专题09 三角形与相似三角形（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 三角形与相似三角形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角形中的线段 题型二：三角形的内、外角 题型三：等腰、等边三角形的判定与性质 题型四：直角三角形的判定与性质 题型五：勾股定理及其逆定理 题型六：全等三角形的性质与判定 必备知识 知识1 三角形的基础概念 知识2 三角形的内外角 知识3 等腰、等边三角形 知识4 直角三角形 知识5 全等三角形 命题预测 考点二 相似三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：比与比例 题型二：相似三角形的判定与性质 题型三：相似三角形的实际应用 必备知识 知识1 平行线分线段成比例定理 知识2 相似三角形的判定定理 命题预测 命题 透视 命题形式：专题为山东中考数学必考核心内容，以选择、填空基础题和解答题综合题为主，基础题侧重单一知识点考查，压轴题常与函数、四边形、圆综合命题，分值占比稳定，难度梯度清晰。 命题内容： 三角形板块重点考查中线 / 高 / 角平分线性质、等腰 / 等边 / 直角三角形判定与性质、全等三角形综合，常结合折叠、动点、坐标规律命题；相似三角形为高频压轴考点，2021-2025 年每年均在解答题压轴位置出现，核心考查判定与性质综合，常结合几何模型、实际应用命题，注重几何推理与代数计算融合。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 三角形中的线段 T6：中线与面积； T7：中线、高与面积 T16：角平分线 T21：新定义、高； T23：新定义，三边 等腰、等边三角形 T24：等腰三角形的性质与判定； T13：等腰三角形性质求角； T12：等边三角形求顶点坐标 T17：等腰三角形的性质与判定； T18：等边三角形的性质+坐标规律 T12：等边三角形的性质+动点+函数； T17：等腰三角形的性质 T18：等边三角形的性质与判定； T14：等腰三角形的性质 直角三角形 T12：直角三角形的性质； T12：直角三角形的性质 T20：直角三角形的性质 T17：直角三角形的性质+勾股定理 T11：直角三角形的性质 全等三角形 T12：全等的判定与性质+函数； T7：全等的判定与性质综合 T14：全等的判定； T17：全等的判定与性质综合 T24：全等的判定与性质； T17：全等的判定与性质 T25：直角三角形全等的判定与性质 T14：全等的判定 相似三角形 T24：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 T9：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 命题预测 1. 考情预测 三角形板块仍以选择、填空基础题为主，聚焦特殊三角形性质、全等判定，常结合折叠、动点、坐标规律命题；相似三角形为必考压轴核心，近 5 年连年占据解答题压轴位，未来仍将与四边形、圆、函数综合考查，侧重几何模型应用与推理计算融合，实际应用题型也将常态化出现。 2. 备考建议 · 夯实三角形基础概念与相似核心定理，吃透 A 字型、一线三等角等高频模型；强化几何代数综合题训练，提升建模与运算能力；结合山东真题复盘易错点，规范证明步骤，分层突破基础题与压轴题。 · · · · · · · 插入 · · 生成一份关于三角形与相似三角形的中考备考计划 · 推荐一些关于三角形与相似三角形的中考真题 · 三角形与相似三角形的知识点在中考中的占比大概是多少？ 考点一 三角形 题型一 三角形中的线段 核心紧扣中线、高、角平分线、中位线四大线段的核心性质，中线用重心 2:1 分线段、平分面积的特性；中位线紧抓 “平行 + 第三边一半” 关系；角平分线用 “到角两边距离相等” 性质；高结合面积公式列等式，解题常构造倍长中线、中位线模型转化线段关系。 混淆重心分中线的比例，混用中线与中位线性质；钝角三角形高的位置判断失误，忽略高在三角形外的情况；应用角平分线性质时，遗漏 “垂直于角两边” 的前提条件。 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，垂足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型二 三角形的内、外角 以三角形内角和 180°、外角等于不相邻两内角和为核心，结合平行线、折叠、尺规作图背景，通过倒角建立角度等量关系；复杂题型可设未知数，利用角度和差关系列方程求解。 忽略外角 “不相邻内角” 的限定，误将相邻内角纳入计算；折叠问题中遗漏对应角相等的隐含条件，多角和差计算时符号出错；忽略三角形内角取值范围，出现角度和超 180° 的低级错误。 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 题型三 等腰、等边三角形的判定与性质 解题紧扣 “等边对等角、等角对等边” 及 “三线合一” 核心性质，等边三角形紧抓 60° 内角与三边相等特性；折叠、动点题型中，分类讨论腰与底、顶角与底角的不同情况，构造全等转化边角关系。 等腰三角形分类讨论不全，忽略锐角 / 钝角等腰三角形两种情况；非顶角平分线、底边上的中线 / 高，强行套用 “三线合一” 性质；等边三角形判定时，遗漏 “有一个角为 60° 的等腰三角形” 这一核心判定条件。 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 8．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 9．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时，______． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型四 直角三角形的判定与性质 核心运用两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30° 锐角对直角边为斜边一半的性质，结合中点、折叠、几何计算场景，通过边角转化建立线段关系；判定优先用两角互余或勾股定理逆定理。 忽略 “30° 角性质” 的直角三角形前提，非直角三角形强行套用；误用斜边中线性质，将直角边中线等同于斜边中线；判定时逻辑倒置，误用性质代替判定定理导致证明错误。 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 题型五 勾股定理及其逆定理 勾股定理用于直角三角形边长计算，折叠、网格、坐标系题型中，先构造直角三角形，再设未知数列方程求解；逆定理用于直角三角形判定，通过三边平方关系验证垂直，辅助几何综合题的垂直证明。 非直角三角形强行套用勾股定理；混淆斜边与直角边，平方和计算时错把直角边当斜边；逆定理应用时，仅通过边长近似值判定，未精准计算三边平方关系，导致垂直判定错误。 13．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 题型六 全等三角形的性质与判定 先梳理已知等边、等角，挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件，根据已知信息匹配判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），通过全等转化边角关系；证明题规范书写判定条件，复杂题型构造辅助线证全等。 误用 SSA 判定三角形全等，忽略 “夹角相等” 的核心要求；HL 定理超范围使用，非直角三角形强行套用；全等三角形对应边、对应角匹配错误，导致边角转化逻辑出错；证明时遗漏关键条件，步骤不规范失分。 16．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 17．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 18．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 知识1 三角形的基础概念 1. 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2. 三角形的 4 类重要线段 线段类型 定义 性质 中线 连接三角形一个顶点与对边中点的线段 ① 三条中线交于一点（重心），重心分中线为 2:1 的两段； ② 中线将三角形分成面积相等的两个三角形； ③ 中线长定理：三角形两边平方和 = 第三边中线平方与第三边一半平方和的 2 倍 高 从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段 ① 锐角三角形三条高在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在外部； ② 是三角形面积计算的核心要素，面积公式：S=​ah（a为底，h为对应高） 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 ① 角平分线上的点到角两边的距离相等； ② 三条角平分线交于一点（内心，内切圆圆心），内心到三角形三边距离相等 中位线 连接三角形两边中点的线段 三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 知识2 三角形的内外角 1. 内角性质：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 外角性质 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 定理：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③ 三角形的外角和等于360°。 知识3 等腰、等边三角形 1. 等腰三角形： 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，第三边为底边。 性质：等边对等角：等腰三角形的两个底角相等；三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 判定方法： 有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2. 等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 性质：三边都相等，三个内角都等于60°；三条中线、三条高、三条角平分线完全重合，满足三线合一； 轴对称性：有 3 条对称轴。 判定方法：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识4 直角三角形 1. 直角三角形： 定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 性质：直角三角形的两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 30°角特殊性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；反之，若一条直角边等于斜边的一半，其对的锐角为30°；满足勾股定理。 判定方法：有一个角是90°的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，该三角形为直角三角形； 若三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形。 知识5 全等三角形 判定定理 内容 适用范围 SSS（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 SAS（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 所有三角形 ASA（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 AAS（角角边） 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 HL（斜边、直角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 1．（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质列方程． 由且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得． 【详解】解：∵，且为边的中线， ∴， ∵将沿边上的中线平移得到， ∴， ∴， 则，即， 解得或（舍）， 故答案为：2． 2．（2025·山东菏泽·三模）在中，，则的长度可能是______．（写出一个符合要求的值即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：， 可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意； ∵，且， ∴可构成钝角三角形，故选项C符合题意； ∵，故选项D不能构成三角形，不符合题意； ∵，故选项A不符合题意； 故选：C． 4．（2025·山东淄博·二模）如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，，结合，利用证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，， ， ， ． 5．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 6．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论：平分；；的周长等于；是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可判断；通过相似三角形的判定与性质，解方程可判断；由垂直平分线的性质可判断；根据的结论求出、即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，即平分，故正确； 由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得或（舍去）， ∴，故正确； 的周长， ∵， ∴， ∵， 又因为， ∴， 即的周长，故正确； 由知，， ∴， 这就说明点不是线段的中点，故错误； 综上，正确， 故选：． 7．（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，垂足分别为E，F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明； （2）由（1）知，得，由可得出平分． （3）由，，求得，由平分，可得． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别为E，F，相交于点D， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， 又 ∴平分． （3）解：∵， ∴， 由（2）知，平分． ∴， ∴的度数是． 9．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 10．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 11．（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）由得到，则，得到，则，，由折叠得：，，由，，得到，则，即可证明结论成立； （4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，， ，，， ， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， ∵， ∴ ， 四边形是矩形， ，， ， ∴， 由折叠得：，， ，， ， ∴ ∴； （4），理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 12．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长的周长． 13．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 14．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二 相似三角形 题型一 比与比例 紧扣比例基本、合比、等比三大核心性质，以比例式与等积式互化为核心，黄金分割题型紧抓黄金比的定义式；平行线分线段成比例题型找准对应线段，常用设参数法、构造平行线转化比例关系，结合平行四边形、折叠背景列比例式求解。 混淆比例内项与外项，应用等比性质时忽略分母和不为 0 的前提；黄金分割中长短线段与整体的比例关系错位；平行线分线段成比例时对应线段匹配错误，误将非对应线段列入比例式。 1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 3．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 题型二 相似三角形的判定与性质 优先通过公共角、对顶角、平行线找等角，以 AA 判定为核心；无现成等角时，验证两边成比例且夹角相等或三边成比例，直角三角形用 HL 专属判定；性质应用紧抓相似比，结合 A 字型、8 字型、一线三等角等高频模型转化边角关系。 误用 SSA 判定三角形相似，忽略 “夹角相等” 的核心要求；面积比直接等同于相似比，遗漏平方运算；相似三角形对应顶点匹配错误，导致比例式列错；复杂综合题中遗漏隐含等角，判定逻辑不严谨。 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 5．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 6．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 题型三 相似三角形的实际应用 核心是将实际测量问题转化为相似三角形模型，高度测量优先构造标杆、平行光线、镜面反射模型，宽度 / 盲区问题构造平行线相似模型；先证三角形相似，再列对应边比例式，代入已知数据求解未知量，最后结合实际检验结果。 建模时忽略 “同一时刻平行光线”“镜面反射入射角等于反射角” 的核心前提；列比例式时对应边匹配错误，计算前未统一单位；求解后未结合实际场景检验，出现不符合现实的数值结果。 7．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．    【答案】/ 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 8．（2021·山东烟台·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 9．（2021·山东临沂·中考真题）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【答案】6米 【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可． 【详解】解：∵CM=3，OC=5， ∴OM==4， ∵∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD， ∴△COM∽△BOD， ∴，即， ∴， ∴tan∠AOD=tan70°=， 即， 解得：AB=6， ∴汽车从A处前行6米才能发现C处的儿童． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解汽车能发现儿童所前行的距离为AB． 知识1 平行线分线段成比例定理 核心定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 相似预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 知识2 相似三角形的判定定理 1、平行判定：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2、两角判定：两角分别对应相等的两个三角形相似（中考最常用判定方法）。 3、两边夹角判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4、三边判定：三边对应成比例的两个三角形相似。 5、直角三角形专属判定： 一组锐角相等的两个直角三角形相似； 两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查比例性质，将转化为，代入代数式化简求值即可得到答案，熟记此类题型的解题方法是解决问题的关键． 【详解】解：，即， ，则， 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025·山东滨州·二模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走______米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 4．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 5．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 7．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 8．（2025·山东青岛·三模）矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)当，求的值？ (2)设的面积为，求与的关系式． (3)连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，得到，求得，根据余弦定义得到，求得； （2）根据余弦定义得到，求出，根据∽，得到，求出，，得到，根据三角形面积公式得到， （3）①当平分时，设与交于点，判定≌，，过点作于点，判定∽，得到，求得，，得到，根据，得到，根据，，得到，得到，解得； 当平分时，根据∽，求出过点作于点，则，得到根据正切定义求出，，根据相似三角形性质得到，得到，即得． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得； （2），，， ， ，， ， ∽， ， ∴ ，， ； （3）存在．理由： 当平分时，设与交于点， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，，， ， ， ， ； 当平分时， ∽， ∴， 则 过点作于点， 则，，， ， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和相似三角形综合．熟练掌握矩形性质，相似三角形的判断和性质，二次函数性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解决问题的关键． 9．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案． 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 10．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 11．（2025·贵州贵阳·二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解. 【详解】解：设像到小孔的距离为， ∵ ∴， 长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为， ， ． 故选：B． 12．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出关于的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象． 先求出的长度以及、的长度，通过角度关系证明，得出，根据边的关系求出关于的表达式，进而得出关于的函数表达式，根据函数性质确定函数图象． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 14．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）连接，根据垂径定理可知是的垂直平分线，得，则，再利用可证明，从而证明结论； （2）利用，得，从而得出答案； （3）设，则，，由垂径定理可知是的中位线，得，，在中，由勾股定理得：，从而得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，运用参数法表示出中各边的长是解题的关键． 15．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【详解】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形与相似三角形 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：三角形中的线段 题型二：三角形的内、外角 题型三：等腰、等边三角形的判定与性质 题型四：直角三角形的判定与性质 题型五：勾股定理及其逆定理 题型六：全等三角形的性质与判定 必备知识 知识1 三角形的基础概念 知识2 三角形的内外角 知识3 等腰、等边三角形 知识4 直角三角形 知识5 全等三角形 命题预测 考点二 相似三角形（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：比与比例 题型二：相似三角形的判定与性质 题型三：相似三角形的实际应用 必备知识 知识1 平行线分线段成比例定理 知识2 相似三角形的判定定理 命题预测 命题 透视 命题形式：专题为山东中考数学必考核心内容，以选择、填空基础题和解答题综合题为主，基础题侧重单一知识点考查，压轴题常与函数、四边形、圆综合命题，分值占比稳定，难度梯度清晰。 命题内容： 三角形板块重点考查中线 / 高 / 角平分线性质、等腰 / 等边 / 直角三角形判定与性质、全等三角形综合，常结合折叠、动点、坐标规律命题；相似三角形为高频压轴考点，2021-2025 年每年均在解答题压轴位置出现，核心考查判定与性质综合，常结合几何模型、实际应用命题，注重几何推理与代数计算融合。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 三角形中的线段 T6：中线与面积； T7：中线、高与面积 T16：角平分线 T21：新定义、高； T23：新定义，三边 等腰、等边三角形 T24：等腰三角形的性质与判定； T13：等腰三角形性质求角； T12：等边三角形求顶点坐标 T17：等腰三角形的性质与判定； T18：等边三角形的性质+坐标规律 T12：等边三角形的性质+动点+函数； T17：等腰三角形的性质 T18：等边三角形的性质与判定； T14：等腰三角形的性质 直角三角形 T12：直角三角形的性质； T12：直角三角形的性质 T20：直角三角形的性质 T17：直角三角形的性质+勾股定理 T11：直角三角形的性质 全等三角形 T12：全等的判定与性质+函数； T7：全等的判定与性质综合 T14：全等的判定； T17：全等的判定与性质综合 T24：全等的判定与性质； T17：全等的判定与性质 T25：直角三角形全等的判定与性质 T14：全等的判定 相似三角形 T24：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 T9：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 T25：相似三角形的判定与性质综合 命题预测 1. 考情预测 三角形板块仍以选择、填空基础题为主，聚焦特殊三角形性质、全等判定，常结合折叠、动点、坐标规律命题；相似三角形为必考压轴核心，近 5 年连年占据解答题压轴位，未来仍将与四边形、圆、函数综合考查，侧重几何模型应用与推理计算融合，实际应用题型也将常态化出现。 2. 备考建议 · 夯实三角形基础概念与相似核心定理，吃透 A 字型、一线三等角等高频模型；强化几何代数综合题训练，提升建模与运算能力；结合山东真题复盘易错点，规范证明步骤，分层突破基础题与压轴题。 · · · · · · · 插入 · · 生成一份关于三角形与相似三角形的中考备考计划 · 推荐一些关于三角形与相似三角形的中考真题 · 三角形与相似三角形的知识点在中考中的占比大概是多少？ 题型一 三角形中的线段 核心紧扣中线、高、角平分线、中位线四大线段的核心性质，中线用重心 2:1 分线段、平分面积的特性；中位线紧抓 “平行 + 第三边一半” 关系；角平分线用 “到角两边距离相等” 性质；高结合面积公式列等式，解题常构造倍长中线、中位线模型转化线段关系。 混淆重心分中线的比例，混用中线与中位线性质；钝角三角形高的位置判断失误，忽略高在三角形外的情况；应用角平分线性质时，遗漏 “垂直于角两边” 的前提条件。 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 3．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，垂足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    题型二 三角形的内、外角 以三角形内角和 180°、外角等于不相邻两内角和为核心，结合平行线、折叠、尺规作图背景，通过倒角建立角度等量关系；复杂题型可设未知数，利用角度和差关系列方程求解。 忽略外角 “不相邻内角” 的限定，误将相邻内角纳入计算；折叠问题中遗漏对应角相等的隐含条件，多角和差计算时符号出错；忽略三角形内角取值范围，出现角度和超 180° 的低级错误。 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 等腰、等边三角形的判定与性质 解题紧扣 “等边对等角、等角对等边” 及 “三线合一” 核心性质，等边三角形紧抓 60° 内角与三边相等特性；折叠、动点题型中，分类讨论腰与底、顶角与底角的不同情况，构造全等转化边角关系。 等腰三角形分类讨论不全，忽略锐角 / 钝角等腰三角形两种情况；非顶角平分线、底边上的中线 / 高，强行套用 “三线合一” 性质；等边三角形判定时，遗漏 “有一个角为 60° 的等腰三角形” 这一核心判定条件。 7．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 9．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时，______． 题型四 直角三角形的判定与性质 核心运用两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30° 锐角对直角边为斜边一半的性质，结合中点、折叠、几何计算场景，通过边角转化建立线段关系；判定优先用两角互余或勾股定理逆定理。 忽略 “30° 角性质” 的直角三角形前提，非直角三角形强行套用；误用斜边中线性质，将直角边中线等同于斜边中线；判定时逻辑倒置，误用性质代替判定定理导致证明错误。 10．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 题型五 勾股定理及其逆定理 勾股定理用于直角三角形边长计算，折叠、网格、坐标系题型中，先构造直角三角形，再设未知数列方程求解；逆定理用于直角三角形判定，通过三边平方关系验证垂直，辅助几何综合题的垂直证明。 非直角三角形强行套用勾股定理；混淆斜边与直角边，平方和计算时错把直角边当斜边；逆定理应用时，仅通过边长近似值判定，未精准计算三边平方关系，导致垂直判定错误。 13．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 14．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 15．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 题型六 全等三角形的性质与判定 先梳理已知等边、等角，挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件，根据已知信息匹配判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），通过全等转化边角关系；证明题规范书写判定条件，复杂题型构造辅助线证全等。 误用 SSA 判定三角形全等，忽略 “夹角相等” 的核心要求；HL 定理超范围使用，非直角三角形强行套用；全等三角形对应边、对应角匹配错误，导致边角转化逻辑出错；证明时遗漏关键条件，步骤不规范失分。 16．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 17．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 18．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 知识1 三角形的基础概念 1. 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2. 三角形的 4 类重要线段 线段类型 定义 性质 中线 连接三角形一个顶点与对边中点的线段 ① 三条中线交于一点（重心），重心分中线为 2:1 的两段； ② 中线将三角形分成面积相等的两个三角形； ③ 中线长定理：三角形两边平方和 = 第三边中线平方与第三边一半平方和的 2 倍 高 从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段 ① 锐角三角形三条高在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在外部； ② 是三角形面积计算的核心要素，面积公式：S=​ah（a为底，h为对应高） 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段 ① 角平分线上的点到角两边的距离相等； ② 三条角平分线交于一点（内心，内切圆圆心），内心到三角形三边距离相等 中位线 连接三角形两边中点的线段 三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 知识2 三角形的内外角 1. 内角性质：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 2. 外角性质 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 定理：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；② 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③ 三角形的外角和等于360°。 知识3 等腰、等边三角形 1. 等腰三角形： 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，第三边为底边。 性质：等边对等角：等腰三角形的两个底角相等；三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 判定方法： 有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2. 等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 性质：三边都相等，三个内角都等于60°；三条中线、三条高、三条角平分线完全重合，满足三线合一； 轴对称性：有 3 条对称轴。 判定方法：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识4 直角三角形 1. 直角三角形： 定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 性质：直角三角形的两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半； 30°角特殊性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；反之，若一条直角边等于斜边的一半，其对的锐角为30°；满足勾股定理。 判定方法：有一个角是90°的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，该三角形为直角三角形； 若三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形。 知识5 全等三角形 判定定理 内容 适用范围 SSS（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 SAS（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 所有三角形 ASA（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 AAS（角角边） 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 所有三角形 HL（斜边、直角边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 1．（2025·山东济南·一模）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 2．（2025·山东菏泽·三模）在中，，则的长度可能是______．（写出一个符合要求的值即可） 3．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 4．（2025·山东淄博·二模）如图，点B，F，C，E在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 6．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论：平分；；的周长等于；是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 8．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 9．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 10．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东枣庄·二模）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答： ． 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上． 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由． （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点O，P，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由． 12．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 14．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 题型一 比与比例 紧扣比例基本、合比、等比三大核心性质，以比例式与等积式互化为核心，黄金分割题型紧抓黄金比的定义式；平行线分线段成比例题型找准对应线段，常用设参数法、构造平行线转化比例关系，结合平行四边形、折叠背景列比例式求解。 混淆比例内项与外项，应用等比性质时忽略分母和不为 0 的前提；黄金分割中长短线段与整体的比例关系错位；平行线分线段成比例时对应线段匹配错误，误将非对应线段列入比例式。 1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 题型二 相似三角形的判定与性质 优先通过公共角、对顶角、平行线找等角，以 AA 判定为核心；无现成等角时，验证两边成比例且夹角相等或三边成比例，直角三角形用 HL 专属判定；性质应用紧抓相似比，结合 A 字型、8 字型、一线三等角等高频模型转化边角关系。 误用 SSA 判定三角形相似，忽略 “夹角相等” 的核心要求；面积比直接等同于相似比，遗漏平方运算；相似三角形对应顶点匹配错误，导致比例式列错；复杂综合题中遗漏隐含等角，判定逻辑不严谨。 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 6．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 题型三 相似三角形的实际应用 核心是将实际测量问题转化为相似三角形模型，高度测量优先构造标杆、平行光线、镜面反射模型，宽度 / 盲区问题构造平行线相似模型；先证三角形相似，再列对应边比例式，代入已知数据求解未知量，最后结合实际检验结果。 建模时忽略 “同一时刻平行光线”“镜面反射入射角等于反射角” 的核心前提；列比例式时对应边匹配错误，计算前未统一单位；求解后未结合实际场景检验，出现不符合现实的数值结果。 7．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．    8．（2021·山东烟台·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 9．（2021·山东临沂·中考真题）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 知识1 平行线分线段成比例定理 核心定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 相似预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 知识2 相似三角形的判定定理 1、平行判定：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2、两角判定：两角分别对应相等的两个三角形相似（中考最常用判定方法）。 3、两边夹角判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4、三边判定：三边对应成比例的两个三角形相似。 5、直角三角形专属判定： 一组锐角相等的两个直角三角形相似； 两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的值为______． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·二模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走______米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 4．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 5．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 6．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 8．（2025·山东青岛·三模）矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)当，求的值？ (2)设的面积为，求与的关系式． (3)连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 9．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 10．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为________． 11．（2025·贵州贵阳·二模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江金华·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，点D在边上，，点E是边上的动点（不与端点A，B重合），点F是边上的动点（不与端点A，C重合），连接，且，若，的面积为y，则y关于x的函数图象是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和． (1)求证：直线为的切线； (2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，，求的值及线段的长． 15．（2025·山东泰安·一模）如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $