数学二模模拟卷（山东济南专用）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1分的绝对位是() A.5 1 B.25 c. D.-25 25 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.00000837米.则数据 0.00000837用科学记数法表示为() A.8.37×107B.-8.37×10 C.-8.37×10 D.8.37×106 3如图，下列几何体都是由七个相同的正方体摆成的，其主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 () A 正面 正面 D 正面 正面 4.设m、n分别为一元二次方程x2-x-2=0的两个实数根，则2n-l-n=() A.1 B.-1 C.-5 D.5 119 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5化简 +a-1的结果是() a+1 A.1 B. C.a a-1 a+1 D. a+1 6.已知点(1).口，).(3，)在反比例函数y=k<0)的图象上，则4，为，y的大小关系是() 1化 A.y2<y,<1B.y<片<y2 C.y<y2<y3 D.y3<y2<y 7熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花.如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口 A进入，从出口E离开的概率为() 出口E 出口C 杏花园 出口D 入口A入口B A. c.月 D.G 8.矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=a,∠BAC=∠a,则下列结论错误的是() a 0 B a a A.∠BDC=∠aB.BC=atan a C.BO= 2cosa D.AO=2sm 9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10,AB=6,点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB 于点F,D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB,CA于点M, 点V:②分别以M,N为圆心，大于号MN长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部交于点G:③作射线 CG.若射线CG经过点D,则CE的长度为() B 50 A. c. D.I 219 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点P在Rt△ABC的边上沿 C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设 点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二 次函数.在3个时刻，t2,t,(4<t2<)对应的正方形DPEF的面积均相等.下列4个结论：①当t=1 时，S=3;②点P在线段BA上时S=2t-16t+34;③AD=4v2;④t+t2=4.其中正确结论的个数为 () S 18 D 4 图1 图2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 3 1若式子V2有意义，则自变量x的取值范围是 12.当前，二维码己广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具.如图，小敏同学将一个二 维码打印成10cnxl0c的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖， 经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在0.72左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面 积为 cm2. 13.从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是 B D 319 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 14在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车 之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象，则a的值是一· y(千米) 100 -------- 70 0 0.5 1.75x(小时) 15如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边CD上一动点，将线段BE绕点B逆时针旋转至BE', 且∠EBE=∠DBC,连接AE',则AE的最小值为· E E B 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(7分)计算： 2sim45°+1-√+(2025-°+27. (x+2-1<)+6 x 1 17.(7分)求不等式组{3 26所有整数解的积. 2(x-3)≤x-5 18.(7分)如图，点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O,分别交BA、DC的延 长线于点E、F,分别连结点B、F和点D、E.求证：四边形BFDE是平行四边形. E F 419 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分)“1”腔热血护家园，“1呼百应齐参与，“9久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生 到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操 作面OD与水平地面HG平行，操作面离地面的距离OH=1米，伸缩臂C0可绕着点O旋转，点A在OD 上，AB为云梯的液压杆，其中AB可伸缩，已知套管OB=3米，且套管OB的长度不变.消防员为大家介 绍：此时，∠AOB=30°，∠BAD=60°，CE⊥HG于点E,交OD于点F,云梯末端工作台C上升到了离地 面CE=5.5米的高处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，结果精确到0.1） D E G 图1 图2 (1)求此时液压杆AB的长度：（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂CO绕点O逆时针旋转23°并伸长至OC',云梯末端工作台C的铅锤高 度上升了4米至C”,请问伸缩臂OC'比伸缩臂OC伸长了多少米？ 20.(8分)己知：如图，AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，过O作OG⊥CD于点G,过点C作OO的切 线CP交OG的延长线于点P,连接PD. D (I)求证：PD是OO的切线： ②连接4D、BC.若<18=7W,∠C4=46,0n-,求0P的长. 519 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(9分)为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗 水里绽放笑脸的素质教育新实践·现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据 时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题. 运动时间x/分钟 数据 第一组 50≤x<60 54,57,53 第二组 60≤x<70 63,65,■，68,64,66 第三组 70≤x<80 72,■，76,79 第四组 80≤x<90 82,■，88,83 频数 7 6 6 5 第三组 4 3 第一组 第二组 第四组 35% 0 5060708090时间/分钟 (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为： (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度： (4)若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟 619 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1.5万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今 年销售额只有90万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加5月份收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为75万 元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的 数量不少于7辆，有几种进货方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定 每售出一辆B款汽车，返还顾客现金α万元，当α为何值时(2)中所有的方案获利相同？ 23.(10分)在平面直角坐标系x0y中，点P是反比例函数y=(x>0)在第一象限的图象上一点 B 备用图 (①)如图，过点P的直线y=x+1分别与x轴，y轴交于点A,B,且AB=BP. ①求反比例函数的表达式： ②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B,D,E,P为顶点的四边形为平行四边 形，求点E的坐标； (2)过定点P的直线y=x-3+2交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q,交y轴于点M,连接 OP,OQ,设△POQ的面积为S,△MOP的面积为S2,若2S=S2,求m的值. 719 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y 轴交于点C,连接AC,若tan∠OAC=2, M B A 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过P作PN⊥BC于点N, B、P是y轴上两个动点，点B在点P的上方，且EP=1.当PM+V5PN取得最大值时，求 PE+EF+BF的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线y',2为新抛物线y'上的一 个动点，当∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点Q的横坐标. 819 可学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为线段BC上一点，连接AD,将射线DA绕 点D顺时针旋转C交直线AC于点E,连接DE. D 图1 图2 图3 (I)如图1，若AD=DE,AE=2W2,求线段BD的长 (2)如图2，若a=45°，过点B作BF‖AE,交射线ED于点F,用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量 关系，并证明 (3)如图3，若a=45°，AB=4,过点A作DE的垂线AM,垂足为点M,当CM取得最小值时，直线BC 上方有一点Q,使得∠BQD=∠MCD,当CQ取得最小值时，直接写出ScoM的值. 919窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 5 6 7 8 9 10 A D C C A D D B B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.x>-2 12.72 13.360°或540°或720° 14.1 15号 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(7分)解： -2sin45°+1-√2+(2025-π)°+27 =-2-2×5+5-1+1+3…3分 2 =-2-√2+√2-1+1+3…6分 =1.…7分 +2-1<+2o 17.(7分)解： 3 26 2(x-3)≤x-5② 解不等式①得，x>-3,2分 解不等式②得，x≤1，…4分 .不等式组的解集是-3<x≤1， 不等式组的整数解是：-2，-1,0,1，…6分 .-2)×-1×0×1=0, .不等式组的所有整数解的积为0.…7分 18.(7分)证明：：点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点， 1/16 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BO=DO,AB∥CD, ∠BE0=∠DF0,…2分 :∠B0E=∠DOF, .△B0E≌△D0F(AAS,·…5分 BE=DF,…6分 :AB∥CD,即BE∥DF, 四边形BFDE是平行四边形.··7分 19.(8分)(1)解：过点B作BP⊥AD,如， B 在R1△BP0中，OB=3米，LA0B=30°， （米)，……1分 在Rt△APB中，∠BAD=60°， ·sin∠BAP=BP B'即2、V ,…3分 AB 2 AB=√5（米）；…4分 (2)解：过点C作CQ⊥OD,垂足为O,过点C作CR⊥CQ,垂足为R, B A F D H E G 根据题意知，EF=OH=1(米) :CE=5.5(米) 2/16 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CF=CE-EF=5.5-1=4.5(米) ∠C0D=30°， 0C=2CF=9(米)…5分 由作图知四边形CROF是矩形， .QR=CF=4.5米， CR=4米， CQ=CR+RQ=4+4.5=8.5米， 又∠C0C'=23°，∠C0D=30°， ∠COD=23°+30°=53°， 在RtaC'O0中，sin∠C'OD=C C 0c=C0。-=85-10.625米 sin53°0.8 ,…6分 0C-0C=10.625-9=1.625米，·.7分 即伸缩臂0C比伸缩臂0C伸长了1.625米.·…8分 20.(8分)(1)证明：：PC为⊙0的切线，0C是半径， .0C⊥CP, .∠0CP=90°， ,OG⊥CD,0C=OD, ·LC0P=D0P, :0P=0P, a0DP≌a0CP(SAS),·…2分 ∠0DP=∠0CP=90°， .OD⊥PD, :0D是半径， PD是⊙0的切线；…4分 (2)解：：0B=0C,∠CBA=46°， .∠OCB=∠CBA=46°， .∠B0C=180°-46°-46°=88°， 3/16 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 同理得：∠A0D=32°， ∠D0P=∠C0P=30°，…6分 Rta0CP中，PC,OP 设CP=x,则OP=2x, 陶股定理得：+ =(2x)2,…7分 (负值舍)， 2 0P=5.…8分 21.(9分)(1)解：墨汁盖住的数字共20-3-5-3-3=6（个）， 第一组的频数为3，第二组的频数为20×35%=7，第三组的频数为6， 第四组的频数为20-3-7-6=4， 补全频数分布直方图： 频数 > 6 6 4 X 3 3 …2分 2 0 5060708090时间/分钟 (2)解：由(1)知，墨汁盖住的数字共6个，第四组的频数为4， :第四组数据的中位数是84， ·第四组中被盖住的数字为84×2-83=85， 故答案为：85；…4分 (3)解：扇形统计图中第四组的圆心角的度数是：360°×4=72°： 20 故答案为：72；…6分 （4)解：2000x203=1700名，…8分 20 答：该校约有1700名学生每日运动时间不少于60分钟.··…9分 4/16 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(10分)(1)解：设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期每辆售价为m+1.5万元，根据 题意，得： 90105 mm+1.5’ ……2分 解得：m=9 经检验，m=9是原方程的根且符合题意.··3分 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元. (2)解：设购进A款汽车x辆，根据题意，得： 7.5x+615-x≤105.…4分 解得：x≤10， 又x≥7 ∴7≤x≤10. x的正整数解为7,8,9,10，…5分 .共有4种进货方案， 方案1：购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆； 方案2：购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆； 方案3：购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆： 方案4：购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆.····6分 (3)解：设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得： W=(9-7.5x+8-6-a(15-x=a-0.5x+30-15a,...…8分 当a-0.5=0时，a=0.5,W的值与x无关，…9分 当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同.…10分 23.(10分)(1)①过P作PC⊥x轴于点C,即PC∥0B, 5/16 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当y=0时，即0=。x+1,解得：x=-2, 1 当x=0时，即y=x+1=1, 即A(-2,0),B(0,1), A0=2,B0=1,·…1分 根据PC∥OB,可得RtAAOB∽RtA ACP, 即：=ACPC AB AO BO AB BP, :4P-4B+BP-2, ABAB .AC=2A0=4,PC=2B0=2, 即：0C=2,…2分 即P(2,2), 将P2,2)代入反比例函数y=《,得k=4, 4 反比例函数的表达式为y=一；…3分 ②由①可得B(0,1,P(2,2) 设D(a,0), 当点B,D,E,P组成平行四边形BDEP时 :g+E=o+2 2 1+b=0+2,即b=1, E(4,1);…4分 当点B,D,E,P组成平行四边形BDPE时， ..Ya+ye=yo+yE, 2 2 .1+2=0+b即b=3, ……5分 E点坐标为4得小 ………6分 (2):直线y=mx-3m+2=m(x-3)+2, 6/16 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即当x=3时，即y=2,则过定点(3,2)， P点坐标为(3,2)， 代入反比例函数y=冬，得k=6, 、反比例函数的表达式为y=,…7分 ①如图1，当Q在线段MP上时， K 图1 SAMOP 2SAP00 :MQ=PQ,即MQ=PQ=PM, 2 作OK⊥y轴于点K,PL⊥y轴于点L, 由P点坐标为(3,2)可得：PL=3, .RtAMKO∽RtoMLP, :K2-g-1 PL MP2' 3 二K0=号，即x0) 6 则：yg==4, 将@4代入直线y=m-训+2特m=手：…8分 ②如图2，当Q在线段MP延长线上时， 7/16 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M ----- K 图2 SAMOP 2SAP00 .MP=2PQ,即MQ=3PQ, 作QK⊥y轴于点K,PL⊥y轴于点L,同理PL=3, .RtAMKO∽RtAMLP, 2w2 KO MO 3 :K0=2 即xg2' 9 294 :2 将02)代入直线y=m-3m+2得m= 94 9 …9分 综上所达m的值为号或号 4 ···…·…··……10分 24.(12分)(1)由y=ax2+bx+4,令x=0得C(0,4), an∠0AC=0C2,0C=4,故0A=2, OA 又A在x轴负半轴，则A-2,0)……1分 抛物线过A(-2,0)、B(4,0), 设y=ax+2)x-4),代入C(0,4): 4=x2到，解得a=-…2分 故抛物线解析式为少=x+2]x-4到=2++4…3分 1 8/16 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由B(4,0),C(0,4)得直线BC:y=-x+4 设Pm,m2+m+4} .PM∥x 1 .-2m2+m+4=-x+4 2 1 x=。m2-m 2 1 则M2m2-m,-2m2+m+4 1 1 PM=m-2m-m=- m2+2m…4分 2 .0B=0C=4 .△OBC为等腰直角三角形 .∠0BC=45° :PM∥x轴，即PM∥OB .∠0BC=45°=∠PMN 又：PN⊥BC ∴.△PMN为等腰直角三角形 :PN=PM 2 PMR-PPN 2 3 m2+3m 4 段m2+3m,为二次函数，开口向下 当m 3 =2 2 时，取最大值，此时P(2,4),……5分 此时E、F在y轴上，EF=1,点E在F上方 要求PE+EF+BF最小值，EF=I为定值，即求PE+BF最小值 设F(0,t),则E(0,t+1 PE=V2-0)2+[4-(t+1]-V4+(3- 将点P向下平移1单位得P'(2,3),则PE=P'F……6分 9/16 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故PE+BF=P'F+BF,P'(2,3),B(4,0) 作P关于y轴的对称点P"(-2,3),则P'F+BF=P"F+BF≥P"B M PB=V4+2)2+(0-3)2=35…7分 图1 故PE+EF+BF的最小值为3√5+1，…8分 3)原抛物线)=之+x+4向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： y=-x+22+(x+2到+4+2=72-x+6 2 设y4c=kx+b2, 由A(-2,0,C(0,4)得 -2k+b=0 b=4 [k=2 解得 b=4' 则y4c=2x+4 由(1)得yc=-x+4 B ①当2在x轴上方， :∠Q,AC=∠BCA .g,A∥BC 10/162026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.(AJ[B1[C][D1 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共20分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 17.(7分) 18.(7分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) C, C B F D H G 图1 图2 20.(8分) A G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 7频数 6 6 第三组 4 3 3 第一组 第二组 第四组 35% 0 5060708090时间/分钟 (2)若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为： (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度； 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. (10分) y个 B A 0 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) A M E A B 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) B D C B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！.: 2026年中考第二次模拟考试 o 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1 尽 1.25的绝对值是（) 1 A. 25 B.25 D.-25 .: : 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开."若苔花的花粉直径约为0.00000837米.则数据 0.00000837用科学记数法表示为() A.8.37×107 B.-8.37×10 C.-8.37×106 D.8.37×10-6 3.如图，下列几何体都是由七个相同的正方体摆成的，其主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 黑 : 拟 : : : 正面 : 正面 : : 正面 正面 : 4.设m、n分别为一元二次方程x2-x-2=0的两个实数根，则21-l-n=() A.1 B.-1 C.-5 D.5 : 试题第1页（共6页） .: ©学科网·学易金卷做概蕊：就限景是鲁普 1 5.化简 +a-1的结果是() a+1 1 A.1 B. C.a D. a+1 a+1 6.己知点(-1y),,),(3,)在反比例函数y=k<0)的图象上，则y，,马的大小关系是() A.y2<y3<y B.y3<y<y C.y<y2<y3 D.y3<y2<y 7熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花.如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口A 进入，从出口E离开的概率为() A. 1 B.3 D 6 出口E 出口C 杏花园 出口D a □ 入口A入口B B 第7题图 第8题图 第9题图 8.矩形ABCD的对角线交于点O,己知AB=a,∠BAC=∠a,则下列结论错误的是() A.∠BDC=∠&B.BC=atana C.BO=a D.AO=a 2cosa 2sin a 9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=I0,AB=6,点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB 于点F,D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB,CA于点M, 点N:②分别以M,N为圆心，大于号MN长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部交于点G;③作射线 CG.若射线CG经过点D,则CE的长度为() A. 50 8.0 3 c碧 0.18 10.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=√2，动点P在Rt△ABC的边上沿 C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以工 18 正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P 由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数.在3个时刻 t,t2,t(<t,<)对应的正方形DPEF的面积均相等.下列4个结论： ①当t=1时，S=3: 4 图1 ②点P在线段BA上时S=2t2-16t+34: 图2 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：就限？是鲁普 ③AD=4W2; ④+t2=4.其中正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 1.若式子√十2有意义，则自变量x的取值范国是 12当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具.如图，小敏同学将一个二 维码打印成10cmx10cm的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖， 经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在0.72左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面 积为 cm y(千米) B 100 70- 0.5 1.75x(小时) 第12题图 第13题图 第14题图 13.从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是 14.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之 间的距离y(千米)与行驶时间x（小时)的函数关系的图象，则α的值是一： 2 D A 15.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边CD上一动点，将线段BE绕点 B逆时针旋转至BE',且∠EBE=∠DBC,连接AE',则AE的最小值为· E B 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 16.(7分)计算： 2 -2sim45+1-V2+(2025-)°+27. 17.(7分)求不等式组 x+2-1<1 31 26所有整数解的积。 2(x-3)≤x-5 18.(7分)如图，点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O,分别交BA、DC的延 长线于点E、F,分别连结点B、F和点D、E.求证：四边形BFDE是平行四边形. 试题第3页（共6页） E ☑ 19.(8分)“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到 兵 消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作 面OD与水平地面HG平行，操作面离地面的距离OH=1米，伸缩臂C0可绕着点O旋转，点A在OD上， AB为云梯的液压杆，其中AB可伸缩，已知套管OB=3米，且套管OB的长度不变.消防员为大家介绍： 张 O 此时，∠AOB=30°，∠BAD=60°，CE⊥HG于点E,交OD于点F,云梯末端工作台C上升到了离地面 CE=5.5米的高处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，结果精确到0.1） 河 (1)求此时液压杆AB的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂CO绕点O逆时针旋转23°并伸长至OC',云梯末端工作台C的铅锤高度 教 上升了4米至C”,请问伸缩臂OC比伸缩臂OC伸长了多少米？ 游 S O B E 图1 图2 20.(8分)已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过O作OG⊥CD于点G,过点C作⊙O的切 线CP交OG的延长线于点P,连接PD. E肉 世 ○ (1)求证：PD是⊙O的切线： 2连接AD、BC.若∠DAB=74,∠CBA=46,OB=,求OP的长 烟 21.（9分)为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水 里绽放笑脸”的素质教育新实践·现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时 : 不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题 O 试题第4页（共6页） : 运动时间x/分钟 数据 O 第一组 50≤x<60 54,57,53 个频数 6 第二组 60≤x<70 63,65,■，68,64,66 第三组 第一组 斯 第三组 72,■，76,79 第二组\第四组 70≤x<80 35% 5060708090时间/分钟 第四组 80≤x<90 82,■，88,83 (1)补全频数分布直方图： O (2)若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为 (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度： : % (4)若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟. 22.(10分)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1.5万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今年 .: 销售额只有90万元. : (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加5月份收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，己知A款汽车每辆进价为7.5万 元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的 : 数量不少于7辆，有几种进货方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每 售出一辆B款汽车，返还顾客现金α万元，当a为何值时(2)中所有的方案获利相同？ : 拟 : 23.(10分)在平面直角坐标系xO中，点P是反比例函数y=(x>0在第一象限的图象上一点 1 .: VA : : : 备用图 : ()如图，过点P的直线y=x+1分别与x轴，y轴交于点A,B,且AB=BP. ①求反比例函数的表达式： 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 ②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B,D,E,P为顶点的四边形为平行四边 形，求点E的坐标： (2)过定点P的直线y=x-3m+2交反比例函数在第一象限的图象于另一点O,交y轴于点M,连接 OP,O0,设△PO2的面积为S,△MOP的面积为S2,若2S=S2,求m的值. 24.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B(4,0)两点，与y轴 交于点C,连接AC,若tan∠OAC=2, M E B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过P作PN⊥BC于点N, 瓜、P是y轴上两个动点，点B在点P的上方，且BF=1.当PM+2PN取得最大值时，求PB+BF+B7 2 的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线y',Q为新抛物线y'上的一 个动点，当∠OAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点2的横坐标. 25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为线段BC上一点，连接AD,将射线DA绕 点D顺时针旋转α交直线AC于点E,连接DE, D 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=DE,AE=22,求线段BD的长， (2)如图2，若a=45°，过点B作BF川AE,交射线ED于点F,用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量 关系，并证明 (3)如图3，若a=45°，AB=4,过点A作DE的垂线AM,垂足为点M,当CM取得最小值时，直线BC上 方有一点Q,使得∠BQD=∠MCD,当CQ取得最小值时，直接写出Scow的值. 试题第6页（共6页）2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[AJ[B][C[D] 3[][B][GI[D 7[A][B][C][D] 4[A][B[C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共20分) 11 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(7分) D 19.(8分) C B D H G 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) B 21.(9分) 频数 7---------- 6 6 5 第三组 4 3 第一组 2 第二组 第四组 1-- 35% 0 5060708090时间/分钟 (2)若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为 (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(10分) D X 0 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) M p B A 6 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D D 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考数学第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1.Al[BIICIDI 5.Al[BIICI[D 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1A]IBIICIIDI 10.[AJIB]ICIID] 3.[AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.1A]IBIICIID] 8.1A]IB]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 12. 13. 14. 15. 逃大为晒日的续脂灯成由价饮切留信仁计探阳白述仙体安工效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天邀共U个小逖，共U分，解合世与出义子况明，址明程以澳异步探) 16.(7分) 17.(7分) 18.(7分) B 请请络趣管趣碳戟作答，超超黑黑限赵戏球修等窥效！ 19.(8分) , B/R 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 71频数 e。。 6 6 5 第三组 3 第一组 第二组 第四组 1 35% 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) y个 B A 0 0 x 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题甘的答题区域内作答，超出黑色柜形边框限定区域的答案无效对 24.(12分) W M E B B 请在务题目的答题及域肉作箬：超出量色形效框限定及域的答豢无效！ 25.(12分) M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是（   ） A． B．25 C． D． 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.如图，下列几何体都是由七个相同的正方体摆成的，其主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4.设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．1 B． C． D．5 5.化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 6.已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花．如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口离开的概率为（    ） A． B． C． D． 8.矩形的对角线交于点，已知，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 9.如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：①以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线．若射线经过点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 10.如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若式子有意义，则自变量x的取值范围是_________ ； 12.当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 13.从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________ 14.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 15.如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（7分）计算：． 17.（7分）求不等式组所有整数解的积． 18.（7分）如图，点O为平行四边形的对角线的中点，直线经过点O，分别交的延长线于点E、F，分别连结点B、F和点D、E．求证：四边形是平行四边形． 19.（8分）“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 20.（8分）已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接、．若，，，求的长． 21.（9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 22.（10分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1.5万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加5月份收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于7辆，有几种进货方案？ (3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时（2）中所有的方案获利相同？ 23.（10分）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点    (1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且． ①求反比例函数的表达式； ②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标； (2)过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 25.（12分）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是（   ） A． B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，明确负数的绝对值是它的相反数是解题关键，据此求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，将用科学记数法表示为， 故选：D． 3.如图，下列几何体都是由七个相同的正方体摆成的，其主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称图形、中心对称图形的定义是正确判断的前提．根据简单组合体的主视图和轴对称及中心对称的知识得出结论即可． 【详解】解：A．主视图有两层，上层和底层各两个正方形，所以主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．主视图有三列，从左到右正方形的个数分别为3、2、1，所以主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选不项符合题意； C．主视图有三列，从左到右正方形的个数分别为1、2、2，所以主视图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不项符合题意； D．主视图有三列，从左到右正方形的个数分别为1、3、2，所以主视图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不项符合题意． 故选：A 4.设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：C． 5.化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． 原式通分计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：C． 6.已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限，在每个象限内随增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：A． 7.熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花．如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口离开的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得嘉嘉选择从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案，熟练掌握画树状图的方法是解决此题的关键． 【详解】如图，画树状图得， 由树状图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果， ∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为， 故选：D． 8.矩形的对角线交于点，已知，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，正切，正弦，余弦的计算，即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是对角线的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵， ∴； 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴ ∴， 故D错误，符合题意． 9.如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：①以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线．若射线经过点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．先利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，再证明得到，设，则，，接着证明，利用相似比得到，然后解方程即可． 【详解】解：，，， ， 由作法得平分， ， ∵， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则，， ∵， ， ，即，解得， 即的长为． 故选：B． 10.如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若式子有意义，则自变量x的取值范围是_________ ； 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12.当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，得到飞镖落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右， ∴飞镖落在黑色部分的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为：， 故答案为：． 13.从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________ 【答案】 或或. 【分析】从一个五边形中剪去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形，再根据多边形的内角和的公式求解. 【详解】分三种情况： ①若剩余部分的多边形是四边形，则内角和为360°， ②若剩余部分的多边形是五边形，则内角和为， ③若剩余部分的多边形是六边形，则内角和为， 故答案为： 或或. 14.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 15.如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（7分）计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用负整数指数幂、特殊角三角函数、二次根式的加减运算、零指数幂、立方根进行计算即可． 【详解】解： ． 17.（7分）求不等式组所有整数解的积． 【答案】0 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解是：， ∴， ∴不等式组的所有整数解的积为0． 18.（7分）如图，点O为平行四边形的对角线的中点，直线经过点O，分别交的延长线于点E、F，分别连结点B、F和点D、E．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，则，再由，即可证明． 【详解】证明：∵点O为平行四边形的对角线的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 19.（8分）“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 【答案】(1)米 (2)伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作，分别解和，进行求解即可； （2）过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R，通过解直角三角形可求出和，再相减即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作，如， 在中，米，， ∴（米）， 在中，， ∴，即, ∴（米）； （2）解：过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R， 根据题意知，（米） ∵（米） ∴（米） ∵, ∴（米） 由作图知四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 又 ∴ 在中，, ∴米， ∴米， 即伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 20.（8分）已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接、．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解答 (2) 【分析】（1）根据证明，则，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：为的切线，是半径， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， 同理得：， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， （负值舍）， ． 21.（9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)名 【分析】（1）由随机抽取九年级名学生，可得墨汁盖住的数字共个，根据第二组的占比可得第二组的频数，求出第四组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）根据（1）的结果以及中位数的定义可得答案； （3）用乘第四组所占百分比即可求出所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用样本估计总体即可． 本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 【详解】（1）解：墨汁盖住的数字共个， 第一组的频数为，第二组的频数为，第三组的频数为， 第四组的频数为， 补全频数分布直方图： （2）解：由（1）知，墨汁盖住的数字共个，第四组的频数为， 第四组数据的中位数是， 第四组中被盖住的数字为， 故答案为：； （3）解：扇形统计图中第四组的圆心角的度数是：； 故答案为：； （4）解：名， 答：该校约有名学生每日运动时间不少于分钟． 22.（10分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1.5万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加5月份收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于7辆，有几种进货方案？ (3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时（2）中所有的方案获利相同？ 【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元 (2)共有4种进货方案，方案1：购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆；方案2：购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆；方案3：购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆；方案4：购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆 (3)当时，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期每辆售价为万元，根据卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今年销售额只有90万元，列出方程，解方程即可； （2）设购进A款汽车x辆，根据用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，列出不等式，解不等式，再根据A款汽车的数量不少于7辆，得出，即可得出答案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据利润售价进价，列出，根据当时，，W的值与x无关，即可得出答案． 【详解】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期每辆售价为万元，根据题意，得： ， 解得：． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元． （2）解：设购进A款汽车x辆，根据题意，得： ． 解得：， 又 ∴． ∵x的正整数解为7，8，9，10， ∴共有4种进货方案， 方案1：购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆； 方案2：购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆； 方案3：购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆； 方案4：购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆． （3）解：设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得： ， 当时，，W的值与x无关， ∴当时，（2）中所有方案获利相同． 23.（10分）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点    (1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且． ①求反比例函数的表达式； ②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标； (2)过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 【答案】(1)①反比例函数的表达式为；②E点坐标为或 (2)m的值为或 【分析】（1）过P 作轴于点C，即，先求出，，即，，根据，可得，即：，可得，即，将代入反比例函数，可得反比例函数的表达式；②由①可得，，设，，当点B，D，E，P组成平行四边形时，根据平行四边形中对角线相互平分，结合中点坐标公式可得：，即可得，即；当点B，D，E，P组成平行四边形时，同理有，可得，问题得解； （2）根据直线，可得P 点坐标为，即可得反比例函数的表达式为，①当Q在线段上时，由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，证明，即有，则，进而可得，将代入直线得；②当Q在线段延长线上时， 由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，同理可得，将代入直线得，问题得解． 【详解】（1）①过P 作轴于点C，即，    当时，即，解得：， 当时，即， 即，， ∴，， 根据，可得， 即：， ∵， ∴， ∴，， 即：， 即， 将代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为； ②由①可得， 设，， 当点B，D，E，P组成平行四边形时 ∵， ∴，即， ∴； 当点B，D，E，P组成平行四边形时， ∵， ∴即， ∴， ∴E点坐标为或； （2）∵直线， 即当时，即，则过定点， ∴P 点坐标为， 代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为， ①如图1，当Q在线段上时，    ∵， ∴，即， 作轴于点K，轴于点L， 由P 点坐标为可得：， ∴， ∴， ∴，即， 则：， ∴， 将代入直线得； ②如图2，当Q在线段延长线上时，    ∵， ∴，即， 作轴于点K，轴于点L，同理， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 将代入直线得， 综上所述m的值为或． 24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角函数、线段和最值（胡不归模型）、轴对称最短路径（将军饮马）、抛物线平移变换及角度相等的存在性问题；解题的关键是：①利用三角函数及交点坐标求解析式；②将线段和的最值问题转化为垂线段或轴对称问题；③通过构造等腰三角形处理角度相等条件． （1）由)和可得，结合，利用交点式求抛物线解析式； （2）先证明为等腰直角三角形，得，从而，转化为求最大值；利用直线与抛物线解析式设点坐标，表示长度，通过二次函数性质求最值；在取得最值的条件下，利用轴对称（将军饮马模型）求的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式；由，可构造平行线和等腰三角形，分点在轴上方或下方两种情况讨论，通过几何关系建立方程求解点横坐标． 【详解】（1）由，令得， ，，故， 又在轴负半轴，则 抛物线过， 设，代入： ，解得， 故抛物线解析式为 （2）由，得直线 设， ∵ ∴ 则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵轴，即 ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设，为二次函数，开口向下 当时，取最大值，此时， 此时在轴上，，点在上方 要求最小值，为定值，即求最小值 设，则 将点向下平移1单位得，则 故，， 作关于轴的对称点，则 故的最小值为． （3）原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： 设， 由得， 解得， 则 由（1）得 ①当在轴上方， ∵ ∴ ∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点 ∴可以将直线看作直线向左平移个单位 即向左平移个单位， 则 联立 解得，（舍） ②过中点，作垂线于，与延长线交于 由得，中点即 设点， ， ， 由勾股定理得： ，故点， 设， 解得，即 联立： ，整理得 或（舍） 则点的横坐标为． 综上所述，的横坐标为或． 25.（12分）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是（   ） A． B．25 C． D． 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.如图，下列几何体都是由七个相同的正方体摆成的，其主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4.设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．1 B． C． D．5 5.化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 6.已知点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花．如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口离开的概率为（    ） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第9题图 8.矩形的对角线交于点，已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9.如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：①以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线．若射线经过点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 10.如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作 正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P 由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻 ，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论： ①当时，； ②点P在线段上时； ③； ④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若式子有意义，则自变量x的取值范围是_________ ； 12.当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 第12题图 第13题图 第14题图 13.从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________ 14.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 15.如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点 逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（7分）计算：． 17. （7分）求不等式组所有整数解的积． 18.（7分）如图，点O为平行四边形的对角线的中点，直线经过点O，分别交的延长线于点E、F，分别连结点B、F和点D、E．求证：四边形是平行四边形． 19.（8分）“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 20.（8分）已知：如图，是的直径，是的弦，过作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接、．若，，，求的长． 21.（9分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 22.（10分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1.5万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为105万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加5月份收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于7辆，有几种进货方案？ (3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时（2）中所有的方案获利相同？ 23.（10分）在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点    (1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且． ①求反比例函数的表达式； ②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标； (2) 过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值． 24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 25.（12分）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $