湖南省长沙市雅礼集团2025-2026学年下学期九年级期中检测试卷 数学科目

2026年上学期九年级期中检测试卷 数学 科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选 项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数中，是无理数的是() A.0 B.-V2 C.3.14 .g 2.下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是() 赵爽弦图 斐波那契螺旋线 c. 莱洛三角形 D. 皮亚诺曲线 3.最新数据显示，长沙市2025年GDP总量为15737.82亿元，在全国29座万亿城市中排名第15位. 数据15737.82亿用科学记数法表示为( A.15737.82×10 B.15737.82×10 C.1.573782×10 D.1.573782×10 4.下列运算正确的是（) A.ata3=a6 B.a2+a2=2a4 C.(-a+b)(a+b)=a2-b2 D.(-2a2b3)3=-8ab9 5.初三年级6名教师某周使用人工智能(AI)备课的次数分别为：3,4,5,7,6,5.关于这组数 据，下列说法正确的是() A.平均数是6 B.中位数是6 C.众数是5 D.极差是3 6.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，己知“炮”所在位置的坐标 为(3,1)，则“重”所在位置的坐标为() y个 A.(-2,2) B.(-2,3) 楚河 汉界 C.（-1,2) D.(-1,3) 7.函数y=(x≠0)是() A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.反比例函数 8.如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”的示意图，通过判定△C'OD'≌△C0D得到 ∠A'OB'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是() A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 0 C B C'B 第1页（共4页） 9.如图，AB是⊙0的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,0C=5,则CD的长是() A.2 B.3 C.4 0.2 10.实数αb在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() b 432012含本 A.b>-1 B.|b|>1 C.a+b<0 D.ab>0 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.因式分解：a2-3a= 12.若代数式√a+2在实数范围内有意义，则a的取值范围是 13.已知关于x的方程x2+mx-2=0的一个根是1，则m的值为 14.如右图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=60°，则AC的长为 B 15.圆锥的底面半径为4，母线长为6，则圆锥的侧面积是 第14题图 16.某中学三月份迎来了“数学学科节”，同学们都积极参与其中，各种活动精彩纷呈.其中小南、 小雅、小星、小辰四位同学分别参加了①风方探秘、②趣味数独、③玩转魔方、④数字转换器这 四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同.己知小南参加了趣味数独、玩转 魔方中的一个，小雅参加了幻方探秘、趣味数独中的一个，小星参加了幻方探秘、玩转魔方中的 一个，参加趣味数独的是小南或小辰中的其中一个，请你按顺序写出小南、小雅、小星、小辰分 别参加的项目名称所对应的数字编号 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23 题每题9分，第24、25题每题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.计算：V12-4sin60°+()-1+(2026-π)° 18.先化简，再求值：(1-忌)÷2其中a从-1、八、1中选择一个合适的数代入求值. a2-1 19.坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出 表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的 代表作.某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量.如图，在点C处用测 角仪测得雕塑顶部A的仰角为45°，向远离雕塑AB的方向走13.2m到达点D处，在点D处测得 雕塑顶部A的仰角为35°，已知测角仪距地面的高FC=ED=1.2m,求雕塑AB的高度约为多少米？ (结果精确到1m.参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70). 不艺花不卫福底典礼 .dG 第2页（共4页) 20.为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该 校从全校5000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）” 的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图. 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 人数（人） A:音乐社团 30 25 20 B:体育社团 30 40% 1 C:文学社团 10 50 D:美术社团 ABCD类型 根据图中信息，解答下列问题： (1)参加问卷调查的学生共有 人： (2)条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中u的度数为 0 (3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用 列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率. 21.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上， DG=FC. (1)求证：四边形DFCG是矩形： (2)若BF=DF=3,DG=5,求AC的长. D E 22.湖南省足球联赛（简称“湘超”）已圆满结束，但广大市民对足球的热情依然很高，体育中心附 近商店销售的赛事文创产品也一直很受欢迎.某商店准备销售文创产品，用600元购进吉祥物“湘 湘”，用900元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的2倍，“超超”的购 进数量比“湘湘”的购进数量少30个. (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为10元/件，如果要使得总利润不低于1140元，那么“超超” 的售价最低应定为每件多少元？ 23.如图，△ABC中，∠B=90°，AM平分∠BAC,0是AC上一点，经过点A、点M的⊙0分别交AB, AC于点E、点F. (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)求证：CM2=CF·CA; A (3)若=4，血C=号求加的长. E B C 第3页（共4页） 24.在平面直角坐标系中，对于任意一点P(x,y),我们不妨约定：点P(x,y)的横、纵坐标的绝对值之 和叫做点P(x,y)的轴距和，记为[P]=|x|+yl.例如点D(-1,2)的轴距和为[D]=|-1+12=3. (1)已知点Q(q,2q)在反比例函数y=k≠0)的图象上，且点Q(42q)的轴距和为[@-3，求反 比例函数的解析式： (2)已知点A(s,r)在一次函数y=2x+5的图象上，且点A的横坐标s<0,点A(s,r)的轴距和 为[A]=7,点B在x轴上，△AB0为等腰三角形，求点B的轴距和[B]: (3)已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与一次函数y=x的图象只有一个交点C,且点C 在第一象限，点C的轴距和满足：2≤[C]≤4将一次函数y=x的图象向上平移6个单位后，与抛 物线y=ax2+bx+1交于M,N两点，以线段MN为直径的圆恰好经过点C,设线段MN的中点为点H, 求点H的轴距和[H) 25.已知：△ABC内接于⊙0，AB=AC,点E是⊙0上的一个动点 (1)如图1，若∠BAC=45°，⊙0的半径为2，求BC的长： (2)如图2，点E在劣弧AC上（不与点A、C重合），连结AE,CE,BE.若BE=AE+CE,求∠BAC 的度数； (3)如图3，已知AB=√10，BC=2,点E在劣弧BC上（不与点B、C重合），AE与BC交于点D,在 BC延长线上取一点G,连接AG,交⊙0于点H,CE=CH.请判断1-1的结果是否为定值，若 CD CG 是请求出其定值，若不是请说明理由 图1 图2 图3 第4页（共4页） 2026年上学期九年级期中检测答案 数学科目 一。 选择题 题号 1 6 6 10 答案 B D D B 心 二。填空题 11. a(a-3) 12.a≥-2 13. 1 14. 2 15. 24π 16.②①③④ 三。解答题 17.解：原式=2V3-4×+2+1 …….4分 =2V3-2W3+2+1 =3. ………6分 18.解原式=( 号-名)÷aa-a a-3 (a-1)1 =a-i‘a+1)a-①)a+1 …………4分 据题意可知a≠±1，a只能取0. 当a=0时，原式=0-3=3. 0+1 .6分 19.解：由题意可知，∠AFG=45°，CD=13.2m,FC=ED=1.2m,四边形BCFG和四边形CDEF都是矩 形， .'BG=FC=ED=1.2m,EF=CD=13.2m, 设AG的长为xm, 在Rt△AGP中，∠AFG=45°，.△APG是等腰直角三角形， ∴.FG=AG=xm,∴.EG=EF+FG=(13.2+x)m, 在Rt△AGE中，∠AEG=35°，tan∠AEG=EG AG =tan35°≈0.70， 即 即132+权心0.70，解得：X=308,经检验，X=30.8是原方程的解，且符合题意， ∴.AG=30.8m, ·……·…·。 ,4分 ∴.AB=AG+BG=30.8+1.2≈32(m). ….5分 答：雕塑AB的高度约为32米. .6分 20.解：(1)120÷40%=300（人），所以参加问卷调查的学生共有300人： 故答案为：300： ….2分 75 (2)m=300-120-50-75=55,扇形统计图中a的度数为360°×300=90°： 第1页共6页 故答案为：55,90°； 4分 (3)画树状图为： 开始 甲丙工甲 、个N 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学被选到的结果数为2， 所以同时选中甲、乙两名同学的概率P=立= 21 ……8分 21.解：(1)证明：，D,E分别为AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，∴.DE∥BC, DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形， 又，DF⊥BC,∴∠DFC=90°，.平行四边形DFCG是矩形： 4分 (2)解：，BF=DF=3,DG=FC=5,∴.BC=BF+FC=3+5=8, 由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， DB=1BC=4,CG=DF=3,∠G=90°， 2 ,'.EG=DG-DE=5-4=1, 在Rt△CGB中，CG-=3,G=1,∴.CB=cG2+EG2=√32+12=√10， ,E为AC的中点，.AC=2CE=2V10 ……….8分 22解：（1)设“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”的购进单价为2x元. 根据题意列分式方程得，600.900=30， x 2x 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意. 答：该商店“湘湘”的购进单价为5元. (2)“湘湘”的购进数量为600-120件，则“超超”的购进数量为120-30=90件， 设“超超”的售价为y元/件. 根据题意列一元一次不等式得，(10-5)×120+(y-10)×90≥1140， 解得y≥16. 答：“超超”的售价最低应定为每件16元. 9分 23.解：(1)证明：连接0M,如图， ,AM平分∠BAC,.∠BAM=∠CAM, .'OA=OM,.∴.∠CAM=∠OMA,∴.∠OMA=∠BAM, .∴.AB∥OM, ,∠B=90°，.∠0MC=90°，∴.0M⊥BC, ,0M为⊙0的半径， BC与⊙0相切： .3分 第2页共6页 (2)证明：连接OM,MF,如图， 由(1)知：OM⊥BC, ∴.∠OMC=90°，∴.∠OMF+∠CMF=90°. AF为⊙0的直径，.∠AMF=90°， ∴.∠AMO+∠OMF=90°，.∠AMO=∠CMF .OA=OM,.∠OAM=∠AMO,.∠CMF=∠OAM, :∠C=∠C,c,器-器∴af=cCn ………6分 (3)解：连接EF,OM,如图， 设⊙0的半径为r,则OF=OM=r,AF=2r,0C=OF+FC=r+4, 由(1)知：OM⊥BC, ac器-号=3.=6 ,AF为⊙0的直径，.∠AEF=90°，∴∠AEF=∠B=90°， &EF∥BC,·∠AE=∠C,sm∠AFE=smC=} ”m么烟=经小点告-号=妈 7 …….9分 24.解：(1)Q(q,2q,且[Q]=3 ..lql +12gl =3 ∴.lql=1 .k=q×2q=2q2=2 ∴反比例函数解析式为：y= ……………………………3分 (2)据题意有r=2s+5,s<0,Isl+rl=7 .lsl+12s+5引=7(*) ①当-≤s<0时，(*)式化为-s+2s+5=7,解得s=2(舍) ②当s<-时，(*)式化为-s-(2s+5)=7,解得s=-4 .点A坐标为(-4，-3) ………………………………………………4分 设点B坐标为(m,O), 1当B0=0A时，点B坐标为(-5,0)或(5,0)，[B]=5. 2当A0=AB时，点B坐标为(-8,0)，[B]=8. 3当BA=B0时，点B坐标为（客，0，回=得 综上得回=5或8或器 …………6分 第3页共6页 (3)据题意有=x2+bx+1有两个相等的解， y=x 即ax2+(b-1)x+1=0有两个相等实根 ∴.△=0，即(b-1)2-4a=0 ∴.4a=(b-1)2 又：点C在第一象限 好0 b-1>0 即 1>0 8之8=w=岩 点C坐标为(，1-) 2a,2a 又.2≤[C]≤4 :2≤片岁≤4且R≥0 (4a=6-1)2b<1 .-1≤b≤0 ……………………………………………7分 设点M,N坐标为M(x3,y3),N(x4,y4) 累题盒中g+1,可a2+b-1g-5=0的两个根为g:x 则，名十x4=出，xx4=-8 a 又，y3=x3+6,y4=x4+6 y3+y4=(x3+x4)+12,y3·y4=x3·x4+6(x3+x4)+36 又，以MN为直径的圆恰好经过点C .MN2=MC2+NC2,即 (x4-X3)2+(y4-y3)2=(x3-x1)2+(y3-y1)2+(x4-x1)2+(y4-y1)2 2 化简得+--18 4a2 又.4a=(b-1)2 818Q=,b=1-29 …………………9分 MN的中点H的坐标为(+4，+4+6)，即H(V3,V3+6) 2 2 .[H=2v3+6 ………10分 25.解：(1)连接OB,OC,如图， ,∠BOC=2∠BAC,∠BAC=45°， ∴.∠BOC=90°， E ,⊙0的半径为2， ∴.OB=OC=2, B ∴.在等腰直角△BOC中，BC=√2OB=2V2; 3分 第4页共6页 (2)在BE上截取BF=CE,连接AF,如图， .AE=AE ∴.∠ABE=∠ACE E 在△ABF和△ACE中， (AB=AC ∠ABE=∠ACE, B BF=CE ∴，△ABF≌△ACE(SAS), ∴.∠BAF=∠CAE,AF=AE .BE=AE+CE=BF+EF=CE+EF, .'.EF=AE, ∴.AF=EF=AE, ∴.△AEF为等边三角形， .∠AE=60°. .∠FAC+∠CAE=60°， .∠FAC+∠BAF=60°， 即∠BAC=60°； 6分 (3)结论：DcG 111 )理由如下：7分 连接AO交BC于点N设CD=a,CG=b, AB=AC, .AB=AC ·ANLBC,BN=NC-BC=1 在直角△ANB中，AB=V10,BN=1 ∴.AN=3 在直角△ANG中，NG=1+b ∴.AG2=AN2+NG2=9+(1+b)2 ①若AE与AN不共线时， 在直角△AND中，AD2=AN2+DN2=9+(a-1)2 .CE-CH ∴.∠EAC=∠GAC.过点C作CQ⊥AG于点O,CH⊥AE于点H, 第5页共6页 ..CH=CO ·S△ACD ADXCH CDXAN SAACG AG×CQ CGXAN :0 CD AG CG O AG2 CG2 即= b2 DN .10b2+a2b2-2ab2=a2b2+2ba2+10a2 E ∴.10(a2-b2)+2ab(a+b)=0 话号 小品品 9分 ②若AE与AN共线时，由以上解答得AN=3,NC=1,AG2=AN2+NG2=9+(1+b)2 由角平分线定理得=别 AG-CG 器 “g= .4b2-b-5=0, 解得b=1(含)，0-号 1-11 "a b 5 综上，品 10分 备注：此题第(3)问，也可以以点C为原点，BC为横轴，建立直角坐标系，点A(-1,3),点D(-a,0), 点G(b,O),再利用两点之间的距离公式求AD,AG之长，然后利用角平分线的性质得出等式，从而得出 结果。 第6页共6页