甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年第二学期高一数学期中模拟考试试卷

临潭县第二中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知向量a=(3,2),b=(-6,x),若a/1b,则实数x=() A.-9 B.-4 C.4 D.9 【答案】B 【详解1白题设及石6，则令号可斜=4 2.cos75°cos45°+sin75sinm45°=() A.3 B.- C. D.-3 2 2 【答案】A 【i详解】由两角差的余弦公得式cos75c0s45°+sim75°sm45°=c0s(750-459=c030°- 2 3.(2+3i)的虚部为() A.-3i B.-3 C.-2 D.3 【答案】B 【详解】因为i2(2+31)=-(2+31)=-2-3i,所以i2(2+3i)的虚部为-3 4.已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=2√3，b=2√2，A=60°， 则角B=() A.45°或135 B.135 C.604 D.45 【答案】D 【详解】在三角形ABC中，a=2√3，b=2√2，A=60°， 由张定理得-：2容-怎由8，得A>,所以B45 a 2w3 5.若tan a=3,则sin2a-2cos2a=() B. 2 C. 6 D. 6 5 5 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解 【详解】由sin2a-2cos'a=2 sin0sa-2c0s2e_2tana-2 sin2a+cos2a tan'a+1 因为tana=3,所以上式sim2a-2cos2a=2tana-2-6-2_2 tana+19+15,故选：B, 6.在三角形ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB,AC两边（或其延长线） 分别交于点B,R,设店=正，AC=A下：>0，y>0),则上+2的最小值为() x V 435 B.1+√2 C. +2 2 D.2+2 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得x,y的等量关系式，再利用基本不等式求得上+二的 最小值 【详解】因为D是8C的中点，所以0-6+号C证+宁之AP, 由于gD,F三点共线，所以+片=1，其中x>0,y>0, 子引后*卖层5 2xy 当且仅当 }+宁=1，即x=2W2-2,y=4-2W2时等号成立所以+2的最小值为2+V5 x>0,y>0 B E 7.如图，某建筑物的高度BC=300,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角 为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度P9为() 45 609 B A.100m B.200m C.300m D.200√2m 【答案】B BC 300 【详解】由题意，在Rt△4BC中，∠AC=60,BC=30,所以4C- =2005 sin60° 2 在△AC0中，∠A0C=45°+15°=60°，∠QAC=180°-45°-60°=75°， 所以∠AC0=180°-75°-60°=45°， 2005x 由正弦定理， Q-4C→A0-4Cm45° 2=200√2 sin45°sin60° sin60° 3 2 又△1Pe为等腰直角三角形，所以P0=40:im45°=2005x5 200故选项B正确， 8.已知a∈ 4’2 4 A. 岭 B. D √3 3 3 3 3 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系得到cosa-sima= 3， 再由两角和的余弦公式即可求 解 【详解】因为cos+ 4 4 4 (cosa-sina)'=cos2a-2sin acosa+sin2a=1-sin2a, 代入sin2a= 相(oa-maf-又u司 ππ 4'2 得sina>cosu, 因此cosw-sima=-号，代入得：cca+4 √2 =cosacos--sinasin-= 4 4 2 (cosa-sina)= 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，向量OZ,OZ,对应的复数分别为名，二2，则下列选项正确的是() A.Z,Z2间的距离为210 B. 互为纯虚数 C.22在复平面内对应的点位于第一象限 D.若z作5，则-zx=35 【答案】ABD 【分析】利用两点距离公式判断A,根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的 性质判断B、C,由z=√5的几何表示，利用=-三的几何意义求最值判断D 【详解】由图知Z(-2,4),Z,(-4,-2),则1Z乙，=V-2+4)2+4+2)2=4+36=20,A对， 由题意与=-2+，=4-21，则三=2+-24-22-0--1为纯虚数 524-2i2+i(2+i)(2-i)5 B对，二52=(-2+4i)(-4-21)=41-21)(2+1)=4(4-31)=16-12i,对应点坐标为(16，-12)不在第一 象限，C错，令z=x+yi,(x,y∈R),|z=V5,则x2+y2=5,即圆心为原点且半径为5， 而-=V(x+2)2+(y-4)2表示点(2,4)到圆x2+y2=5上的点的距离， 由点(-2,4)到圆心的距离为√(0+2)2+(0-4)2=2√5， 所以点(-2,4)到圆x2+y2=5上的点的距离最大值为35，即2-zs=3V5,D对： 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,则下列说法正确的是( A.若A>B,则sinA>sinB B.在△ABC中，A=75°，b=23,c=2√2，则三角形面积为3+V3 C.若△ABC为钝角三角形，则d+b2>c2 D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 【答案】ABD 【详解】对于A,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得sinA>sinB,故A正确： 对于B,因为 sim75"=si血(45+30'）=sim45cos30+cos45sim30=V2x5+V2×1-V6+V2 22T224 所以8e数n=分2525,6-35，故B正福 4 对于C,因为A4BC为钝角三角形，当C为钝角时，coC-口+c<0,则ad+B<c, 2ab 故C错误：对于D,因为A=30,b=4,a=3,由0=b sinA sinB 1 即sinB=bsin4_ 4× 2-2 sin4=-1,又30<B<150,所以8有两解， a 3 3 2 所以△ABC有两解，故D正确 11.已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是() A.若P为△ABC的垂心，且ABAC=3,则AP.AC=3 B.若PA+2PB+3PC=0,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为3：1 1 C.若AP AB AC 则动点P的轨迹经过△ABC的外 AB cos B 2 4C cosC 2 心 D.若A=xA+AC,且x+y=号，则△MBC的面积是△ABC面积的号 【答案】ACD 【分析】A选项，将AP转化为AB+BP,然后求数量积：B选项，3PC将拆成PC+2PC, 然后根据线性运算得到PM=-2P,然后求面积比即可；C选项，由题意得 NP- AB A丽c0 osBACc0sC,然后根据NP.C得到NPLBC,即可得到动点P的轨迹经过 AC 十 △ABC的外心；取AB中点F,利用共线向量定理的推论推理判断D; 【详解】选项A.AP·AC=(AB+BP)AC=AB·AC=3,故A正确： 选项B.设AC中点为M,BC中点为N, PA+2PB+3PC=PA+PC+2PB+2PC =2PM+4PN=0, Sac=2,故B 即PM:-2PN,所以点P为中线N靠近点N的三等分点，所以8，)SC 2 错：选项C设Bc中点为N,则示-（而+aC), 结合题设亚=亚-AN=币-号巫+4c AB AC AB cosB ACcosC 所以严BC=AB.BC, AC.BC AB cos B AC cosC =BBt-0,所以P1BC, 又BC的中点为N,所以P在BC的中垂线上，所以动点P的轨迹经过△ABC的外心，故C 正确：选项D.设M为AD中点，AM=xAB+yAC,所以2AM=2xAB+2yAC, 即AD=2B+2yAC,由x+y=7,所以2+2y=1,所以D,C,B三点共线， 所以Sc三)Sc·故D正确 M D 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知a=(1,m,3),b=(n,2,6),且a/1b,则m+n=】 【答案】3 【分析】根据两向量平行，则坐标成比例，列出方程，即可得答案。 【详解】因为a/16,所以ā=6，即(1，m,3)=2(n,2,6)=(,22,62), [1=n = 2 得{m=2,解得n=2,所以m+n=3。 3=6元 l=1 13.若cos28- 3 5 则sin2 6+π 【答案】 【分析】展括20：写引0，结合=台角公式。传导公式化商求解即可 【详解1因为o时20-到-所以209o2-到+-c-子 所以sin6 1-c0s28+2π 3 4枚答案为： 2 14.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有 铁丝网不能通过.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离，现可测得A,B两点间 的距离为100m,∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°.则P,Q两棵树 和A,P两棵树之间的距离分别为 m 75 445 60 B 100m 【答案】50W2,50W6 【详解】在△PAB中，∠APB=180°-(75°+60)=45°， 由正弦定理得AP、100 sin60=sin45P=506. 在△QAB中，∠AB2=90°，∠QAB=45°，∴A0=100N2. 在△AP2中，∠PAQ=75°-45°=30°， 由余弦定理得Pg=(50W6)+1002-2×505x1005c0s30°=5000， ∴.P0=V5000=50√2. 因此，P,Q两棵树之间的距离为50v2m,A,P两棵树之间的距离为50√6m. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5l-14)i (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围。 【答案】(1)7或-2： (2)(-2,3)(5,7) 【分析】(1)根据复数的虚部为0求解即可； (2)根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】(1)因为复数z是实数，所以m2-5m-14=0,解得m=7或=-2： 所以实数m的值为7或-2： m2-8m+15>0 (2)因为复数z表示的点在第四象限，所以 m2-5m-14<01 (m-3)0-5)>0 即 0m-7)0m+2)<0'解得-2<m<3或5<m<7, 所以实数m的取值范围为(-2,3)U(5,7) 16.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,C@A=c. 1求： (2)若c=ma+nb,求实数m,n的值； (3)若M为线段BC靠近点B的三等分点，求点M的坐标 【答案】(1)√65 (2)m=-1,n=-1 3)1,-2) 【分析】(1)利用向量的坐标运算结合模长公式求解即可. (2)根据向量的坐标运算与表示，求得a+nb=(5-6,-5-3m,结合c=a+nb,列 出方程组，即可求解： (3)根据题意，得到BM=(-2,-1),设M(x,),列出方程组，即可求解 【详解】(1)因为C(-3,-4),A(-2,4),所以c=CA=1,8), 由模长公式得=F+8=v65 (2)因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,4),且AB=a,BC=五，CA=c, 所以a=(5,-5),b=(-6,-3),c=1,8),所以ma+b=(5-6n,-5-3n), 5-6n=1 因为c=ma+b,所以可得 -51-3n=8'解得m=-1,n=-1 (3)因为线段BC的三等分点为M(点M靠近点B), 所以BM=1BC=(-2,-1),设Mk,),即(K-3,y+)=(-2,-1), x-3=-2 得到 y+1=-,解得x=1y=-2,即M点的坐标为Q-2) 17.(15分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且m=(c-2b,@, i=(cosA,cosC),⊥n. (1)求角A的大小 (2)若BA.AC=-8,a=4V3,求b+c的值. 【答案】0)A=号 (2)b+c=4V6 【分析】(1)由向量垂直得到m”=0,代入，再由正弦定理，诱导公式求解即可. (2)由BA.AC=-8,得到bC=16,再由余弦定理求解即可 【详解】(1)因为m⊥，所以mn=0,即(c-2b)cosA+acosC=0,由正弦定理可得， c=2R·sinC,b=2R.sinB,a=2R·sinA, 所以(c-2b)cosA+acosC=0→2R.(sinC-2sinB)cosA+2R.sin AcosC=0,即 sin CcosA-2sin B cosA+sin AcosC=0=sin CcosA+sin AcosC=2sin B cosA, sin(A+C)=2sin BcosA, 因为A+B+C=π，所以A+C=π-B,所以sin(π-B)=2 sin BcosA→sinB=2 sin B cosA, 因为B为△ABC内角，所以A,B∈(0，π)，siB≠0，所以1=2cosA→cosA= 2,所以A= 3 (2)因为BA.AC=-8,所以BAAC=c.b.cos(π-A)=-8,解得bc=16,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA, 因为a=45,所以48=b+e-2c-2a号48=b+e广-3c,解得0+e-96,解特 b+c=46 18.(17分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①√5cosA(c cos B+bcosC)+asin A=0; ②cosB=2c+b 2a; ③tanA+tanB+tanC+√3 tan BtanC=0. 已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c. (1)求A: (2)设AD是△ABC的内角平分线，边b,c的长度是方程x2-8.x+6=0的两根，求线段AD的 长度 【答案】(1)选择任意条件①②③，得4=2”严 3 (②4 【分析】(1)选择条件①，利用正弦定理可得答案；选择条件②，利用余弦定理可得答案： 选择条件③，利用两角和的正切展开式化简可得答案 (2)利用韦达定理和三角形的面积公式计算可得答案， 【详解】(1)选择条件①：因为V3cosA(ccos B+bcosC)+asin A=0, 由正弦定理，得V3cosA((sin C cos B+sin BcosC)+sin2A=0, 所以V3 cosAsin(B+C)+sinA=0,即V3 cos AsinA+sim2A=0,又sinA>0, 所以V3cosA+sinA=0,解得tanA=-V3,又A∈(0，元，所以A=2 3 选择条件②：c0sB-62C,由余弦定理可得口+c-公_b+上 2a 2ac 2a 化简整理得b2+c2-a2=-bc,所以cosA=+c-a=-1 2bc 2 因为A∈(0，)，所以A=2 3 选择条件③：.tan(B+C)= i-tan Btan C,又tan(B+C)=tan(π-A)=-tan4, tan B+tan C tan B+tan C ∴.-tamA= tan A+tan B+tanC=tanAtan BtanC, 1-tan B tan C 又tanA+tanB+tanC+√3 tan BtanC=0,所以√3 tan BtanC=-tan Atan B tanC,临潭县第二中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知向量a=(3,2),b=（-6x),若ā/1B,则实数x=() A.-9 B.-4 C.4 D.9 2.cos75°c0s45°+sin75°sin45°=() A.3 2 C. D.、3 2 3.(2+3i)的虚部为() A.-3i B.-3 C.-2 D.3 4.已知ab,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=23,b=2√2，A=60°， 则角B=() A.45°或135 B.135 C.604 D.45 5.若tan=3,则sin2a-2cos2ax=(） A号 B号 c.-6 5 D. 5 6.在三角形ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB,AC两边（或其延长线） 分别交于点，R设丽=，4C-F>0>0),则上子的录小值为() B.1+2 D.2+2 7.如图，某建筑物的高度BC=300m,一架无人机2上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角 为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度P2为() ) 15 45 609 D A.1001m B.200m C.300m D.200√2m 5 π 8.已知x∈人，)，sin2a三g,则cosa+h =() 4 A.-② B.② C.3 D.3 3 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.如图，向量OZ,OZ,对应的复数分别为，二2，则下列选项正确的是() -4 -2 A.Z,Z2间的距离为2√10 B. 为施盛数 C.二z2在复平面内对应的点位于第一象限 D.若z=5,则2-2ls=35 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,则下列说法正确的是( A.若A>B,则sinA>sinB B.在△ABC中，A=75°，b=23,c=2√2，则三角形面积为3+√3 C.若△ABC为钝角三角形，则d2+b2>c2 D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 11.已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是() A.若P为△ABC的垂心，且AB·AC=3,则APAC=3 B.若PA+2PB+3PC=0,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为3：1 C.若AP 1 1 AC,则动点P的轨迹经过△ABC的外心 D.若AM=xAB+yAC,且x+y=号，则△MBC的面积是△ABC面积的 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分。共15分。 12.已知a=(1,m,3),b=(n,2,6),且a/1b,则m+n= 13.若9-到}则m0写到 14.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有 铁丝网不能通过.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离，现可测得A,B两点间 的距离为100m,∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°.则P,Q两棵树 和A,P两棵树之间的距离分别为 m. 75 445 60B 100m 四、解箸题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16.(15分)己知A(-2,4)B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c ①)求： (2)若c=ma+nb,求实数m,n的值； (3)若M为线段BC靠近点B的三等分点，求点M的坐标. 17.(15分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,且i=(c-2b,a), i=(cosA,cosC),m⊥. (1)求角A的大小： (2)若BA.AC=-8,a=4W3,求b+c的值. 18.(17分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①√3cosA(ccos B+bcosC)+asin A=0; ②cogB=2C+b 2a ③tanA+tanB+tanC+√3 tan Btan C=0. 已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c., (1)求A: (2)设AD是三角形ABC的内角平分线，边b,c的长度是方程x2-8x+6=0的两根，求线段 AD的长度. 19.（17分)已知a=(5sinx,cosx),b=(cosx,cosx). 「ππ (1)若a6=1,且x∈车4求x的值： (2)设f(x)=a.b,求f(x)的周期及单调减区间. 临潭县第二中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 2．（    ） A． B． C． D． 3．的虚部为（    ） A． B． C． D．3 4．已知分别为三角形ABC的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．在三角形ABC中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若，则 10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．在 中， ，，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，，，则有两解 11．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若，且，则的面积是面积的 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则______. 13．若，则__________. 14．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（15分）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 17．（15分）在三角形ABC中，角的对边分别为，且，，． (1)求角的大小； (2)若，求的值． 18．（17分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①； ②； ③． 已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．________． (1)求A； (2)设是三角形ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程的两根，求线段的长度． 19．（17分）已知，． （1）若，且，求的值； （2）设，求的周期及单调减区间． 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2025-2026学年第二学期 高一数学期中考试模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【详解】由题设及，则，可得. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两角差的余弦公得式. 3．的虚部为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以的虚部为. 4．已知分别为三角形ABC的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】在三角形ABC中，， 由正弦定理得，由，得，所以. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式，故选：B. 6．在三角形ABC中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为. 7．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以.故选项B正确. 8．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的平方关系得到，再由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为 又， 代入，得，又，得， 因此，代入得： . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D. 【详解】由图知，则，A对， 由题意，，则为纯虚数，B对，，对应点坐标为不在第一象限，C错，令，，则，即圆心为原点且半径为， 而表示点到圆上的点的距离， 由点到圆心的距离为， 所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对. 10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．在 中， ，，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，，，则有两解 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B， 因为， 所以，故B正确； 对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误；对于D，因为，，，由， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故D正确. 11．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】A选项，将转化为，然后求数量积；B选项，将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C选项，由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；取AB中点F，利用共线向量定理的推论推理判断D； 【详解】选项A.，故A正确； 选项B.设中点为，中点为， ， 即，所以点为中线靠近点的三等分点，所以，故B错；选项C.设中点为，则， 结合题设. 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确；选项D.设为中点，，所以， 即，由，所以，所以，，三点共线， 所以．故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则______. 【答案】3 【分析】根据两向量平行，则坐标成比例，列出方程，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 得，解得，所以. 13．若，则__________. 【答案】 【分析】根据，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以.故答案为： 14．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数，所以，解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 16．（15分）已知，，，设，，. (1)求； (2)若，求实数，的值； (3)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算结合模长公式求解即可. （2）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 由模长公式得. （2）因为，且， 所以，所以， 因为，所以可得，解得. （3）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以，设，即， 得到，解得，即点的坐标为. 17．（15分）在三角形ABC中，角的对边分别为，且，，． (1)求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直得到，代入，再由正弦定理，诱导公式求解即可. （2）由，得到，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即，由正弦定理可得，，，， 所以，即 ，所以， 因为，所以，所以， 因为为内角，所以，，所以，所以. （2）因为，所以，解得，由余弦定理可得， 因为，所以，解得，解得. 18．（17分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①； ②； ③． 已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．________． (1)求A； (2)设是的内角平分线，边b，c的长度是方程的两根，求线段的长度． 【答案】(1)选择任意条件①②③，得 (2) 【分析】（1）选择条件①，利用正弦定理可得答案；选择条件②，利用余弦定理可得答案；选择条件③，利用两角和的正切展开式化简可得答案. （2）利用韦达定理和三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）选择条件①：因为， 由正弦定理，得， 所以，即，又， 所以，解得，又，所以. 选择条件②：，由余弦定理可得， 化简整理得，所以， 因为，所以. 选择条件③：，又， ，即， 又，所以， 又为内角，所以，所以，所以. （2）因为边的长度是的两根，所以， 因为，所以， 所以，所以. 19．（17分）已知，． （1）若，且，求的值； （2）设，求的周期及单调减区间． 【答案】，． 【分析】（1）结合向量的数量积利用三角恒等变换即可求解； （2）先求的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 即 ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ （2）由，∴． 的单调减区间为， ∴ ， ∴ ， ∴ 原函数单调减区间为． 学科网（北京）股份有限公司 $