专题10 三角函数（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 三角函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 三角函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角函数的定义 题型二：解直角三角形的实际应用——俯仰角 题型三：解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 题型四：解直角三角形的实际应用——方位角 题型五：解直角三角形的实际应用——其他 题型六：三角函数与其他的综合 必备知识 知识1 锐角三角函数的定义 知识2 特殊角的三角函数值 知识3 解直角三角形的核心定理 命题预测 命题 透视 命题形式： 山东中考三角函数题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比稳定。基础考点以选择、填空小题为主，难度偏低；实际应用为必考解答题，常结合综合实践情境设问，同时常与圆、四边形等结合命制中档压轴小题，难度梯度清晰。 命题内容： 核心考查两大方向，一是锐角三角函数定义、特殊角函数值、解直角三角形定理，常与圆、矩形、相似、反比例函数综合；二是解直角三角形实际应用，高频考查俯仰角、坡度坡角、方位角模型，贴合生活测量场景，侧重数学建模与运算能力考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解三角形 T10：求正弦值+圆； T15：求边长； T21:四边形+求边长； T21：圆+求边长 T10：求正弦值； T22：圆+求长 T15：求正弦值； T23：圆+求长 T23：圆中求长； T21：四边形求长 三角函数的实际应用 T22：俯仰角+综合实践； T17：坡度坡角 T9：俯仰角； T19：其他应用+综合实践 T21：俯仰角； T20：其他应用 T7：其他应用； T22：俯仰角+综合实践 T10：坡度坡角； T18：方位角 命题预测 1. 考情预测 预计山东中考三角函数考查分值、题型保持稳定，基础题聚焦锐角三角函数定义、特殊角函数值，常与圆、四边形、反比例函数综合命制；解答题仍以解直角三角形实际应用为核心，高频考查俯仰角、坡度坡角、方位角模型，侧重综合实践情境下的数学建模与运算能力考查。 2. 备考建议 备考需夯实核心定义与公式，吃透四大实际应用模型，强化几何综合题辅助线构造能力，注重实际问题向解直角三角形模型的转化，熟练运用方程思想解题，规范答题步骤，提升运算精准度。 题型一 三角函数的定义 紧扣直角三角形中角与对边、邻边、斜边的对应关系，非直角三角形需作高构造直角三角形；结合圆、矩形、反比例函数的综合题，先通过几何性质推导直角与边长关系，再套用定义式，常用设参法结合勾股定理列方程求解。 混淆角对应的对边与邻边，非直角三角形直接套用三角函数定义；记错特殊角函数值，忽略互余角三角函数关系的转化，勾股定理计算出错。 1．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 题型二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 过观测点作水平线 / 铅垂线，将俯仰角转化为直角三角形内角，重点处理双直角三角形共边模型，以公共边为桥梁，用正切函数表示对应边长，结合线段和差列方程求解，规范标注已知角与边长。 误将俯仰角对应到错误内角，混淆视线与水平线、铅垂线的关系；双直角三角形中公共边的等量关系建立错误，忽略参考数据的取值精度要求。 4．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 5．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 题型三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 牢记坡度 i = 铅直高度 / 水平宽度 = tan 坡角，将坡面转化为直角三角形，设铅直高度为参数，用坡度表示水平宽度，结合勾股定理、三角函数求解；多段坡面问题需分段构造直角三角形，分别计算后汇总。 混淆坡度与坡角，误将坡度当作角度计算；错把坡面长度当作水平宽度或铅直高度，多段坡面问题中忽略水平、铅直方向的线段和差关系。 7．（2022·山东菏泽·中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：） 8．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． (1)求该滑雪场的高度h； (2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 9．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 题型四 解直角三角形的实际应用——方位角 以观测点为原点作南北、东西方向线，将方位角转化为直角三角形内角，优先构造含特殊角的直角三角形，利用平行线性质推导等角，结合三角函数、勾股定理求边长；航行问题先根据速度、时间计算路程，再建模求解。 方位角概念混淆，如北偏东误作东偏北，错标角度位置；多观测点问题中坐标系建立错误，直角三角形内角对应关系出错，忽略航行时间与路程的换算。 10．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 11．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    12．（2023·山东聊城·中考真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    题型五 解直角三角形的实际应用——其他 核心运用转化思想，先从综合实践、生活测量等实际问题中抽象出几何图形，非直角图形通过作高分割为多个直角三角形，以公共边为纽带建立等量关系，明确已知量与待求量后，选用合适的三角函数列方程求解。 无法将实际情境转化为数学模型，辅助线构造不当无法建立直角三角形；忽略题目中隐含的垂直、平行关系，方程建立与求解不符合实际场景限制。 13．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    14．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 15．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 题型六 三角函数与其他的综合 先利用圆、矩形、折叠、相似等几何性质，推导直角、等角、线段等量关系，锁定目标角所在的直角三角形；无直接边长的题型，设参数表示边长，结合勾股定理、相似比建立方程，再用三角函数定义求解。 无法通过几何性质找到目标角的等角或直角，误在非直角三角形中使用三角函数；折叠、圆综合题中忽略隐含的全等、垂直性质，参数设取不当导致方程求解复杂。 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 17．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 18．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 知识1 锐角三角函数的定义 sinA=，cosA=，tanA= 知识2 特殊角的三角函数值 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识3 解直角三角形的核心定理  三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2（∠C=90°）  两锐角关系：∠A+∠B=90°  边角关系：上述锐角三角函数的定义式 1．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·三模）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 3．（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（2025·山东潍坊·三模）如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为_______． 5．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 6．（2025·山东聊城·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 7．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 8．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 9．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 10．（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 11．（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 12．（2025·山东青岛·二模）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 13．（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 14．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 15．（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 16．（2025·山东青岛·三模）矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)当，求的值？ (2)设的面积为，求与的关系式． (3)连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 三角函数（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角函数的定义 题型二：解直角三角形的实际应用——俯仰角 题型三：解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 题型四：解直角三角形的实际应用——方位角 题型五：解直角三角形的实际应用——其他 题型六：三角函数与其他的综合 必备知识 知识1 锐角三角函数的定义 知识2 特殊角的三角函数值 知识3 解直角三角形的核心定理 命题预测 命题 透视 命题形式： 山东中考三角函数题型覆盖选择、填空、解答三类，分值占比稳定。基础考点以选择、填空小题为主，难度偏低；实际应用为必考解答题，常结合综合实践情境设问，同时常与圆、四边形等结合命制中档压轴小题，难度梯度清晰。 命题内容： 核心考查两大方向，一是锐角三角函数定义、特殊角函数值、解直角三角形定理，常与圆、矩形、相似、反比例函数综合；二是解直角三角形实际应用，高频考查俯仰角、坡度坡角、方位角模型，贴合生活测量场景，侧重数学建模与运算能力考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解三角形 T10：求正弦值+圆； T15：求边长； T21:四边形+求边长； T21：圆+求边长 T10：求正弦值； T22：圆+求长 T15：求正弦值； T23：圆+求长 T23：圆中求长； T21：四边形求长 三角函数的实际应用 T22：俯仰角+综合实践； T17：坡度坡角 T9：俯仰角； T19：其他应用+综合实践 T21：俯仰角； T20：其他应用 T7：其他应用； T22：俯仰角+综合实践 T10：坡度坡角； T18：方位角 命题预测 1. 考情预测 预计山东中考三角函数考查分值、题型保持稳定，基础题聚焦锐角三角函数定义、特殊角函数值，常与圆、四边形、反比例函数综合命制；解答题仍以解直角三角形实际应用为核心，高频考查俯仰角、坡度坡角、方位角模型，侧重综合实践情境下的数学建模与运算能力考查。 2. 备考建议 备考需夯实核心定义与公式，吃透四大实际应用模型，强化几何综合题辅助线构造能力，注重实际问题向解直角三角形模型的转化，熟练运用方程思想解题，规范答题步骤，提升运算精准度。 考点一 三角函数 题型一 三角函数的定义 紧扣直角三角形中角与对边、邻边、斜边的对应关系，非直角三角形需作高构造直角三角形；结合圆、矩形、反比例函数的综合题，先通过几何性质推导直角与边长关系，再套用定义式，常用设参法结合勾股定理列方程求解。 混淆角对应的对边与邻边，非直角三角形直接套用三角函数定义；记错特殊角函数值，忽略互余角三角函数关系的转化，勾股定理计算出错。 1．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 过观测点作水平线 / 铅垂线，将俯仰角转化为直角三角形内角，重点处理双直角三角形共边模型，以公共边为桥梁，用正切函数表示对应边长，结合线段和差列方程求解，规范标注已知角与边长。 误将俯仰角对应到错误内角，混淆视线与水平线、铅垂线的关系；双直角三角形中公共边的等量关系建立错误，忽略参考数据的取值精度要求。 4．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 5．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 6．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【答案】 【分析】考查解直角三角形的应用，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N，根据在和中利用三角形的正切得到，求出的值，同理求出的值，然后根据计算解答即可． 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 同理：，即， 解得：， ∴． 题型三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 牢记坡度 i = 铅直高度 / 水平宽度 = tan 坡角，将坡面转化为直角三角形，设铅直高度为参数，用坡度表示水平宽度，结合勾股定理、三角函数求解；多段坡面问题需分段构造直角三角形，分别计算后汇总。 混淆坡度与坡角，误将坡度当作角度计算；错把坡面长度当作水平宽度或铅直高度，多段坡面问题中忽略水平、铅直方向的线段和差关系。 7．（2022·山东菏泽·中考真题）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】约为1.9米 【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， 则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt△ADC中，∠ADC=30°， 则CD=≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米）， 答：BD的长约为1.9米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． (1)求该滑雪场的高度h； (2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 【答案】(1)235m (2)甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3 【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【详解】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图： 根据题知∠ABF=∠DAB=30°， ∴， ∵BC的坡度i=1：2.4， ∴BE：CE=1：2.4， 设BE=tm，则CE=2.4tm， ∵BE2+CE2=BC2， ∴t2+（2.4t）2=2602， 解得t=100（m），（负值已舍去）， ∴h=AF+BE=235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m； （2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3， 根据题意得：， 解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解，也符合题意， ∴x+35=50， 答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程． 9．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001） 11.310 0.003 14.744 0.005 【答案】不得小于12度 【分析】根据题意可得DF＝AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： DF＝AB＝0.15（米）， ∵斜坡AC的坡比为1：2， ∴＝，＝， ∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米）， ∵ED＝2.55米， ∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米）， 在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝， 查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°， ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键． 题型四 解直角三角形的实际应用——方位角 以观测点为原点作南北、东西方向线，将方位角转化为直角三角形内角，优先构造含特殊角的直角三角形，利用平行线性质推导等角，结合三角函数、勾股定理求边长；航行问题先根据速度、时间计算路程，再建模求解。 方位角概念混淆，如北偏东误作东偏北，错标角度位置；多观测点问题中坐标系建立错误，直角三角形内角对应关系出错，忽略航行时间与路程的换算。 10．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 11．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）    【答案】千米 【分析】过点作于点，由垂线段最短可得的长即为所求，先求出，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    由垂线段最短可知，的长即为所求， 由题意得：，千米， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，千米，千米， 千米， 在中，千米， 答：输油管道的最短长度是千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 12．（2023·山东聊城·中考真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为． 【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型五 解直角三角形的实际应用——其他 核心运用转化思想，先从综合实践、生活测量等实际问题中抽象出几何图形，非直角图形通过作高分割为多个直角三角形，以公共边为纽带建立等量关系，明确已知量与待求量后，选用合适的三角函数列方程求解。 无法将实际情境转化为数学模型，辅助线构造不当无法建立直角三角形；忽略题目中隐含的垂直、平行关系，方程建立与求解不符合实际场景限制。 13．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 14．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离为； (2)顶部线段的长为． 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 15．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 题型六 三角函数与其他的综合 先利用圆、矩形、折叠、相似等几何性质，推导直角、等角、线段等量关系，锁定目标角所在的直角三角形；无直接边长的题型，设参数表示边长，结合勾股定理、相似比建立方程，再用三角函数定义求解。 无法通过几何性质找到目标角的等角或直角，误在非直角三角形中使用三角函数；折叠、圆综合题中忽略隐含的全等、垂直性质，参数设取不当导致方程求解复杂。 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 知识1 锐角三角函数的定义 sinA=，cosA=，tanA= 知识2 特殊角的三角函数值 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识3 解直角三角形的核心定理  三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2（∠C=90°）  两锐角关系：∠A+∠B=90°  边角关系：上述锐角三角函数的定义式 1．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 2．（2025·山东济南·三模）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质可得，即得，进而由可得，即可求证； （）连接，，由锐角三角函数可得，即得，又由圆周角定理及等腰三角形的性质可得，即由得，得到，，即得，再利用勾股定理由解得即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：连接，， ∵在中，，， ， ， ∴， 为直径， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2025·山东聊城·三模）如图，平行四边形中，点E是对角线上的一点，连接，，且，若，，则四边形的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于，先证明，得到，再证明，得到，则四边形是菱形，得到，，在中， ，，，求出，，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B． 4．（2025·山东潍坊·三模）如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多变的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，连接，作于，取的中点，连接、，设正六边形的边长为，求出，，，最后再由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，取的中点，连接、， ， 设正六边形的边长为，由题意可得：，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴、均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是路灯的简易平面图．在地面E，F处测得灯管D的仰角分别为，．点A，E，F在同一条直线上，．求灯管D距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】灯管D距地面的高度约为 【分析】过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 6．（2025·山东聊城·三模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某山丘的高度，在D点测得山顶A的仰角为，沿着DC方向前进14米，在点E处测得点A的仰角为，测量报告如下表： 课题 测量某山丘的高度 成员 组长：╳╳╳ 组员：╳╳╳，╳╳╳，╳╳╳ 测量工 具 测角仪，米尺 测 量 示 意 图 测量数据 米，， 参考数据 ，≈，， 请根据图中测量数据，求出山丘的高度．（结果保留一位小数） 【答案】山丘的高度为米 【分析】过点作于点，设，利用三角函数分别在和中表示出和的长度，再根据米这一关系列出方程，进而求解出，即山丘的高度．本题主要考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握三角函数的定义（在直角三角形中，正切函数）并通过设未知数，利用线段间的关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，设， 在中， ∴， ∵， ∴中，-， ∵， ∴， 米， 答：山丘的高度为米． 7．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 8．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】(1)米 (2)小亮先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 9．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)闸门B没有打开，见解析． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再根据直角三角形中边、角关系解答即可． 根据、的长度即可求出斜坡的坡度； 过点作于点，设，则，利用勾股定理可以得到，根据，可得，解方程求出的值，即可得到：，如果车辆以的速度行驶即可通过，而识别系统需要，所以车辆以最高限速行驶到达点时，门没有打开． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 10．（2025·山东济南·二模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯    抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为．    任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 11．（2025·山东·二模）如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架长度为，且与墙壁所成夹角，壁灯吊杆长，与的夹角可调节．吊灯连接杆垂直于地面，． (1)如图2，当时，求灯口D与墙壁的距离； (2)如图3，现有一靠墙放置的学习桌与地面平行，其距离地面的高度为．为了日常使用方便，当与夹角调整至时，灯口D需距离桌面，求点A距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过点B作于点N，延长交于点M，在和中，分别利用正弦和余弦函数的定义求解即可； （2）如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，在中，利用三角函数的定义求得，在中，利用三角函数的定义求得，再结合图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点B作于点N，延长交于点M， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴． 答：灯口D与墙壁的距离． （2）解：如图：过点B作于点P，延长交于点R，交于点Q，则四边形为矩形， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：点距离地面的高度为． 12．（2025·山东青岛·二模）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】点到水平地面的距离约为 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线将复杂线段分解，利用三角函数和矩形性质计算各部分长度，再求和得到最终距离是解题的关键．通过作辅助线，将点到地面的距离分解为多个线段的和，利用三角函数和已知线段长度分别计算各部分，最终求和得到总距离． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，过点作垂足为，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 点到水平地面的距离约为． 13．（2025·山东临沂·三模）如图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到米）．、 （参考数据：） 【答案】安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；过作于．求解（米）．（米），证明四边形是矩形．可得，求解（米），再进一步求解即可． 【详解】解：过作于． 在中，， 则（米）． 在中，， 则（米）， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∵米， ∴米， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 14．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用参数法表示出中各边的长是解题的关键． 15．（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）由得到，则，得到，则，，由折叠得：，，由，，得到，则，即可证明结论成立； （4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，， ，，， ， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， ∵， ∴ ， 四边形是矩形， ，， ， ∴， 由折叠得：，， ，， ， ∴ ∴； （4），理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 16．（2025·山东青岛·三模）矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)当，求的值？ (2)设的面积为，求与的关系式． (3)连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，得到，求得，根据余弦定义得到，求得； （2）根据余弦定义得到，求出，根据∽，得到，求出，，得到，根据三角形面积公式得到， （3）①当平分时，设与交于点，判定≌，，过点作于点，判定∽，得到，求得，，得到，根据，得到，根据，，得到，得到，解得； 当平分时，根据∽，求出过点作于点，则，得到根据正切定义求出，，根据相似三角形性质得到，得到，即得． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得； （2），，， ， ，， ， ∽， ， ∴ ，， ； （3）存在．理由： 当平分时，设与交于点， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，，， ， ， ， ； 当平分时， ∽， ∴， 则 过点作于点， 则，，， ， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和相似三角形综合．熟练掌握矩形性质，相似三角形的判断和性质，二次函数性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解决问题的关键． 1 / 59 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