第8章 概率（单元测试·基础卷）数学苏教版选择性必修第二册

2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A C D B A D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．/0.6 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 2分 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. 4分 （2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40. 5分 ， ， ， ， ， 8分 则X的分布列为 10分 故. 13分 16．【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 2分 所以. 4分 （2）X的可能取值为0，2，4，6. 6分 ， ， ， . 10分 的分布列为： 0 2 4 6 P 12分 故. 15分 17．【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. 2分 （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 4分 因此可知, 7分 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 9分 （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， 12分 , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 15分 18．【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. 2分 （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 4分 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 6分 所以，，， 9分 所以的分布列为： 0 1 2 P 11分 数学期望. 12分 （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 15分 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 17分 19．【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 因此比赛成绩不少于5分的概率. 3分 （2）记事件“该队成绩为0分”，事件“甲第一阶段被淘汰”，则， ， 5分 于是所求为. 8分 （3）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩、的所有可能取值为0，5，10，15，则 ，， ，    ， 12分 则，同理有， 14分 所以. 因为，，则， 故应该由甲参加第一阶段比赛. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 2．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 4．已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 7．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 8．随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（    ） -2 1 3 A． B． C． D． 10．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 11．已知随机变量X的取值为0，1，2，…，n(n∈N)，X的分布列为；.定义由X生成的函数，为的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为，为的导函数，则（） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机变量与服从正态分布，且，则__________. 13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______． 14．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 16．（15分）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 17．（15分）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18．（17分）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 19．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 2．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 3．已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 4．已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 7．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 8．随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（    ） -2 1 3 A． B． C． D． 10．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 11．已知随机变量X的取值为0，1，2，…，n(n∈N)，X的分布列为；.定义由X生成的函数，为的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为，为的导函数，则（） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机变量与服从正态分布，且，则__________. 13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______． 14．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 16．（15分）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 17．（15分）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18．（17分）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 19．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由分布列的性质可知，，得. 故选：B 2．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 3．已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 4．已知事件与独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件与独立，所以， 因为，所以， 所以（事件与独立，故事件与独立）. 故选：C 5．已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量，满足，且，所以 对于A，，所以A不正确； 对于B，，， ，所以B不正确； 对于C，，， ，所以C不正确； 根据, 由, 则，， 故选：D. 6．2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 7．从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 8．随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为解得， 所以， ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（    ） -2 1 3 A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误； 对于，故B正确； 对于 ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 【答案】ABD 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故，故A正确； 对于B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又因为，所以，所以，故B正确. 对于C，抛掷两次，第一次为2点，第二次出现3点，则事件A，B同时发生，故A，B不互斥，故C错误. 对于D，，又， 所以，即事件A与B相互独立，故D正确； 故选：ABD. 11．已知随机变量X的取值为0，1，2，…，n(n∈N)，X的分布列为；.定义由X生成的函数，为的导函数.现将一枚质地均匀的硬币连续抛掷四次，用Y表示正面向上的次数，由Y生成的函数记为，为的导函数，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】X的分布列为 X 0 1 2 P ， 则 由已知， 即Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P ，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知随机变量与服从正态分布，且，则__________. 【答案】/0.6 【详解】 ， ， 故答案为： 13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望______；______． 【答案】 【详解】由题意可知，，. 所以：， 根据全概率公式得：. 故答案为：； 14．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【详解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 2分 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. 4分 （2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40. 5分 ， ， ， ， ， 8分 则X的分布列为 10分 故. 13分 16．（15分）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 2分 所以. 4分 （2）X的可能取值为0，2，4，6. 6分 ， ， ， . 10分 的分布列为： 0 2 4 6 P 12分 故. 15分 17．（15分）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. 2分 （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 4分 因此可知, 7分 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 9分 （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， 12分 , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 15分 18．（17分）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. 2分 （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 4分 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 6分 所以，，， 9分 所以的分布列为： 0 1 2 P 11分 数学期望. 12分 （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 15分 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 17分 19．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 因此比赛成绩不少于5分的概率. 3分 （2）记事件“该队成绩为0分”，事件“甲第一阶段被淘汰”，则， ， 5分 于是所求为. 8分 （3）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩、的所有可能取值为0，5，10，15，则 ，， ，    ， 12分 则，同理有， 14分 所以. 因为，，则， 故应该由甲参加第一阶段比赛. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $