精品解析：天津市东丽区2026年高三下学期质量调研试卷（一）数学试题

天津市东丽区2026年高三质量调研试卷（一） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件判断即可. 【详解】由可知， 所以， 所以充分性成立， 当时，满足， 但是不成立， 所以必要性不成立， 故选：A． 3. 函数大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度， 则时，，排除A，因此B符合题意. 4. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即. 所以D不正确. 5. 已知则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较大小 【详解】，因为在上单调递减，所以，即， 在上单调递增，所以，即， ，因为在上单调递增，所以，所以， 所以 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 7. 函数在处取得最值，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，得出是正弦函数对称轴，即可求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由函数在处取得最值，则图象关于直线对称，得，而，则，，所以. 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，所以点不是图象的对称中心，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，正弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，D正确. 8. 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数定义，结合渐近线的倾斜角、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 9. 正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥的体积占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为，即， 三棱锥的体积记为， 则. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，_________． 【答案】 【解析】 【详解】. 11. 的展开式中，x项的系数为________． 【答案】 20 【解析】 【分析】将原式拆分为与两部分，分别求出两部分中项的系数后求和即可. 【详解】首先将原式变形为， 根据二项式定理，的展开式通项为，其中且. 中项的系数：令，解得，代入通项得该部分项的系数为， 中项的系数：要得到项，需中对应项的次数为，令， 解得，代入通项得该部分项的系数为， 将两部分系数相加，得展开式中项的总系数为. 12. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为， 线段的中点坐标为，， 所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则，. 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 14. 已知M是内的一点，且，若，且，，三点共线，则实数的值为_________；若，则向量在向量上的投影向量为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合共线定理即可得的值；由的值可得的值，代入投影向量公式计算即可. 【详解】 因为， 整理得，则不在边上， 又，，所以， 因为，，三点共线，所以，解得； ， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 15. 已知函数与直线有4个交点，则a的取值集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为图象交点个数问题，结合图象求解. 【详解】令，则问题即函数与函数有个交点， 又，且在单调递增， 当时，单调递减，且，时，； 又当时，在单调递增，在单调递减， 且时，当时，，当时，； 当时，单调递增，且 作出函数图象如图所示， 则直线和直线与函数有4个交点， 所以的取值集合是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求的值. （2）根据（1）的结论，先求的值，再利用正弦定理可求的值. （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简求值. 【小问1详解】 由题可知，， 可得， 由余弦定理， 可得. 【小问2详解】 由题， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1），所以， 得. 【小问3详解】 由（1）可知，所以为钝角，为锐角， 所以， 因为，， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）求点M到平面的距离． 【答案】（1）证明：在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以， 设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ， 所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； 【小问3详解】 ， 设点M到平面BCD的距离为d， . 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴交于点，过点与平行的直线交轴于，若在直线上存在点，使得，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标、两点间距离公式以及平方关系和离心率公式列出方程组，联立求解即可得解； （2）设直线方程，联立椭圆方程得到的坐标，再由得到的坐标，最后根据求出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图所示，设直线的方程为则且 由得， ，得， 由韦达定理，所以， 所以，则， 因为，所以， 所以直线的方程为，所以， 因为，所以点为的中点，即， 因为点在直线上， 所以，即， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以直线l的方程为． 19. 已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为． （1）求和的通项公式； （2）若，记数列的前4n项和． （i）求； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：，记， ，， 两式相减，得， ， ， ，得证． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列方程组求公比和公差即可； （2）（i）先求的表达式，再结合等差数列求和公式求解即可；（ii）利用错位相减法求出的表达式后直接比较即可． 【小问1详解】 设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 由题意可得，也即，解得， 所以． 【小问2详解】 （i）由题意得，， ， 显然数列是等差数列，． （ⅱ）略 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【小问1详解】 依题意， 所以, ， 又 函数在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 当， ①当时，，在单调递增， ②当时，，在单调递减， ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即， 因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立， 令， 因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即． 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市东丽区2026年高三质量调研试卷（一） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 5. 已知则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在处取得最值，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 8. 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，_________． 11. 的展开式中，x项的系数为________． 12. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 14. 已知M是内的一点，且，若，且，，三点共线，则实数的值为_________；若，则向量在向量上的投影向量为_________． 15. 已知函数与直线有4个交点，则a的取值集合是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）求点M到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与轴的正半轴交于点，过点与平行的直线交轴于，若在直线上存在点，使得，求直线的方程． 19. 已知数列是等比数列，数列为正项等差数列，其前n项和为． （1）求和的通项公式； （2）若，记数列的前4n项和． （i）求； （ii）证明：． 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $