精品解析：浙江杭州市杭州中学2025-2026学年九年级下学期月考数学试卷（3月）

2025—2026学年浙江省杭州中学九年级（下）月考 数学试卷（3月份） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 的相反数是（　　） A. B. - C. D. - 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的概念即可得到答案. 【详解】根据相反数的概念：和为0的两个数互为相反数，所以的相反数为，故答案选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，解本题的要点在于熟知和为0的两个数互为相反数. 2. 根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约为7920000人，比2024年减少了1620000人．其中7920000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题关键是熟练掌握科学记数法的概念：将一个数表示成的形式，其中，为整数，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，在中，点分别在边上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．先求出的长，根据平行线分线段成比例得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴， ， 的面积是2， ∴的面积为18， 故选：D． 7. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 8. 如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（ ）． A. 60 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：是的一半．， ， ， ， ， 扇面的周长为． 9. 已知点，为抛物线上的两点，其中，．下列说法错误的是（ ） A. 当时，都有 B. 当时，都有 C. 当时，都有 D. 当时，存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据每一选项，画出函数图象，逐一判断求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，，，如图①， 此时， 当时，两个区间同时向左移动，仍有， 故A选项正确，不符合题意； 当时，，，如图②， 此时， 故C选项错误，符合题意； 当t＞1时，两个区间同时向右移动，仍有， 故B选项正确，不符合题意； 当时，，，如图③， 存在， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C 10. 如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A. 点在函数图象上 B. C. D. 自变量x的取值范围为 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，再利用求出解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， 设， 为沿斜边上的中线， ， 平移距离为， ，， 由题意得：，， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， , ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， , ， 最高点为， ， ， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 点在函数图象上， A选项的结论正确； 抛物线的对称轴为直线，，， ， B选项的结论不正确， 又最高点为，， ，自变量的取值范围为， C，D选项的结论不正确． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根的定义计算，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数减法运算即可． 【详解】解：． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式， 移项得，即； 解不等式， 移项得，即， 两边除以3得； 故不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用，先设袋子中黑球的个数为，又因为一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，得，再结合解得，最后验算，即可作答． 【详解】解：设袋子中黑球的个数为， ∵一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为， ∴ 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴袋子中黑球的个数为， 故答案为：4 14. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边， 棱上标有刻度，水面与交于点M，读得．如图2将容器放在斜坡上，此时水面分别与，交于点N，， 读得．若容器厚度不计，则_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，求角的正切值，平行线的性质，过点N作于点H，先根据水的体积不变，求出，证明四边形为矩形，得出，，求出，根据平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过点N作于点H，如图所示： 长方体密封容器中水的体积为：， ∵2将容器放在斜坡上，容器中水的体积不变， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则_____． 【答案】6或 【解析】 【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，则，由矩形的性质得出， ，，得出，，证明，得出，求出，证出，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，求出，即可得出答案； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，如图所示： 则， 四边形是矩形， ，，， ，， 点是的中点， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， 是等腰三角形且底角与相等，， ，， ， ， ， ， ； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示， 由①得：，， 设，则， 在中，， 解得：，即， 综上所述，MN的长为6或. 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共66分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）原式利用负指数幂，立方根和算术平方根的法则化简，再计算加减法； （2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果． 【详解】解：（1） = = =4； （2） = = 【点睛】此题考查了实数的混合运算，整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， ，， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 的长为2． 20. 某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； （3）求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； （4）请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 【答案】（1）50 （2）见解析 （3） （4）600 【解析】 【分析】（1）根据样本容量频数所占百分数，合理选择计算即可． （2）计算出国学社的学生数，完善统计图即可． （3）根据扇形统计图的意义计算即可． （4）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是 ． 【小问2详解】 解：参与国学社的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：参与科学制作社团所在扇形的圆心角度数为． 【小问4详解】 解：（名）， 答：全校有600名学生报名参加篮球社团活动． 21. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当时，，解得， 又， 加热一次，水温不低于的时间为． 22. 综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是_______，后积是_______； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）______________________________， 【推理算法】记两位数分别是和，且，其中， （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22，36；（2），2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的乘法，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22，36； （2）． 故答案为：，2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么． 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴ ． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）． （1）判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围． 【答案】（1）个；理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可； （3）根据函数图像的顶点在第二象限，且过点列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故函数图像与轴的交点个数为个； 【小问2详解】 函数图像的对称轴为直线， ，则， 则函数表达式为， 当时，有， 解得或， ， ，； 【小问3详解】 将代入函数表达式得，则， ，故，解得， 则函数表达式为， 由（1）知，函数图像与x轴的交点个数为个且图像的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即， 则函数图像的对称轴， 解得， ， ， ， 即的取值范围为． 24. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． （3）若，过点D作于点H，求的值．（用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）直线与相切，理由见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进行求证； （3）由题意易得，则有，然后根据比的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 由题意得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定、平行线的性质、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定、平行线的性质、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年浙江省杭州中学九年级（下）月考 数学试卷（3月份） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 的相反数是（　　） A. B. - C. D. - 2. 根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约为7920000人，比2024年减少了1620000人．其中7920000用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点分别在边上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 7. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（ ）． A. 60 B. C. D. 9. 已知点，为抛物线上的两点，其中，．下列说法错误的是（ ） A. 当时，都有 B. 当时，都有 C. 当时，都有 D. 当时，存在 10. 如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A. 点在函数图象上 B. C. D. 自变量x的取值范围为 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 计算：________． 12. 不等式组的解集是______． 13. 一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_________． 14. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 15. 图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边， 棱上标有刻度，水面与交于点M，读得．如图2将容器放在斜坡上，此时水面分别与，交于点N，， 读得．若容器厚度不计，则_________________ 16. 如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则_____． 三、解答题（共8小题，共66分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程：． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______； （2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据； （3）求科学制作社团对应的扇形的圆心角度数； （4）请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动． 21. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 22. 综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是_______，后积是_______； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）______________________________， 【推理算法】记两位数分别是和，且，其中， （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）． （1）判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围． 24. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）求证：． （3）若，过点D作于点H，求的值．（用含m，n的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $