第四章因式分解 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

该初中数学因式分解单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，将因式分解的定义、公因式确定、四种基本方法及注意事项按“概念-方法-应用”逻辑串联，用框架图呈现提公因式法与公式法的适用场景及步骤对比，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点是“分层递进”的题型设计，14类题型覆盖基础到综合，如“已知因式分解结果求参数”培养推理意识，“十字相乘法”强化运算能力，每个题型配典例和训练。过关检测结合几何应用，渗透模型意识，帮助不同层次学生提升，支持教师精准复习教学。

第四章 因式分解 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 判断是否是因式分解】 3 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 3 【题型3 公因式】 4 【题型4 提公因式法分解因式】 4 【题型5 判断能否用公式法分解因式】 4 【题型6 平方差公式分解因式】 5 【题型7 完全平方公式分解因式】 5 【题型8 综合运用公式法分解因式】 6 【题型9 综合提公因式和公式法分解因式】 6 【题型10 实数范围内分解因式】 7 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】 7 【题型12 十字相乘法】 8 【题型13 分组分解法】 9 【题型14 因式分解的应用】 9 · 1.理解因式分解的定义，能准确判断一个变形是否为因式分解，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，会用整式乘法检验因式分解的正确性。 · 2.掌握公因式的定义及确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式，规避提公因式的常见易错点。 · 3.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能准确运用公式法分解因式，区分两种公式的适用场景。 · 4.学会综合运用提公因式法与公式法分解因式，掌握十字相乘法、分组分解法的核心技巧，能对多项式进行彻底分解。 · 5.掌握实数范围内因式分解的方法，能将二次三项式在实数范围内分解彻底，拓展因式分解的应用范围。03 知识•梳理 知识点1：因式分解的定义 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式。 2. 关键要点：① 变形前后是恒等变形（值不变）；② 结果必须是“整式的积”（不能是和、差形式）；③ 因式分解与整式乘法是互逆运算（如是整式乘法，是因式分解）。 3. 易错提醒：因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止，且结果不能含分式、多项式形式的因式。 知识点2：公因式 1. 定义：一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（公因式可是单项式，也可是多项式）。 2. 确定方法（三步法）：① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各项都含有的相同字母；③ 指数：取相同字母的最低次幂；④ 符号：若多项式首项系数为负，公因式通常取负数，使括号内首项系数为正。 示例：多项式的公因式是。 知识点3：因式分解的基本方法 1. 提公因式法：最基础的因式分解方法，将多项式各项的公因式提取出来，把多项式化为“公因式×另一个整式”的形式，即（为公因式）。 2. 公式法：利用乘法公式的逆运算分解因式，核心是判断多项式是否符合公式结构，常用两个公式： ① 平方差公式：（适用条件：二项式、两项均为平方形式、符号相反）； ② 完全平方公式：、（适用条件：三项式、首尾两项为平方形式且符号相同、中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）。 3. 十字相乘法：适用于二次三项式（、、为常数，），将拆分为两个因数的积，拆分为两个因数的积，使交叉相乘的和等于，即（其中，，）。 4. 分组分解法：当多项式项数较多（通常4项及以上），无法直接提公因式或用公式法时，将多项式分组（二二分组、一三分组），使每组能提公因式或用公式法分解，再整体提公因式，完成分解。 5. 实数范围内分解因式：突破有理数范围，允许因式中含无理数，核心是将不能在有理数范围内分解的二次三项式，利用平方根的意义分解（如）。 知识点4：因式分解的注意事项 · 1. 彻底性：分解因式必须分解到每一个因式不能再分解为止（如需分解为，不能只分解到）； · 2. 规范性：结果必须是整式的积，不能含分式、多项式和差形式； · 3. 符号性：首项系数为负时，先提取负号，再继续分解； · 4. 检验性：可通过整式乘法将分解结果还原，检验分解的正确性。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是因式分解】 解题思路：紧扣因式分解的定义，重点验证3点：① 变形后是“整式的积”（不能是和、差或分式形式）；② 变形前后是恒等变形（值不变）；③ 分解结果需符合彻底性要求（可选）。不符合任意一点，均不是因式分解。 【典例1】．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 跟随训练1-3．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 解题思路：① 先将因式分解的结果展开，化为多项式形式；② 与原多项式的对应项系数对比（恒等变形，对应项系数相等）；③ 列出关于参数的方程，求解参数；④ 检验（确保展开后与原多项式一致）。 【典例2】．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如果因式分解的结果为，那么_________． 跟随训练2-3．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【题型3 公因式】 解题思路：分三步确定公因式：① 找系数：取各项系数的最大公约数；② 找字母：取各项都含有的相同字母；③ 找指数：取相同字母的最低次幂；④ 定符号：首项系数为负，公因式取负数。 【典例3】．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 跟随训练3-2．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 跟随训练3-3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【题型4 提公因式法分解因式】 解题思路：① 确定多项式各项的公因式（按题型3的方法）；② 提取公因式，将每一项除以公因式，把多项式化为“公因式×另一个整式”的形式；③ 检查：确保另一个整式不能再提公因式，分解彻底；④ 注意符号：首项系数为负时，先提负号，括号内各项要变号。 【典例4】．分解因式：__________． 跟随训练4-1．因式分解的结果是________． 跟随训练4-2．因式分解： (1)； (2)． 跟随训练4-3．分解因式：． 【题型5 判断能否用公式法分解因式】 解题思路：① 先判断多项式项数（平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式）；② 再判断结构：二项式看是否为“平方差”（两项均为平方形式、符号相反），三项式看是否为“完全平方”（首尾平方、中间项是2倍乘积）；③ 不符合则不能用公式法，可尝试提公因式、十字相乘法等。 【典例5】．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练5-2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 跟随训练5-3．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【题型6 平方差公式分解因式】 解题思路：① 先将多项式整理，化为的标准形式（可提取公因式后再整理）；② 套用公式分解；③ 检查分解是否彻底，若能继续分解，需进一步分解。 【典例6】．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．分解因式：______． 跟随训练6-3．分解因式：___________ 【题型7 完全平方公式分解因式】 解题思路：① 先判断多项式是否符合完全平方公式结构（三项式、首尾两项为平方形式且符号相同、中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）；② 若符合，确定、，套用公式分解；③ 若中间项符号为正，用，符号为负，用；④ 检查分解彻底性。 【典例7】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．已知，则代数式的值为__________ 跟随训练7-3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【题型8 综合运用公式法分解因式】 解题思路：① 观察多项式结构，判断适用的公式（可先提公因式，再看是否符合平方差、完全平方公式）；② 若多项式既能用平方差公式，又能用完全平方公式，先选提公因式，再套用公式；③ 分步分解，确保每一步分解彻底，避免遗漏。 【典例8】．计算、分解因式： (1)； (2)． 跟随训练8-1．因式分解： (1)； (2)． 跟随训练8-2．因式分解． (1)； (2)． 跟随训练8-3．分解因式： (1)； (2)． 【题型9 综合提公因式和公式法分解因式】 解题思路：遵循“先提公因式，再套公式”的原则：① 先提取多项式各项的公因式；② 对提取公因式后的剩余整式，判断是否符合公式结构；③ 套用对应的公式继续分解；④ 检查分解彻底性，直至每一个因式不能再分解。 【典例9】．因式分解 (1) (2) 跟随训练9-1．因式分解 (1)； (2)． 跟随训练9-2．因式分解： (1)； (2)； 跟随训练9-3．因式分解： (1)； (2)． 【题型10 实数范围内分解因式】 解题思路：① 先在有理数范围内分解因式，看是否能分解彻底；② 若不能（如），利用平方根的意义，将其化为“平方差”形式（）；③ 套用平方差公式分解，结果可含无理数因式；④ 确保分解彻底。 【典例10】．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．在实数范围内分解因式． 跟随训练10-3．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】 解题思路：核心是利用因式分解的逆向思维，提取公因式简化计算，常见场景：① 提取相同因数，合并计算；② 利用平方差、完全平方公式拆分，简化运算；③ 约分（分式形式的简算，先分解因式，再约分）。 【典例11】．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 跟随训练11-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练11-2．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 跟随训练11-3．利用因式分解计算：． 【题型12 十字相乘法】 解题思路：适用于二次三项式（），分两步：① 拆分系数：将拆分为，拆分为，使；② 写因式：将拆分后的系数组合，得；③ 检验：展开因式，验证是否与原多项式一致。 【典例12】．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．是多项式__________因式分解后的结果． 跟随训练12-2．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 跟随训练12-3．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【题型13 分组分解法】 解题思路：① 观察多项式项数（通常4项及以上），确定分组方式（二二分组、一三分组）；② 分组原则：分组后，每组能提公因式或套公式，且分组后能整体提公因式；③ 分步分解：先分解每组，再提取整体公因式，确保分解彻底。 【典例13】．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练13-1．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 跟随训练13-2．分解因式：________． 跟随训练13-3．因式分解：___________． 【题型14 因式分解的应用】 解题思路：分三类场景，核心是“先分解，再应用”： 1. 代数式求值：先将多项式因式分解，再代入未知数的值计算，或利用整体思想（如提取公因式、公式变形）简化计算； 2. 解方程/不等式：将方程/不等式左边因式分解，利用“若两个整式的积为0，则至少一个整式为0”求解，简化运算； 3. 实际问题：找准题目中的数量关系，将文字信息转化为多项式，通过因式分解简化计算，或求解未知量，检验结果是否符合实际意义。 【典例14】．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 跟随训练14-1．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 跟随训练14-2．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 跟随训练14-3．如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________． 05 过关•检测 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 4．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 5．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为______． 7．关于x的二次三项式的最小值是_________． 8．若，，则__________． 9．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 10．已知，求． 11．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 13．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 14．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 判断是否是因式分解】 3 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 4 【题型3 公因式】 6 【题型4 提公因式法分解因式】 7 【题型5 判断能否用公式法分解因式】 9 【题型6 平方差公式分解因式】 11 【题型7 完全平方公式分解因式】 12 【题型8 综合运用公式法分解因式】 13 【题型9 综合提公因式和公式法分解因式】 16 【题型10 实数范围内分解因式】 18 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】 20 【题型12 十字相乘法】 21 【题型13 分组分解法】 24 【题型14 因式分解的应用】 26 · 1.理解因式分解的定义，能准确判断一个变形是否为因式分解，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，会用整式乘法检验因式分解的正确性。 · 2.掌握公因式的定义及确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式，规避提公因式的常见易错点。 · 3.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能准确运用公式法分解因式，区分两种公式的适用场景。 · 4.学会综合运用提公因式法与公式法分解因式，掌握十字相乘法、分组分解法的核心技巧，能对多项式进行彻底分解。 · 5.掌握实数范围内因式分解的方法，能将二次三项式在实数范围内分解彻底，拓展因式分解的应用范围。03 知识•梳理 知识点1：因式分解的定义 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式。 2. 关键要点：① 变形前后是恒等变形（值不变）；② 结果必须是“整式的积”（不能是和、差形式）；③ 因式分解与整式乘法是互逆运算（如是整式乘法，是因式分解）。 3. 易错提醒：因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止，且结果不能含分式、多项式形式的因式。 知识点2：公因式 1. 定义：一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（公因式可是单项式，也可是多项式）。 2. 确定方法（三步法）：① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各项都含有的相同字母；③ 指数：取相同字母的最低次幂；④ 符号：若多项式首项系数为负，公因式通常取负数，使括号内首项系数为正。 示例：多项式的公因式是。 知识点3：因式分解的基本方法 1. 提公因式法：最基础的因式分解方法，将多项式各项的公因式提取出来，把多项式化为“公因式×另一个整式”的形式，即（为公因式）。 2. 公式法：利用乘法公式的逆运算分解因式，核心是判断多项式是否符合公式结构，常用两个公式： ① 平方差公式：（适用条件：二项式、两项均为平方形式、符号相反）； ② 完全平方公式：、（适用条件：三项式、首尾两项为平方形式且符号相同、中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）。 3. 十字相乘法：适用于二次三项式（、、为常数，），将拆分为两个因数的积，拆分为两个因数的积，使交叉相乘的和等于，即（其中，，）。 4. 分组分解法：当多项式项数较多（通常4项及以上），无法直接提公因式或用公式法时，将多项式分组（二二分组、一三分组），使每组能提公因式或用公式法分解，再整体提公因式，完成分解。 5. 实数范围内分解因式：突破有理数范围，允许因式中含无理数，核心是将不能在有理数范围内分解的二次三项式，利用平方根的意义分解（如）。 知识点4：因式分解的注意事项 · 1. 彻底性：分解因式必须分解到每一个因式不能再分解为止（如需分解为，不能只分解到）； · 2. 规范性：结果必须是整式的积，不能含分式、多项式和差形式； · 3. 符号性：首项系数为负时，先提取负号，再继续分解； · 4. 检验性：可通过整式乘法将分解结果还原，检验分解的正确性。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是因式分解】 解题思路：紧扣因式分解的定义，重点验证3点：① 变形后是“整式的积”（不能是和、差或分式形式）；② 变形前后是恒等变形（值不变）；③ 分解结果需符合彻底性要求（可选）。不符合任意一点，均不是因式分解。 【典例1】．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 跟随训练1-1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念：因式分解要求等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 跟随训练1-2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 跟随训练1-3．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 解题思路：① 先将因式分解的结果展开，化为多项式形式；② 与原多项式的对应项系数对比（恒等变形，对应项系数相等）；③ 列出关于参数的方程，求解参数；④ 检验（确保展开后与原多项式一致）。 【典例2】．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 跟随训练2-1．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 跟随训练2-2．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 跟随训练2-3．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【题型3 公因式】 解题思路：分三步确定公因式：① 找系数：取各项系数的最大公约数；② 找字母：取各项都含有的相同字母；③ 找指数：取相同字母的最低次幂；④ 定符号：首项系数为负，公因式取负数。 【典例3】．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 跟随训练3-1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 跟随训练3-2．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 跟随训练3-3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 【题型4 提公因式法分解因式】 解题思路：① 确定多项式各项的公因式（按题型3的方法）；② 提取公因式，将每一项除以公因式，把多项式化为“公因式×另一个整式”的形式；③ 检查：确保另一个整式不能再提公因式，分解彻底；④ 注意符号：首项系数为负时，先提负号，括号内各项要变号。 【典例4】．分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 跟随训练4-1．因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 跟随训练4-2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 跟随训练4-3．分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 【题型5 判断能否用公式法分解因式】 解题思路：① 先判断多项式项数（平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式）；② 再判断结构：二项式看是否为“平方差”（两项均为平方形式、符号相反），三项式看是否为“完全平方”（首尾平方、中间项是2倍乘积）；③ 不符合则不能用公式法，可尝试提公因式、十字相乘法等。 【典例5】．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 跟随训练5-1．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 跟随训练5-2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 跟随训练5-3．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【题型6 平方差公式分解因式】 解题思路：① 先将多项式整理，化为的标准形式（可提取公因式后再整理）；② 套用公式分解；③ 检查分解是否彻底，若能继续分解，需进一步分解。 【典例6】．已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 跟随训练6-1．下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 跟随训练6-2．分解因式：______． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 跟随训练6-3．分解因式：___________ 【答案】 【分析】本题使用分组分解法分解因式，先对原式合理分组，再分别运用平方差公式和提公因式法分解，最后提取整体公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 【题型7 完全平方公式分解因式】 解题思路：① 先判断多项式是否符合完全平方公式结构（三项式、首尾两项为平方形式且符号相同、中间项是首尾两项平方根乘积的2倍）；② 若符合，确定、，套用公式分解；③ 若中间项符号为正，用，符号为负，用；④ 检查分解彻底性。 【典例7】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 跟随训练7-1．将代数式进行因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 跟随训练7-2．已知，则代数式的值为__________ 【答案】25 【分析】将式子变形为，对所求代数式运用完全平方公式因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 跟随训练7-3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】①③⑥ 【分析】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的，逐个判断即可． 【详解】解：①，符合完全平方公式分解因式的条件； ②，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 【题型8 综合运用公式法分解因式】 解题思路：① 观察多项式结构，判断适用的公式（可先提公因式，再看是否符合平方差、完全平方公式）；② 若多项式既能用平方差公式，又能用完全平方公式，先选提公因式，再套用公式；③ 分步分解，确保每一步分解彻底，避免遗漏。 【典例8】．计算、分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 跟随训练8-1．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式法计算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 跟随训练8-2．因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练8-3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型9 综合提公因式和公式法分解因式】 解题思路：遵循“先提公因式，再套公式”的原则：① 先提取多项式各项的公因式；② 对提取公因式后的剩余整式，判断是否符合公式结构；③ 套用对应的公式继续分解；④ 检查分解彻底性，直至每一个因式不能再分解。 【典例9】．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 跟随训练9-1．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练9-2．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 跟随训练9-3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型10 实数范围内分解因式】 解题思路：① 先在有理数范围内分解因式，看是否能分解彻底；② 若不能（如），利用平方根的意义，将其化为“平方差”形式（）；③ 套用平方差公式分解，结果可含无理数因式；④ 确保分解彻底。 【典例10】．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 跟随训练10-1．在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 跟随训练10-2．在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 跟随训练10-3．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型11 因式分解在有理数简算中的应用】 解题思路：核心是利用因式分解的逆向思维，提取公因式简化计算，常见场景：① 提取相同因数，合并计算；② 利用平方差、完全平方公式拆分，简化运算；③ 约分（分式形式的简算，先分解因式，再约分）。 【典例11】．是（    ）． A．10600 B．10400 C．10800 D．9986 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键．利用平方差公式或直接计算 再减 4即可． 【详解】解： ． 故选：B． 跟随训练11-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 跟随训练11-2．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 跟随训练11-3．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 【题型12 十字相乘法】 解题思路：适用于二次三项式（），分两步：① 拆分系数：将拆分为，拆分为，使；② 写因式：将拆分后的系数组合，得；③ 检验：展开因式，验证是否与原多项式一致。 【典例12】．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 跟随训练12-1．是多项式__________因式分解后的结果． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是多项式因式分解后的结果． 跟随训练12-2．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 跟随训练12-3．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 【题型13 分组分解法】 解题思路：① 观察多项式项数（通常4项及以上），确定分组方式（二二分组、一三分组）；② 分组原则：分组后，每组能提公因式或套公式，且分组后能整体提公因式；③ 分步分解：先分解每组，再提取整体公因式，确保分解彻底。 【典例13】．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 跟随训练13-1．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 跟随训练13-2．分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 跟随训练13-3．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 【题型14 因式分解的应用】 解题思路：分三类场景，核心是“先分解，再应用”： 1. 代数式求值：先将多项式因式分解，再代入未知数的值计算，或利用整体思想（如提取公因式、公式变形）简化计算； 2. 解方程/不等式：将方程/不等式左边因式分解，利用“若两个整式的积为0，则至少一个整式为0”求解，简化运算； 3. 实际问题：找准题目中的数量关系，将文字信息转化为多项式，通过因式分解简化计算，或求解未知量，检验结果是否符合实际意义。 【典例14】．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 跟随训练14-1．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0， ∴，， 解得：，， 根据三角形三边关系，得：， 即， ∵是正整数 ∴ ∴的周长为：． 跟随训练14-2．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 跟随训练14-3．如图，某工人师傅在一个边长为的正方形的四个角截去了个边长为的正方形，再沿图中的虚线把，两个长方形剪下来，拼成了如图所示的一个大长方形．试根据图与图，写出一个关于因式分解的等式：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，即可解答． 【详解】解：图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为， 则． 故答案为：． 05 过关•检测 1．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于A：，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 3．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 4．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ∵对应我，对应爱,对应德,对应州， ∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州． 5．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 6．已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 7．关于x的二次三项式的最小值是_________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式分解因式结合平方的非负性求最小值即可. 【详解】解：， ， ， ∴的最小值是. 8．若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 【答案】 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 10．已知，求． 【答案】2027 【分析】将变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 11．求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）原式 ． 13．阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可推出，再由非负数的性质可得答案； （2）根据已知条件可推出，再由非负数的性质可得x、y的值，最后代入求值即可； （3）求出，则可得到，即，利用非负数的性质求出b、c的值，进而求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $