两个社团各随机抽取了一部分“社团组织管理”的评价分值进行统计分析．请根据样本数据制作的不完整的统计图和统计表回答问题． 社团 统计量 中位数 众数 平均数 书法社团 3 3.5 排舞社团 4 （1）学校从书法社团和排舞社团分别抽取了多少个评价分值？ （2）请补全条形统计图； （3）书法社团的“社团组织管理”评价分值的扇形统计图中4分对应的圆心角为______度； （4）填空：统计表中______，______，______； （5）小辉打算从书法社团和排舞社团中选择“社团组织管理”更好的一个社团参加．根据以上数据，小辉选择______社团更好，理由是________． 【答案】（1）书法社团抽取了个评价分值，排舞社团抽取了个评价分值 （2） 补全条形统计图如下： （3） （4），， （5）排舞，排舞社团的中位数、众数和平均数都高于书法社团的 【解析】 【分析】（1）用3分的个数除以所占的百分比即可求出抽取的评价分值总数； （2）用评价分值总数减去其他分值的个数求出4分的个数，然后补全统计图即可； （3）用乘以书法社团的“社团组织管理”评价分值的扇形统计图中4分所对应的百分比即可求解； （4）根据中位数，众数和平均数的概念求解即可； （5）根据中位数、众数、平均数即可判断求解． 【小问1详解】 书法社团抽取了个评价分值， 排舞社团抽取了个评价分值； 【小问2详解】 书法社团中4分的个数为； 排舞社团中4分的个数为； 【小问3详解】 书法社团的“社团组织管理”评价分值的扇形统计图中4分对应的圆心角； 【小问4详解】 书法社团的“社团组织管理”评价分值从小到大排列，中间的两个数为3和4 ∴中位数， 排舞社团的“社团组织管理”评价分值4分的个数最多 ∴众数， 排舞社团评价分值的平均数； 【小问5详解】 解：小辉应该选择排舞社团， 理由：由统计表可知，排舞社团的中位数、众数和平均数都高于书法社团的， ∴小辉应该选择排舞社团． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数，看懂统计图是解题的关键． 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 （2）购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． （1）设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （２）确定，再根据函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设B型劳动工具单价为x元，则A型劳动工具单价为元， ， 整理得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买A型劳动工具m把，则购买B型劳动工具把，购买花费为w元， 根据题意得：， 解得， 所以m得最大值为66， ， ∵ ∴w随m增大而减小 ∴时，w取得最小值2170元，此时A工具66把，B工具34把． 答：购买A型号的劳动工具66把，B种型号的劳动工具34把，最少费用是2170． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题； （3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题． 【小问1详解】 解：∵正比例函数过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数过点， ∴， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点是在线段的延长线上， ∴设， ∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：方法一：由（2）得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴ ， 解得， ∴； 方法二：由（2）得得，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 解得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元一次方程的应用，等腰直角三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值； （3）如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值． 【答案】（1），顶点 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，通过相似三角形的性质和方程思想解决问题． （1）将，代入抛物线解析式，通过解方程组求出解析式中的系数，进而得到抛物线表达式和顶点坐标． （2）过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F，证明，根据相似三角形对应边成比例的性质建立等式，再结合点在抛物线上这一条件求解． （3）先联立两个抛物线的方程求出交点坐标或，再通过构建图形，利用三角形面积公式列出方程求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点 ∴， 解得， ∴抛物线， ∴顶点； 【小问2详解】 解：如图，过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F； 可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 将，代入抛物线， 解得； 【小问3详解】 解：由抛物线，可得顶点， 联立抛物线与：，解得或， ∴点， ∵顶点，， 所以直线， 过点P作x轴平行线交的延长线于点M，可得， ∴， ∴， 当时，， ∴或， 解得或或． 25. （1）如图1，已知，，，，，连接，，点为中点，连接，求证：． 小明，小亮两位同学针对题目中的中点条件给出了两种处理策略： 小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证______，为中点，为的中位线，______． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，______，可证______，． （2）如图4，在中，，，在中，，，连接，，点为中点，连接，请求出线段与线段的数量关系； （3）如图5，中，，，点在射线上，，延长至，使得，边绕点顺时针旋转至，连接并延长至，使得点为中点，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；；；；（2）；（3）3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求解即可； （2）方法一：延长至，使得，连接，，根据题意证明出，即可求解； 方法二：延长至，使得，证明出，得到，然后证明出，即可求解； （3）如图所示，连接，，延长至G，使得，证明出，得到，，作，然后得到当最小时，取得最小值，进而求解即可． 【详解】解：（1）小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证，为中点，为的中位线，． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，，可证，； （2）方法一：延长至，使得，连接， ∵D为中点 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴； 方法二：延长至，使得， ∵D为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在与中 ，， ∴ ∴，即； （3）如图所示，连接，，延长至G，使得， ∴，， 在与中 ∵ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 作 ∴ ∴ ∴当最小时，取得最小值 ∵，E在射线上 ∴当时，取得最小值，即为 ∴线段的最小值． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业水平质量检测 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 俯视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 3. 2025年1月8日，山东省政府举办“稳步扩内需促开放，赋能经济高质量发展情况”新闻发布会，会议介绍2024年山东筹集落实资金亿元，集中支持汽车、家电等8个领域消费品以旧换新工作，合计带动销售亿元左右，山东汽车报废更新万辆，居全国首位，家电以旧换新万台．将数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与关于直线对称，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 8. 学校招募运动会服务志愿者，从报名的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两人，则选取的两人中有乙同学的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 在平面直角坐标系中，定义：已知是的函数，如果对于任意两个不相等的自变量，，当时，的取值范围是，那么将称为这个函数的“级封闭定义域”．例如：函数，当时，，所以是函数的“3级封闭定义域”．下列结论：①是函数的“1级封闭定义域”；②若是函数的“2级封闭定义域”，则；③若函数存在“3级封闭定义域”，则；④函数不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是______． 12. 的结果为______． 13. 如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 14. 某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距______． 15. 如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 在平行四边形中，点，在对角线上，连接、，．求证：． 19. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 20. 如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某学校组织了丰富多彩的社团活动，学生参加社团活动后，可对社团进行“组织管理”评分（分值为1分、2分、3分、4分、5分）．学校为了解排舞社团和书法社团的组织管理情况，从两个社团各随机抽取了一部分“社团组织管理”的评价分值进行统计分析．请根据样本数据制作的不完整的统计图和统计表回答问题． 社团 统计量 中位数 众数 平均数 书法社团 3 3.5 排舞社团 4 （1）学校从书法社团和排舞社团分别抽取了多少个评价分值？ （2）请补全条形统计图； （3）书法社团的“社团组织管理”评价分值的扇形统计图中4分对应的圆心角为______度； （4）填空：统计表中______，______，______； （5）小辉打算从书法社团和排舞社团中选择“社团组织管理”更好的一个社团参加．根据以上数据，小辉选择______社团更好，理由是________． 22. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上型劳动工具的单价比型劳动工具的单价低5元，用400元购买型劳动工具的数量和用500元购买型劳动工具的数量相同． （1）求，两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种型号的劳动工具共100把，且型劳动工具的购买数量不超过型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值； （3）如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值． 25. （1）如图1，已知，，，，，连接，，点为中点，连接，求证：． 小明，小亮两位同学针对题目中的中点条件给出了两种处理策略： 小明的思路如下：如图2，延长至，使得，连接，，可证______，为中点，为的中位线，______． 小亮的思路如下：如图3，延长至，使得，可证，，，______，可证______，． （2）如图4，在中，，，在中，，，连接，，点为中点，连接，请求出线段与线段的数量关系； （3）如图5，中，，，点在射线上，，延长至，使得，边绕点顺时针旋转至，连接并延长至，使得点为中点，连接，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $