第18章 矩形、菱形与正方形（复习讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第18章 矩形、菱形与正方形（复习讲义） 1 能准确复述矩形、菱形、正方形的定义，并强调其与平行四边形的从属关系. 2 能完整写出并辨析矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质; 3 能准确指出矩形、菱形、正方形的对称性（中心对称与轴对称），并能画出或描述其对称轴的位置与数量; 4 能独立推导矩形、菱形的判定定理（如：通过对角线相等证明一个平行四边形是矩形），并能清晰阐述证明思路。 5 能规范书写几何证明过程，在判定一个四边形为矩形或菱形时，必须明确写出前提条件; 6 能熟练运用菱形面积公式 （对角线乘积的一半）进行计算，并能解释该公式的几何来源; 7 能系统梳理并运用正方形的两种判定路径：路径一：先证矩形，再证一组邻边相等（或对角线垂直）；路径二：先证菱形，再证一个内角为直角（或对角线相等）。 8 能解决与折叠相关的综合问题：能识别折叠（轴对称）的本质，能利用“对应边相等、对应角相等”的性质，结合勾股定理建立方程求解线段长度或角度。 9 能分析并解决简单的动态几何问题：例如，在给定条件下（如点在线段上运动），能判断何时形成的四边形为矩形、菱形或正方形，并能通过计算或证明说明理由。 10 能综合运用本章知识解决实际应用问题（如设计、测量等），能将实际情境中的量（如距离、面积）转化为几何模型，并选择合适的性质或判定方法进行求解。 知识点 重点归纳 常见易错点 矩形 1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 矩形的性质：（1）边：矩形的对边平行且相等；（2）角：矩形的四个角都是直角；（3）对角线：矩形的对角线相等。（4）对称性：是轴对称图形，是中心对称图形； 3. 矩形的判定：（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形； 1、矩形定义理解偏差 易错表现：认为"有一个角是直角的四边形就是矩形"； 2、矩形性质记忆不完整：只记"对角线相等"，忽略"互相平分"；认为"对角线相等的四边形是矩形"；忽略四个角都是直角； 3、矩形判定条件选择错误：忽略"平行四边形"前提； 菱形 4. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 5. 菱形性质：（1）边：四边相等，对边平行；（2）角：对角相等；（3）对角线互相垂直平分；（4）对称性：是中心对称图形，是轴对称图形； 6. 菱形的判定：（1）四边相等的四边形是菱形；（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 1、菱形与平行四边形关系混淆 易错表现：认为"一组邻边相等的四边形是菱形"； 2、对角线性质记忆混乱： 错误：认为菱形对角线相等； 3、面积公式选择不当： 常用错：S = 底×高（虽对，但计算复杂） 4、对称轴数量： 错误：认为菱形有4条对称轴 5、 菱形判定条件选择错误： 忽略"平行四边形"前提；与矩形判定混淆； 正方形 7. 正方形的性质：（1）边：四边相等，对边平行；（2）角：四个角是直角；（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分；（4）对称性：是轴对称图形，是中心对称图形。 8. 正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形. 1、正方形定位不清 易错表现：不清楚正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形 2、将正方形性质套用到矩形或菱形上； 3、正方形判定路径混乱：判定正方形时条件叠加错误 题型一 矩形的性质 【例1】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为 ． 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 题型二 矩形的判定 【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【变式2-1】如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【变式2-2】如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 题型三 直角三角形 【例3】如图，在中，是边的中线，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3-1】如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，则它斜边上的中线为 cm． 题型四 菱形的性质 【例4】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 题型五 菱形的判定 【例5】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形为菱形． 【变式5-1】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 【变式5-2】已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 题型六 正方形的性质 【例6】下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 【变式6-2】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 题型七 正方形的判定 【例7】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在格点（小正方形顶点）上．判断四边形的形状，并说明理由． 基础巩固通关测 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 3．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 4．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 8．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 10．在中，，，，则边上的中线长是 ． 11．如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 12．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 13．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 14．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 15．如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 16．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 能力提升进阶练 1．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 3．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为 ． 4．如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 5．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 6．（1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 矩形、菱形与正方形（复习讲义） 1 能准确复述矩形、菱形、正方形的定义，并强调其与平行四边形的从属关系. 2 能完整写出并辨析矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质; 3 能准确指出矩形、菱形、正方形的对称性（中心对称与轴对称），并能画出或描述其对称轴的位置与数量; 4 能独立推导矩形、菱形的判定定理（如：通过对角线相等证明一个平行四边形是矩形），并能清晰阐述证明思路。 5 能规范书写几何证明过程，在判定一个四边形为矩形或菱形时，必须明确写出前提条件; 6 能熟练运用菱形面积公式 （对角线乘积的一半）进行计算，并能解释该公式的几何来源; 7 能系统梳理并运用正方形的两种判定路径：路径一：先证矩形，再证一组邻边相等（或对角线垂直）；路径二：先证菱形，再证一个内角为直角（或对角线相等）。 8 能解决与折叠相关的综合问题：能识别折叠（轴对称）的本质，能利用“对应边相等、对应角相等”的性质，结合勾股定理建立方程求解线段长度或角度。 9 能分析并解决简单的动态几何问题：例如，在给定条件下（如点在线段上运动），能判断何时形成的四边形为矩形、菱形或正方形，并能通过计算或证明说明理由。 10 能综合运用本章知识解决实际应用问题（如设计、测量等），能将实际情境中的量（如距离、面积）转化为几何模型，并选择合适的性质或判定方法进行求解。 知识点 重点归纳 常见易错点 矩形 1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2. 矩形的性质：（1）边：矩形的对边平行且相等；（2）角：矩形的四个角都是直角；（3）对角线：矩形的对角线相等。（4）对称性：是轴对称图形，是中心对称图形； 3. 矩形的判定：（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形； 1、矩形定义理解偏差 易错表现：认为"有一个角是直角的四边形就是矩形"； 2、矩形性质记忆不完整：只记"对角线相等"，忽略"互相平分"；认为"对角线相等的四边形是矩形"；忽略四个角都是直角； 3、矩形判定条件选择错误：忽略"平行四边形"前提； 菱形 4. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 5. 菱形性质：（1）边：四边相等，对边平行；（2）角：对角相等；（3）对角线互相垂直平分；（4）对称性：是中心对称图形，是轴对称图形； 6. 菱形的判定：（1）四边相等的四边形是菱形；（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 1、菱形与平行四边形关系混淆 易错表现：认为"一组邻边相等的四边形是菱形"； 2、对角线性质记忆混乱： 错误：认为菱形对角线相等； 3、面积公式选择不当： 常用错：S = 底×高（虽对，但计算复杂） 4、对称轴数量： 错误：认为菱形有4条对称轴 5、 菱形判定条件选择错误： 忽略"平行四边形"前提；与矩形判定混淆； 正方形 7. 正方形的性质：（1）边：四边相等，对边平行；（2）角：四个角是直角；（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分；（4）对称性：是轴对称图形，是中心对称图形。 8. 正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形. 1、正方形定位不清 易错表现：不清楚正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形 2、将正方形性质套用到矩形或菱形上； 3、正方形判定路径混乱：判定正方形时条件叠加错误 题型一 矩形的性质 【例1】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点D作于点N，连接，点M为的中点，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，熟练掌握是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，在中得，由三角形中位线性质得． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点O，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式1-2】如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 题型二 矩形的判定 【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 题型三 直角三角形 【例3】如图，在中，是边的中线，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据是边的中线得出，结合各选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：在中，是边的中线，则 A. 如果，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果，则，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 那么，故D选项正确， 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵是边上的中线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，； ∴； 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，，则它斜边上的中线为 cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，且为斜边的中线， ∴， 故答案为：1． 题型四 菱形的性质 【例4】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 题型五 菱形的判定 【例5】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知四边形，在边上求作一点，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—角平分线和线段的垂直平分线，菱形的判定定理，解题的关键是掌握基本的尺规作图以及角平分线和线段垂直平分线的性质． 根据菱形的判定定理结合角平分线和线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求， 作的平分线，交于点，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形． 【变式5-1】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形. 【详解】证明：如图，    ∵， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 【变式5-2】已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．由四边形是平行四边形，即可得, 易证得, 可得, 即可证得四边形是平行四边形，又由, 即可证得四边形是菱形. 【详解】证明：四边形是平行四边形， , , , , 又, 四边形是平行四边形， , 是菱形. 题型六 正方形的性质 【例6】下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形和正方形的性质、轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：由于正方形和等腰直角三角形都是轴对称图形， 所以图形①④可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； ∴轴对称图形的个数是个 故选：B． 【变式6-1】如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【变式6-2】如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 题型七 正方形的判定 【例7】如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 【变式7-1】如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【变式7-2】如图，图中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在格点（小正方形顶点）上．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】正方形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，菱形与正方形的判定，掌握先通过勾股定理计算边长判断菱形，再用勾股定理逆定理判断直角，从而确定正方形是解题的关键． 连接对角线，用勾股定理计算四边形各边长度，先判断四边相等为菱形，再通过勾股定理逆定理判断有一个角为直角，从而确定四边形为正方形． 【详解】解：四边形是正方形． 理由：如图，连接． 由勾股定理，得，， ∴四边形是菱形． ， 是直角三角形，且， ∴四边形是正方形． 基础巩固通关测 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键． 根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴、， ， 在和中， ， ， ，是矩形的对角线， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 3．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 4．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 5．如图所示，四边形是菱形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由菱形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在菱形中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，关键是熟练应用性质解题；根据菱形的四条边都相等即可得到结论 ． 【详解】解： ∵菱形中，若， ∴， 故选：B ． 7．菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．设菱形的两条对角线交于点，不妨设，先根据菱形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点， ∵菱形的两条对角线的长分别为10和24， ∴不妨设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：C． 8．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 9．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 10．在中，，，，则边上的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形斜边上中线的性质求解；根据直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求出斜边的长度，再计算其一半． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴边上的中线长为：， 故答案为：． 11．如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可证明，即可得到． 【详解】证明：在矩形中， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 12．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 13．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， 即． 14．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． （1）根据题意作； （2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形． 15．如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质；证即可解答． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 16．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 能力提升进阶练 1．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若 ，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 本题主要考查矩形的判定，平行四边形、菱形的性质，菱形面积的求法，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法． 【详解】（1）证明：四边形是矩形．理由如下： ∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 4．如图，在菱形中，，将菱形一部分沿翻折，点恰好落在的延长线上处． (1)求证：； (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． （1）由折叠的性质可得，由菱形的性质可得，推出，易证是等腰三角形，结合，得到，进而求出，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，，根据菱形的性质易证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵在菱形中，， ∴， ∵点恰好落在的延长线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得，， ∵在菱形中，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴菱形的边长为． 5．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 6．（1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】初步感知：，见解析；类比探究：，见解析；拓展应用： 【分析】初步感知：先证明、C、M在同一直线上，再证明，得出，根据，得出； 类比探究：在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； 拓展应用：在上取点M，连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：初步感知：∵将绕着点D逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴、C、M在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比探究：，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 拓展应用：在上取点M，使连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $