专题9.1.1 正弦定理（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题9.1.1 正弦定理 教学目标 1．理解并掌握正弦定理内容，能熟练运用定理进行边角互化与计算。 2．会根据已知条件判断三角形解的个数，掌握分类判断方法。 3．牢记三角形面积公式，能灵活选用公式求面积。 4．能综合运用正弦定理与面积公式解决简单解三角形问题。 教学重难点 重点：正弦定理的边角互化、三角形面积公式的应用。 难点：已知两边及一对角，判断三角形解的个数。 知识点1正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①，，; ②; ③ 【即学即练】 1．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理可知， 设， 所以，所以，所以的形状是直角三角形， 故选：B 2．在中，，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理得，即，解得，又，故或， 当时，，为直角三角形；当时，，为等腰三角形. 故选：B. 知识点2判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 【即学即练】 3．在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个． 【答案】3(答案不唯一) 【详解】解：要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足： 代入，,得， 所以，. 因此，可以取3(也可取2到4之间的任意数） 故答案为：3(答案不唯一) 4．在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】法一：如图，，，要使三角形存在且唯一，则. 法二：由正弦定理，得到， 又，则， 因为三角形存在且唯一，所以当时，角存在且唯一． 所以， 又，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 【即学即练】 5．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】C 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 6．莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等边三角形的面积为，扇形面积为， 则对应的弓形面积为， 所以该勒洛三角形的面积为. 故选：B. 题型01 正弦定理解三角形 【例1】在中角所对的边分别是，若，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理，得，又，所以. 【例2】在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【答案】A 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 【变式1-1】在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 【变式1-2】在中，已知．则______． 【答案】/ 【详解】在中，由正弦定理，可得： 因为，由二倍角公式得， 所以代入，得： 因为，故， 所以，即. 【变式1-3】在中，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 若已知两角一边，则解题步骤为：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 若已知两边一角，则解题步骤为：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 题型02 三角形解的个数判断 【例3】在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 【例4】在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 【答案】C 【详解】中，，，， 由正弦定理得，即，可得， 根据，且仅一个解时，或， 即或，结合，解得或. 【变式2-1】在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 【变式2-2】（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 【变式2-3】在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 在中，以为例． （1）若或，则三角形有一解；（2）若，则三角形有两解； （3）若，则三角形无解．nn 题型03 三角形的面积问题 【例5】在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，. 【例6】在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【详解】因为，，， 所以. 又D是的中点，所以． 故答案为：. 【变式3-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3-2】如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为， 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 【变式3-3】在中，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）（1）由，得， 此时，可得， 于是． （2）由，得， 在中由正弦定理得，可得， 故的面积． 题型04 多边形解三角形 【例7】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 【例8】一个幼儿园老师为学生布置了一项作业，需要每位同学晚上回家后将20个半径为10厘米的圆形纸片按照下图的方式裁剪若干个弓形，其中裁去部分为正三角形，并将这些弓形两两拼接为一个柳叶形状的纸片，则全班20位同学得到的所有柳叶模型的面积合计约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所有柳叶模型的面积即为所有圆面积减去所有圆的内接正三角形的面积， 设正三角形边长为，由正弦定理知，其中米， 所以， 所以一个圆减去其内接正三角形的面积为, 所以所有柳叶模型的面积合计为（）. 【变式4-1】在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 【变式4-2】已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 【变式4-3】已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 【答案】 【详解】，则， 根据正弦定理，则， 所以外接圆的面积为. 故答案为： 题型05 外接圆问题 【例9】已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 【例10】在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在中，，因为为的中点，所以， 两边平方得， 解得，所以. （2）因为平分，所以， 又， 即， 即，可得， 所以. 【变式5-1】如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 【答案】3 【详解】在中，，，，， ， 由正弦定理得，得到，所以. 故答案为： 【变式5-2】45°和30°的直角三角板拼成如图所示的平面四边形，连接交于，记和的面积分别为，，则______．    【答案】 【分析】 【详解】解法一 ： 设． 在中，由，得． 在中，由，，得． 记，在中，由正弦定理得． 在中，由，得． 由得， 化简得，故，， 所以． 解法二： 由解法一知，． 如图1，取的中点，连接，易知． 由得，又，所以， 则． 又，所以， 所以．    解法三： 以所在直线分别为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则直线：，令，得，， 所以，， 所以．    故答案为：. 【变式5-3】如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理，得，所以. （2）在中，，而，， 则，又，因此， 在中，， 所以. 题型06 正弦定理的边角互化 【例11】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 【例12】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【答案】(1)； (2)；BC边上的高为． 【分析】 【详解】（1）由题意得，可得， 根据A为三角形的内角，可得， 所以，可得； （2）由正弦定理及，可得， 因为，所以均不为0， 所以，即，所以， 所以 ， 由正弦定理得，则，解得， 所以中，BC边上的高. 【变式6-1】在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 【变式6-2】在，内角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得 可得， 所以，即，可得. 【变式6-3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求. (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据正弦定理：（为外接圆半径）， 可得 ，， 因为，所以. 即. 又，所以，即. 又因为，得. （2）因为，即，所以， 又因为，将代入可得： ，即，，， 因为，所以是锐角，则，那么， 又因为，，所以，则， 因为， 因为，，，所以， 根据三角形面积公式，将，，代入可得： . ①边化角的条件：当等式或分式中的边均为一次项或存在齐次边关系时，可将边替换为对应角的正弦函数； ②角化边的条件：当问题涉及角的余弦或需要结合余弦定理时，将角的正弦转化为边的关系更直接 题型07 判断三角形形状 【例13】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，因此， 两边平方得，又，则，， 所以是直角三角形. 【例14】在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 【变式7-1】在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 【变式7-2】在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为钝角三角形． 故选：D （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． （2）注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等． 一、单选题 1．在中，角所对的边分别为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 则， 即． 则外接圆的半径为. 3．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】A 【详解】∵，，且，， ∴，， ∴，即. ∵， ∴，. ∵， ∴， 则的面积是. 故选：A 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 6．在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，且为锐角，则 ，又， 则，. . 由正弦定理，， ， 则，则. 故选：B    7．在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 又因为, 所以, 所以， 因为， 所以， 又因为 所以， 故选：C． 二、多选题 8．已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，， 因为， 所以或． 故选：CD 9．在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】AD 【详解】由，可得， 因为，可得， 整理得，所以或， 当时，因为，所以， 又因为，所以，可得； 当时，． 故选：AD. 三、填空题 10．重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 【答案】 【详解】由题意知，，则， 在中，， 故，则， 在中，， 故. 11．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 【答案】 【详解】，移项可得，即， 因为，所以. 由，则， 所以，利用正弦定理得， 又因为，则. 12．在中，若，则的值__________. 【答案】3 【详解】由，结合正弦定理边化角可得： ， 由，可得：， 由，，可得：， 显然，（若，则，都是钝角，不符合题意） 又， 所以， 解得：， 故答案为：3 四、解答题 13．在中，角所对的边分别为，. (1)求的值； (2)若，求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理可得. （2）若，则， 由余弦定理，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以的面积. （3）因为，即，则， 可得， 则， ， 所以 14．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 15．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1.1 正弦定理 教学目标 1．理解并掌握正弦定理内容，能熟练运用定理进行边角互化与计算。 2．会根据已知条件判断三角形解的个数，掌握分类判断方法。 3．牢记三角形面积公式，能灵活选用公式求面积。 4．能综合运用正弦定理与面积公式解决简单解三角形问题。 教学重难点 重点：正弦定理的边角互化、三角形面积公式的应用。 难点：已知两边及一对角，判断三角形解的个数。 知识点1正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的_________的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是_________的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①_________，_________，_________; ②; ③_________ 【即学即练】 1．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，，，，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 知识点2判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 _________ _________ _________ 解的个数 一解 _________ 一解 一解 无解 【即学即练】 3．在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个． 4．在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 知识点3三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）__________________； （3）是内切圆的半径). 【即学即练】 5．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 6．莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型01 正弦定理解三角形 【例1】在中角所对的边分别是，若，则角（    ） A． B． C． D． 【例2】在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【变式1-1】在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，已知．则______． 【变式1-3】在中，已知，则__________. 若已知两角一边，则解题步骤为：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 若已知两边一角，则解题步骤为：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 题型02 三角形解的个数判断 【例3】在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例4】在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 【变式2-1】在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 【变式2-2】（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【变式2-3】在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 在中，以为例． （1）若或，则三角形有一解；（2）若，则三角形有两解； （3）若，则三角形无解． 题型03 三角形的面积问题 【例5】在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【例6】在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【变式3-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在中，． (1)求； (2)若，求的面积． 题型04 多边形解三角形 【例7】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 【例8】一个幼儿园老师为学生布置了一项作业，需要每位同学晚上回家后将20个半径为10厘米的圆形纸片按照下图的方式裁剪若干个弓形，其中裁去部分为正三角形，并将这些弓形两两拼接为一个柳叶形状的纸片，则全班20位同学得到的所有柳叶模型的面积合计约为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【变式4-2】已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-3】已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 题型05 外接圆问题 【例9】已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【例10】在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【变式5-1】如图，在四边形中 ，．，， 则_______． 【变式5-2】45°和30°的直角三角板拼成如图所示的平面四边形，连接交于，记和的面积分别为，，则______．    【变式5-3】如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 题型06 正弦定理的边角互化 【例11】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【例12】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求及BC边上的高． 【变式6-1】在中，角的对边分别是，若，则__________． 【变式6-2】在，内角的对边分别为，若，则______． 【变式6-3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求. (2)若，，求的面积. ①边化角的条件：当等式或分式中的边均为一次项或存在齐次边关系时，可将边替换为对应角的正弦函数； ②角化边的条件：当问题涉及角的余弦或需要结合余弦定理时，将角的正弦转化为边的关系更直接 题型07 判断三角形形状 【例13】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例14】在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式7-1】在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式7-2】在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式7-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 （1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． （2）注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等． 一、单选题 1．在中，角所对的边分别为．若，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 3．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，点在边上且．若，则（　　） A． B． C． D． 7．在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 三、填空题 10．重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 11．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 12．在中，若，则的值__________. 四、解答题 13．在中，角所对的边分别为，. (1)求的值； (2)若，求的面积； (3)求的值. 14．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 15．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $