27 第四章 方法专题五 全等、相似三角形五大基础模型 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦全等、相似三角形五大基础模型，精准对接中考几何核心考点，通过梳理平移型、轴对称型全等及“A”字型、“8”字型、“母子”型相似模型，分析各模型在中考中的考查权重，归纳证明、计算等常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“模型解析+例题精讲+方法总结”模式，如平移型全等通过公共线段构造相等线段证全等，“A”字型相似结合比例求面积比，培养学生推理意识与几何直观。典型题解析步骤清晰，帮助学生掌握模型应用技巧，教师可依此系统开展专题复习，提升学生中考几何得分率。

1 2 3 模型1　平移型全等 【学会模型】 图形 结论 在移动方向上加(减)公共线段,构造相等线段,利用平行线的性质找到对应角相等.利用全等三角形判定定理,证明△ABC≌△DEF 4 【运用模型】 1.如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD. (1)求证:∠E=∠F. (2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数. (1)证明:∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD. ∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD. 在△EAC和△FBD中, ∴△EAC≌△FBD(SAS),∴∠E=∠F. (2)解:∵△EAC≌△FBD,∴∠ECA=∠D=80°. ∵∠A=40°,∴∠E=180°-40°-80°=60°. 5 2.如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC. (1)求证:△AOD≌△OBC. (2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数. (1)证明:∵点O是线段AB的中点,∴AO=OB. ∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B. 在△AOD和△OBC中, ∴△AOD≌△OBC(SAS). (2)解:∵△AOD≌△OBC,∴∠OCB=∠ADO=35°. ∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB=35°. 6 模型2　轴对称型全等 【学会模型】 图形 结论 此类模型必有一个公共角或公共边,如图1~图3,△ABE≌△ACD; 如图4,△ABC≌△CDA 7 【运用模型】 3.如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°. (1)求证:AC=BD. (2)若∠ABC=35°,求∠CAO的度数. (1)证明:∵∠C=∠D=90°, ∴△ACB和△BDA都是直角三角形. 在Rt△ACB和Rt△BDA中, ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL),∴AC=BD. 8 (2)解:∵∠ABC=35°, ∴∠CAB=90°-35°=55°. 由(1)可知Rt△ACB≌Rt△BDA, ∴∠BAD=∠ABC=35°, ∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=55°-35°=20°. 9 4.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O. (1)求证:△ABD≌△ACE. (2)判断△BOC的形状,并说明理由. (1)证明:在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS). 10 (2)解:△BOC是等腰三角形. 理由如下: ∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO, ∴△BOC是等腰三角形. 11 模型3　“A”字型相似 【学会模型】 图形 结论 △ADE∽△ABC或△ADE∽△ACB 注意:“A”字型中,当没有说明对应角的关系时,需要分∠AED=∠B或∠AED=∠C两种情况讨论 12 【运用模型】 5.如图,在△ABC中,点D,E分别在边BA,BC上,且 ==,则△DBE与 四边形ADEC的面积的比为_________.  4∶21 13 【解析】 ∵==,∴设AD=3m,DB=2m, CE=3k,EB=2k, ∴==,==,∴==. 又∵∠B=∠B,∴△DBE∽△ABC. ∵两个三角形的相似比为,∴=()2=. 设S△DBE=4a,则S△ABC=25a, ∴S四边形ADEC=25a-4a=21a, ∴S△DBE∶S四边形ADEC=4∶21. 14 6.在△ABC中,AB=6,BC=12,点P是AB边的中点,点Q是BC边上一个动点, 当BQ=_________时,△BPQ与△BAC相似.  或6 15 【解析】 ∵AB=6,点P是AB边的中点, ∴BP=3. 当△BPQ∽△BAC时, =,即=,解得BQ=6; 当△BPQ∽△BCA时, =,即=,解得BQ=. 综上所述,当BQ=或6时,△BPQ与△BAC相似. 16 7.如图,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高. (1)当∠A=60°时,求证:ED=BC. (2)当 = 时,探究 的值. 17 (1)证明:∵∠A=60°,BD⊥AC,∴∠ABD=30°, ∴AD=AB. ∵∠A=60°,CE⊥AB,∴∠ACE=30°, ∴AE=AC,∴==. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴==, ∴ED=BC. 18 (2)解:∵∠A=∠A,BD⊥AC,CE⊥AB, ∴△ABD∽△ACE,∴=. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴==. 19 模型4　“8”字型相似 【学会模型】 图形 “8”字型的变形: 20 结论 ①图1、图2:△ABO∽△DCO. ②图3:△ABO∽△DCO. ③图4:△ABF∽△ACE;△BEG∽△CFG 注意:图1、图2中,当没有说明对应角的关系时,需要分∠B=∠C或∠B=∠D两种情况讨论 21 【运用模型】 8.如图,在△ABC中,E是边AC上的一点,且AE∶CE=1∶2,过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若△ABE的面积等于4,则△BCD的面积等于(　　)　　　　　　　　 A.8 B.16 C.24 D.32 22 【解析】 ∵CD∥AB,∴△ABE∽△CDE. ∵AE∶CE=1∶2,∴=. ∵S△ABE=4,∴S△CDE=16. ∵AE∶CE=1∶2,∴CE=2AE. ∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等, ∴S△BCE=2S△ABE. ∵S△ABE=4,∴S△BCE=2×4=8, ∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24. 23 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3, 连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的 长为_______.  24 【解析】 ∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB, ∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD, ∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN, ∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB, ∴==,=, ∴=,∴=,∴MN=. 25 10.如图,在▱ABCD中,点E为AB的中点,DE,DB分别与AC相交于点F,O. (1)求 的值; (2)若DB⊥BC,FO=,BC=,求EF的长. 26 解:(1)如图,连接OE. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD. ∵点E为AB的中点, ∴OE为△ABD的中位线, ∴OE∥AD,OE=AD,∴△ADF∽△OEF, ∴==2. 27 (2)由(1)知AF=2OF=2, ∴CO=AO=AF+OF=3. ∵DB⊥BC,BC=, ∴BO==2. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,DO=BO,AB=CD, ∴BD=2BO=4, ∴CD==3, 28 ∴AB=CD=3. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=90°. ∵点E是AB的中点,∴DE=AB=. 由(1)知△ADF∽△OEF, ∴==2, ∴EF=DE=. 29 模型5　“母子”型(“双垂线”型是其特例) 【学会模型】 图形 结论 ①图1:△ABC∽△ACD或△BCD∽△BAC. ②图2:△ABC∽△ACD;△BCD∽△BAC;△ACD∽△CBD. ③图3:△ABC∽△EBA 30 【运用模型】 11.如图,在△ABC中,∠ABD=∠C.若AB=4,AD=2,则边CD的长是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.4 C.6 D.8 31 【解析】 ∵∠ABD=∠C,∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACB,∴=. ∵AC=AD+DC,∴=,∴DC=6. 32 12.如图,已知等腰三角形ADC中,AD=AC,B是线段DC上的一点,连接AB,且有AB=DB. (1)求证:△ADB∽△CDA. (2)若DB=2,BC=3,求AD的值. (1)证明:∵AD=AC,∴∠D=∠C. ∵AB=DB,∴∠D=∠DAB,∴∠DAB=∠C. 又∵∠D=∠D,∴△ADB∽△CDA. 33 (2)解:∵△ADB∽△CDA,∴=. ∵DB=2,BC=3,∴CD=5, ∴AD2=BD·CD=2×5=10, ∴AD=(负值已舍去). 34 13.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC, ∠BDC=∠DEC. 求证:(1)△ADE∽△ACD; (2)CD2=DE·BC. 证明:(1)∵∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+∠ADE, ∴∠ADE=∠ACD. ∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD. (2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD. ∵∠DEC=∠BDC,∴△DEC∽△CDB, ∴=,∴CD2=DE·BC. 35 36 $