精品解析：河北邯郸市第二十五中学2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷

邯郸市第二十五中学2025－2026学年第二学期 初三第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 结余元 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 6. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. “四骏齐发藏千年文脉密码”--2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋 势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 12. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 二、填空题：（本大题共4个小题，13－15每小题3分，16题每空2分，共13分） 13. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 14. 分解因式：______． 15. 图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 16. 对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”． （1）最小的“两头和数”是_______； （2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共71分．解答时请写出必要的演推过程） 17. 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． （1）求的值； （2）若，求x的值． 18. 已知不等式． （1）求它的非负整数解； （2）若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 19. 已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： （1）； （2）． 20. 本学期开学初，九年级一名体育老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐的测试（满分为7分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． 根据统计图解答下列问题： （1）本次测试的学生中，得6分的学生有多少人？ （2）本次测试的平均分是多少分？中位数是多少？众数是多少？ （3）通过一段时间的训练，体育老师对50名女生的仰卧起坐进行第二次测试，测得成绩的最低分为5分，且得6分和7分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得6分、7分的学生各有多少人？ 21. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 22. 数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； （2）求电流关于可变电阻的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 23. 如图1和图2，在中，，．点是线段延长线上一点，以点为圆心，以为半径，在的左侧作半圆，交于点，交于点． （1）如图1，点是半圆上一点（可与点，重合），当时，求线段长的最大值和最小值； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①如图2，当点恰好落在上时，求的长； ②在①的条件下，求半圆与线段所围成的封闭图形的面积． （3）在（2）的条件下，若半圆与的边相切于点，直接写出弧的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第二十五中学2025－2026学年第二学期 初三第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 结余元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示，根据某人某天的微信支付账单，可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元，判断出正确选项． 【详解】解：由微信支付账单可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元， 正确的选项是． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 6. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 7. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 8. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 9. “四骏齐发藏千年文脉密码”--2026年春晚吉祥物共有四位成员，分别命名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，与马年春晚“骐骥驰骋 势不可挡”的主题完美呼应，满含马到成功、前程似锦的美好寓意．正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的结果有2种， ∴这两张卡片正面恰好是“骐骐”和“驰驰”的概率为． 故选：B． 10. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，熟悉三角函数的定义并灵活运用是关键． 过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 故选：B． 11. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 12. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ） A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 二、填空题：（本大题共4个小题，13－15每小题3分，16题每空2分，共13分） 13. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键． 要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， 则被开方数 解不等式， 得， 那么取，满足 故答案为：（答案不唯一）． 14. 分解因式：______． 【答案】3 【解析】 【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 15. 图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 16. 对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”． （1）最小的“两头和数”是_______； （2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则的最大值为______． 【答案】 ①. 132 ②. 24 【解析】 【分析】（1）根据题意：设百位上的数字为，个位上的数字为，则，，十位上的数字为，由的最小取值为，即可求解， （2）根据题意列式，选出符合条件的，的值，即可求解， 本题考查了，数字规律的探索，整式的应用，解题的关键是：根据题意列式． 【详解】解：（1）设百位上的数字为，个位上的数字为，则，，十位上的数字为， ∴的最小取值为，的最小取值为，的最小取值为， ∴最小的“两头和数”是：132， （2）∵是“两头和数”， ∴，， 根据题意得：是整数， ∴的个位数字是5或0，且满足，， 当，时，的个位数字是0，， 当，时，的个位数字是5，， 当，时，的个位数字是0，， 当，时，的个位数字是5，， 综上所述，的最大值为24， 故答案为：132；24． 三、解答题：（本大题共8个小题，共71分．解答时请写出必要的演推过程） 17. 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数m和n，规定．如：． （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及一元一次方程，正确理解题意是解题关键． （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义列出方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：． 18. 已知不等式． （1）求它的非负整数解； （2）若该不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】（1）或或或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，非负整数解的确定等知识点，掌握一元一次不等式的解法和方程的代入求解是解题的关键． （1）先解不等式得到解集，再在解集中找出所有非负整数； （2）先确定不等式的最大整数解，将其代入方程，解关于的一元一次方程． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 它的非负整数解为或或或． 【小问2详解】 解：由（1）可知该不等式的最大整数解为． 把代入方程，得， 解得． 19. 已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【小问1详解】 证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20. 本学期开学初，九年级一名体育老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐的测试（满分为7分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． 根据统计图解答下列问题： （1）本次测试的学生中，得6分的学生有多少人？ （2）本次测试的平均分是多少分？中位数是多少？众数是多少？ （3）通过一段时间的训练，体育老师对50名女生的仰卧起坐进行第二次测试，测得成绩的最低分为5分，且得6分和7分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得6分、7分的学生各有多少人？ 【答案】（1）25人 （2）本次测试的平均分是分，中位数是6分，众数是6分 （3）第二次测试中得6分的学生有15人，得7分的学生有30人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图、平均数、中位数、众数、一元一次方程的应用，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用得6分的学生所占百分比乘以50，即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）由题意得，第二次测试中得5分的人数为（人），设第二次测试中得6分的学生有人，则得7分的学生有人，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， 答：得6分的学生有25人． 【小问2详解】 解：得5分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得4分和得7分的学生人数都为10人， ∴本次测试的平均分（分）， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∴中位数（分）， 由统计图可知，得6分的学生人数最多， ∴众数是6分， ∴综上所述，本次测试的平均分是分，中位数是6分，众数是6分． 【小问3详解】 解：由题意得，第二次测试中得5分的人数为（人）， 设第二次测试中得6分的学生有人，则得7分的学生有人， 由题意得，， 解得：， 则， 答：第二次测试中得6分的学生有15人，得7分的学生有30人． 21. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 22. 数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． （1）当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； （2）求电流关于可变电阻的函数表达式； （3）为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练读懂题意，准确求出函数解析式为解题关键． （1）设可变电阻与物体质量之间的关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入求出结果即可； （2）设电流I与电阻之间的关系式为，再代入求解即可； （3）由题意可知当取得最小值时，x取得最大值，将代入中求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； 【小问2详解】 解：电流与总电阻成反比例， 又， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； 【小问3详解】 解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 23. 如图1和图2，在中，，．点是线段延长线上一点，以点为圆心，以为半径，在的左侧作半圆，交于点，交于点． （1）如图1，点是半圆上一点（可与点，重合），当时，求线段长的最大值和最小值； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段． ①如图2，当点恰好落在上时，求的长； ②在①的条件下，求半圆与线段所围成的封闭图形的面积． （3）在（2）的条件下，若半圆与的边相切于点，直接写出弧的长． 【答案】（1）；； （2）①；②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系得到当点与点重合时，取得最大值，当点与点重合时，取得最小值，结合勾股定理即可求解； （2）①根据题意，．在中，，，代入计算即可求解； ②如图2，当点刚好落在上时，设半圆与的另一个交点为，连接，根据扇形面积的计算即可求解； （3）根据半圆与相切点的位置，分类讨论，结合弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 在中，， ∴, 如图1， 当点与点重合时，取得最大值，； 当点与点重合时，取得最小值，； 【小问2详解】 解：①如图2， 当点刚好落在上时，， ， 在中，，， ， ②如图2，当点刚好落在上时，设半圆与的另一个交点为，连接， 由①的解答可知，，， 为等边三角形， ， ∴． 【小问3详解】 解：或． 如图3，半圆与相切于点，连接， ， ， 弧长． 如图4，半圆与相切于点，连接， ， ， 弧长． 综上，所求弧的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，点与圆的位置关系，弧长公式的计算，切线的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论是关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线l的解析式为 （2）①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可；②参考①思路联立解析式即可；③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∵点的坐标为， ∴点B的横坐标为， 将代入得，， ∴点B的坐标为， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵直线的解析式为，即第二、四象限的角平分线， ∴直线为第一、三象限的角平分线，解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴，则， ∴点B的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $