精品解析：浙江杭州市之江实验中学2025学年第二学期3月自查练习 数学试题卷

杭州市之江实验中学2025学年第二学期3月自查练习 数学试题卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 实数2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 7. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（　 　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 9. 已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 13. 如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 14. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 15. 已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________． 16. 如图，内接于，半径为r，于点D，若，，则________（用含的代数式表示），________． 三、解答题（共66分） 17. 计算: 18. 解方程：． 19. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 20. 阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是_______；二级近似值是_______ （2）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 21. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 22. 如图，在菱形中，与相交于点O．以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E．分别以点E，D为圆心，一定长度为半径画弧，两弧相交于点F，连结，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的值． 23. 已知二次函数（b常数）的图像与x轴交于点 （1）求二次函数的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． （3）平行于y轴的直线l分别与直线和抛物线交于M，N两点．若平移直线l，可以使点M，N都在x轴上方，求m的取值范围． 24. 如图，点F是正方形边上一点，过F作，交于G，连接是的中点，过H作交于点E． （1）连接，求证：． （2）若 ①若，，求的长； ②连接，求的值．（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市之江实验中学2025学年第二学期3月自查练习 数学试题卷 考生须知： 1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的指定区域内填写班级、姓名和座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 实数2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的基本概念，根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加得零的数，解答即可． 【详解】解：2的相反数为， 故选：D． 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．而是该公司研发的小型化、轻量级的模型．训练该模型需要次浮点运算．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示关键要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需运用幂的乘方、同底数幂除法、同类项概念、单项式乘法的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，∴，A正确； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，B错误； ∵与不是同类项，不能合并，∴ C错误； ∵ 单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加，∴，D正确． 4. 已知点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，熟练掌握每个象限坐标特征和解不等式组是解题的关键； 根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得：， 故选：C． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， ∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2， ∴，即：m=2， 故选C． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 7. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 8. 如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（　 　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，过C作CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴∠1=∠BAC=45°， ∴∠ABC= 同理可得，∠ACB=67.5°， ∴△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB． 作CD⊥AB，垂足为D，则CD=1． ∵sin∠A=， ∴AC= ∴S△ABC=×AB×CD=， ∴折叠后重叠部分的面积为cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 9. 已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项． 【详解】解：将点，代入一次函数表达式， 得，解得， 即，且， 观察各选项图象，选项、满足， ∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡， 选项A中满足，选项B满足， 故判断出选项满足题意要求， 故选：A． 10. 如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，则“”内的运算符号为___________（填“”“”“”“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．分别计算与进行加、减、乘、除运算的结果，与比较，判断等式成立的运算符号． 【详解】加法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 减法：不是同类二次根式，不能合并，且数值不相等． 乘法：，等式成立． 除法：，等式不成立． 故答案为：×． 13. 如图是园区内一小山的等高线示意图，小明在处测得处的仰角为30度，小明从山脚处爬山到山顶处需要爬_____． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意画出示意图，再根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半进行解答即可． 【详解】解：作示意图如下： 由题意得，， ∴， 故答案为：100． 14. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当时， 原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，解得，此时方程有实数根； 当时，则， 解得， 综上所述，， 故答案为：． 15. 已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是， ∴联立与的方程组的解为：， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，内接于，半径为r，于点D，若，，则________（用含的代数式表示），________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质．解题的关键是取劣弧的中点，利用圆周角定理推出是直径，得到；再利用相似三角形和勾股定理求出． 【详解】解：（1）取劣弧的中点，连接， ， ，即平分， ， ，即， ， ， ， 由同弧所对圆周角相等，， 在中，， 是圆的直径， ， ， 是等腰三角形，， 故答案为：； (2)于点, ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：. 三、解答题（共66分） 17. 计算: 【答案】6 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、算术平方根和绝对值进行化简，再进行加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，再移项合并同类项，解出的值，再对所求的根进行检验即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以，得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； （2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； （3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： 【小问2详解】 解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： 【小问3详解】 解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 20. 阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是_______；二级近似值是_______ （2）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【小问1详解】 解：，与最接近， 的最初近似值为； 的二级近似值是； 【小问2详解】 解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 21. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】（1）①，；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解； （2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． 【小问2详解】 解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 22. 如图，在菱形中，与相交于点O．以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E．分别以点E，D为圆心，一定长度为半径画弧，两弧相交于点F，连结，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得出，，由作图知为的中垂线，可知，即可得出 ，则可得出； （2）由菱形的性质得出，，由相似三角形的性质得出，进一步求出正弦值即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 由作图知为的中垂线， ， ， ． 【小问2详解】 解：由作图知为的中垂线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 由（1）可知 ， 又， ， ∴， ． 又， ∴， 解得（负值已舍去）， ． 23. 已知二次函数（b常数）的图像与x轴交于点 （1）求二次函数的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． （3）平行于y轴的直线l分别与直线和抛物线交于M，N两点．若平移直线l，可以使点M，N都在x轴上方，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出b的值，然后把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）分和两种情况讨论，数形结合构造关于m的不等式求解即可. 【小问1详解】 解：二次函数经过， ∴， 解得， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴当时，y有最大值为4， 当时，y有最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：设二次函数与x轴另一交点为B， 当时，， 解得，， ∴， 设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴， 观察图象知，当时，， ∵N在x轴上方， ∴， 当，即时， ∵M在x轴上方， ∴当时，， 解得， ∴； 当，即时， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，m的取值范围为或. 24. 如图，点F是正方形边上一点，过F作，交于G，连接是的中点，过H作交于点E． （1）连接，求证：． （2）若 ①若，，求的长； ②连接，求的值．（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可知垂直平分，根据正方形的性质和已知条件即可证明； （2）①根据已知条件结合（1）利用勾股定理即可求出的长； ②设，根据，可得，，，证明可得，利用锐角三角函数即可得结果． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，是的中点， ∴垂直平分， ， 又正方形关于轴对称， ， ∴； 【小问2详解】 解：①在正方形中，，，， ，，， 点是的中点， ， 如图，过点作的垂线交于点M， 由（1）知， ，则垂直平分线段， ∵， ∴为等腰直角三角形，则， 在中，，则， 在中，； ②设， ∵， ， 由（2）可知，， 由（2）知，则， ∴． ，，， ， ， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $