四川省射洪中学校2025-2026学年高一下学期强实班第一次综合素质测评数学试题

高2025级强实班高一下期第一次综合素质测评 数学参考答案 1-8. BADC CBAB 9.AB 10.AC 11.ACD 11.选项A，因为，所以，， ， 所以时，取得最小值，A正确； 选项B，， ，当且仅当等号成立，B错； 选项CD，， ，，又，所以， 作，，，，以为圆心，为半径作圆，如图，当是圆的优弧上点时，即时，满足， 再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆， 当是圆的优弧上点时，即时，也满足， 当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足， 是等边三角形，因此，两圆半径都是2， 由图可知即的最小值是2，最大值是，CD都正确， 15.（1）由，且为纯虚数，则，解得， 所以，故......................6分 （2）由，则 整理可得，可得，解得....................................13分 16.（Ⅰ）由可知，，从而，..................3分 因为，所以， 因为，，解得，.........5分 所以．...................7分 （Ⅱ）因为，所以，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由为（异于，）上一点，从而设，则，，所以，，因此，因此，与的夹角为................................................................................................15分 17.解法一：（1）因为，即，，，所以. 在中，由余弦定理得， 即，解得.......................................................7分 （2）在中，，因为，则， 又，有， 所以.中，，， 由正弦定理得，，即，得.....12分 因为，所以，， 所以或，解得或...............................................15分 解法二：（2）证明：因为，所以.取中点E，连结，所以.设，因为，所以. 在中，. 以下同解法一. 18.（1）...........................4分； （2）..........................10分 （3）如图，设，则， 在中，由正弦定理得可得， ，在中，，,，是锐角三角形，所以所以当时，可得的最大值是....................17分 19.(1) ①在 中，由正弦定理得， ，有 ...........................................2分 ，，又.......4分（不交代扣1分） ②由①知，则 的三个角都小于 120°， 由“点”定义知：，..................5分 设 由得 ,整理得,......7分 所以 ..................9分 (2) 法一：由，结合正弦定理 有，均为三角形内角，（舍） 或，即，......................12分 由点为的“点”，得， 设, 由, 得, 由余弦定理得 , , , 相加得，得 ， 整理得,........................................15分 于是,当且仅当,即时取等号. 又 因为 而 解得,所以实数的最小值为. ...................................17分 (3) 法二：建系：由，结合正弦定理 有，均为三角形内角，（舍） 或，即， .....................12分 由点为的“点”，得， 不妨设,,,则， 由，得 .......... .................15分 有，，当且仅当等号成立 有 而 解得,所以实数的最小值为....................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高一下期强实班第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2．“”是“向量，，则”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3. △ABC中，,，则（ ） A. B. C. D. 4.下列说法正确的是（ ） A.棱台的侧面都是等腰梯形 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 5. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ） A. B. C. D. 7. 已知是△ABC内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 8．已知△ABC是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则 10.已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．，则△ABC为等腰三角形 11. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若 则 的最大值为 C. 若向量满足则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知侧棱长为的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_______． （12题图） （13题图） 13. 如图所示，在△ABC中，，且点为边的中点且，则的最大值为 . 14. O为△ABC的外心，若，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． ▲ 16.（本小题15分）已知菱形的边长为2，为对角线（异于，）上一点． （1）如图1，若，，设，．试用基底表示，并求； （2）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角． ▲ 17.（本小题15分）在中，，点D在边上，，且. （1）若的面积为，求； （2）设，若，求 ▲ 18. （本小题17分）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：________. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC周长的取值范围 （3）若△ABC为锐角三角形，作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值. ▲ 19.（本小题17分）我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时, 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. (1)若，则 ①求 ； ②若，设点为的“点”, 求； (2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值. ▲ 高一强实班数学 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $