专题07 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题07 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 考点01分类加法计算原理 考点02分步乘法计数原理及简单应用 考点03数字排列问题 考点04涂色问题 考点05全排列问题 考点06元素（位置）有限制的排列问题 考点07相邻问题的排列问题 考点08不相邻排列问题 考点09分配分组问题 考点10其他组合计数模型 考点01 分类加法计算原理 1．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（   ） A．所有可能的方法有种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有9种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BD 【详解】对于A，每位同学都有4个工厂可选，由分步计数原理，总情况数为，故A错误； 对于B，假设1名同学去甲工厂，有3种情况，剩下2名同学都有3个工厂可选，故情况数为：； 假设2名同学去甲工厂，有3种情况，剩下1名同学有3个工厂可选，故情况数为：； 假设3名同学去甲工厂，有1种情况.则由分类计数原理，可得满足题意的情况数有：，故B正确； 对于C，剩下两名同学均有4个工厂可选择，由分步计数原理，总情况数为，故C错误； 对于D，A同学有4个工厂可选，B同学有3个工厂可选，C同学有2个工厂可选，则总情况数为： .故D正确. 2．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)9 (2)20 【详解】（1）解：从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是． （2）解：从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是． 3．下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 【答案】BD 【详解】对于A，分步乘法计数原理要求每一步都完成，才能说任务完成，故A错误； 对于B，从书架上任取数学书、语文书各1本，完成这件事需要分两步：第一步取1本数学书， 有若干种取法；第二步取1本语文书，故应是分步计数问题，故B正确； 对于C，任务“从甲地经丙地到乙地”，分为从甲地到丙地， 再从丙地到乙地两步完成，是分步计数问题，故C错误； 对于D，分类加法计数原理中的每一类方法都能一次性地完成任务， 故可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，即D正确. 故选：BD. 4．如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】260 【详解】分为两类：第一类：若，同色，则有5种涂法，有4种涂法，有1种涂法（与相同），有4种涂法． 故． 第二类：若不同色，则有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，有3种涂法． 故（种）． 综上可知不同的涂法共有（种）． 5．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【详解】由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 考点02分步乘法计数原理及简单应用 6．用这九个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一步：确定个位数字， 要组成三位奇数，个位必须是奇数，即从这个数字中选个，有种选择； 第二步：确定百位数字， 个位已经用了个数字，剩下个数字可选，但百位不能为（这里数字范围是，所以只需排除已用的个数字），因此有种选择； 第三步：确定十位数字， 个位和百位各用了个数字，剩下个数字可选，有种选择， 所以，根据分步乘法计数原理，总个数为：． 7．今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号1、2、3、4、5的五个信封，现将五封信任意装入五个信封中，每个信封内装一封信，那么恰有一封信与信封标号一致的情况有______种． 【答案】45 【详解】从5封信中选1封，使其与信封标号一致的选法有种； 剩余4封信都不装在对应信封的情况 设这4封信的标号分别为1、2、3、4，对应的信封标号也为1、2、3、4； 当1号信不装在1号信封时，1号信有3种装法（可装在2、3、4号信封）； 若1号信装在2号信封，此时分两种情况： 若2号信装在1号信封，那么3号信只能装在4号信封，4号信只能装在3号信封，共1种情况； 若2号信不装在1号信封，2号信有2种装法（可装在3、4号信封）： 当2号信装在3号信封时，3号信只能装在4号信封，4号信只能装在1号信封； 当2号信装在4号信封时，4号信只能装在3号信封，3号信只能装在1号信封；共2种情况， 综上，共有3种情况. 同理，当1号信装在3号信封和1号信装在4号信封时，各有3种情况. 所以，剩余4封信都不装在对应标号信封的情况共有种； 根据分步乘法计数原理，恰有一封信与信封标号一致的情况有种. 8．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 【答案】61 【详解】将三个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，共有种放法， 若5号盒子中没有球，则每个球只能放入1，2，3，4号盒子，共有种放法， 则5号盒子中至少有一个球的放法有种. 9．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 【答案】12 【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有6+6=12种. 10．已知乘积展开后共有36项，则的值为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】因为第一个括号有2项， 第二个括号有3项， 第三个括号有n项， 所以展开式共有项，所以. 考点03数字排列问题 11．用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（    ）个 A．504 B．648 C．720 D．1000 【答案】B 【详解】先排百位数字共有9种可能，再排个位数字和十位数字，共有种， 由分步计数原理得，共有 12．从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成___________个没有重复数字的四位数． 【答案】1440 【详解】由题可得能组成满足要求的没有重复数字的四位数个数有 13．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有__________个. 【答案】10 【详解】能被5整除的三位数末位数字是0或5， 当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数， 当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，因此一共有个. 14．将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将四个数组成没有重复数字的四位数， 从小到大排列：， 所以第个四位数是. 15．用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（   ） A．24 B．12 C．36 D．6 【答案】A 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为从1，2，3，4四个数字中取出三个数字的排列的个数即个， 考点04涂色问题 16．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 17．（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由区域相邻关系，与、相邻，与、、相邻， 与、、相邻，与、相邻. 区域有种颜色可选，区域与相邻，有种颜色可选，区域与、均相邻， 有种颜色可选，区域仅需与、颜色不同，有种颜色可选. 所以方案数为. （2）先不考虑“3种作物全部种植”的限制，仅满足相邻试验田作物不同的条件： 第1块田有种作物可选，后续每块田只需与左侧相邻田作物不同， 各有种选择，总方法数为. 从种作物中选种，有种选法，种作物交替种植仅种方式， 故仅种种作物的方法数为. 所以方案数为. 18．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________. 金 榜 题 名 【答案】84 【详解】根据题意，分3步进行分析： ①先给最上面“金”着色，有4种结果， ②再给“榜”着色，有3种结果， ③给“题”着色，若其与“榜”同色，则给“名”着色，有3种结果； 若其与“榜”不同色，则给“题”着色有2种结果，然后给“名”着色，有2种结果， 根据分步计数原理知共有种结果. 19．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 【答案】 1024； 48 【详解】空一：每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择， 则有种不同涂法； 空二：若同色：先涂有4种，然后涂有种， 此时共有种； 若不同色：先涂有种，然后涂有种，最后涂有1种， 此时共有种. 综上，共有种. 20．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】C 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 考点05全排列问题 21．6个人站成一排，甲、乙、丙三人不都站在一起，有______种排法．（结果用数值表示） 【答案】576 【详解】求出6人站成一排，有种排法， 把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有种排法， 因此甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为. 22．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】A 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为 种. 23．2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 【答案】(1)5040 (2)720 (3)480 【详解】（1）甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人， 即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有. （2）甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有. （3）甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法， 其余六名志愿者除乙丙之外的四人有种排法，这四人排好后形成5个空，再从这5个空中选2个空排乙丙，有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法有. 24．现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 【答案】 【详解】. 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 所以一共有种情形. 故答案为： 25．在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 【答案】B 【详解】法本题相当于将6位同学排列到6个不同的位置，排列数即为6位同学的全排列数，故总排列数为； 法2：排队分为三步，第一步从6人中选1人排列，排列数为，第二步从剩下的5人中选2人并排列，排列数为， 第三步在前两排选完后，将剩下的3人排列，排列数为；故总排列数为. 故选：B. 考点06元素（位置）有限制的排列问题 26．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确. 27．甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______不同的情况．（用数字作答） 【答案】384 【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 先排乙，有第二、三、四、五名4种情况， 再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有4种情况， 其他四名同学排在四个位置，全排列有种，由分步乘法计数原理可知共有种． 28．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 29．4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有多少种不同的站法. 【答案】种 【详解】将4名男生和2名女生站成一排共有种， 其中男生甲站在最左端有种，女生乙站在最右端有种， 男生甲站在最左端且女生乙站在最右端有种， 综上，满足条件的不同站法有种. 30．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 考点07相邻问题的排列问题 31．有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 【答案】B 【详解】由题意，先让3人坐定，有种方法， 然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法， 因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 32．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 【答案】600 【详解】若四大名著中恰有3本相邻，先从四本名著中选出3本捆绑在一起，3本名著先进行全排列， 再从5个空中选择两个进行插空，有种插法， 若四大名著中4本均相邻，4本名著进行捆绑，进行全排列，再从5个空中选1个插空， 有种插法， 故不同的插法共有种. 33．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男、女各站在一起，共有24种排法 B．男生不能排在一起，共有54种排法 C．男生必须排在一起，共有48种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 【答案】ACD 【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ，A正确， 在B选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，B错误， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C正确， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 34．有6个座位连成一排，安排3个人就座，则恰有2个人相邻的不同坐法共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．432种 【答案】A 【详解】第一步先从三人中选择两人捆绑作为一个整体并进行内部排列，有种方法， 第二步剩下的三个空位中产生四个空隙，将捆绑的两人及剩下的人连同座位插入空隙共种方法， 故由分步乘法计数原理，共有种方法. 35．3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． (1)其中甲必须排在中间的排法有多少种？ (2)如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ (3)如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 【答案】(1)720 (2)720 (3)3600 (4)432 【详解】（1）因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有种， 故甲必须排在中间的排法有720种. （2）将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有种， 3个女生内部全排列有种， 故女生必须全排在一起有种. （3）7人全排列，排法有种， 将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有种， 女生甲和男生乙内部交换位置有种，故女生甲和男生乙相邻的排法有种， 故女生甲和男生乙不能相邻的排法有种. （4）从3个女生中选出2个的选法有种，从4个男生中选出2个的选法有种， 选2个女生和2个男生的选法有种， 将选出的4人全排列有种， 故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有种. 考点08不相邻排列问题 36．某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【详解】若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有种，A正确； 若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有种，B正确； 若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有种，C错误； 甲5月1日值班与乙5月5日值班不同的安排方法数之和为种，甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法有种， 所以若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有种，D正确. 37．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 【答案】432 【详解】先排4个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）, 步骤2：将2个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻， 只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，有种方法， 故不满足条件的情况有，故总数为：. 38．某学校组织学科竞赛集训与选拔工作. (1)组委会将13个相同的集训推荐名额分配给6个参赛小组，每个小组至少分配1个名额，共有多少种不同的分配方法？ (2)现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，共有多少种不同的分配方法？ (3)学科竞赛集训与选拔工作结束后，10名工作人员（包含指导教师甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)792 (2)540种． (3)86400种． 【详解】（1）由隔板法可知，不同的分配方法种数为. （2）将6名指导教师分成3组，当这3组的人数为1，1，4时，有种不同的分配方法； 当这3组的人数为1，2，3时，有种不同的分配方法； 当这3组的人数为2，2，2时，有种不同的分配方法. 故不同的分配方法共有种. （3）将甲、乙、丙三人进行捆绑，与除丁、戊、戌三人以外的4人进行全排列，然后将丁、戊、戌三人进行插空排列， 则不同的排法种数为种． 39．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B 40．游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（    ） A．336 B．120 C．56 D．24 【答案】D 【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车， 故选：D. 考点09分配分组问题 41．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确. 对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人）， 再将4组分配至4项工作，所以总方法数为， B选项错误. 对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式. 分组的有效分组数为，分组的有效分组数为， 总方法数为， C选项错误. 对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论： 司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为； 司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为. 总方案数为，D选项正确. 42．某市派4位专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少去1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为______. 【答案】14 【详解】将4名专家分为2组，有3+1与2+2两种情况，共有种不同的分组方法， 再将这2组分给2家医院，有种不同方法， 所以，根据分步乘法计数原理，共有种不同的分配方案. 43．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 44．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 【答案】A 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 45．下列说法正确的是（   ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 【答案】ABD 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A正确； 对于B，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故B正确； 对于C，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有， 所以共有种，故C错误； 对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确. 考点10其他组合计数模型 46．已知，关于方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，该方程有15组解 B．当时，该方程的解满足的概率为 C．当时，该方程有35组解 D．当时，该方程有495组解 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，中有3个2，2个1， 所以该方程解的组数为，故A错误； 对于B，因为中有3个2，2个1，且， 所以，，，中有2个是1，1个是2， 所以所求概率为，故B正确； 对于C，当时，相当于在8个1之间的7个空隙中选4个插入4个隔板， 把8个1分为5部分，各部分1的个数分别为的值， 所以解的组数为，故C正确； 对于D，当时，设，则，且， 相当于在13个1之间的12个空隙中选4个插入4个隔板，把13个1分为5部分， 各部分1的个数分别为的值， 所以解的组数为，故D正确． 47．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 48．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）6名志愿者中选出3人属组合问题，不同的选择方法有种； （2）选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种； （3）选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法有种； 49．斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 【答案】 【详解】， 由数列，得每隔三项为奇数、偶数、奇数，不断重复出现， 则中奇数项有1350个，偶数项有675个， 由且，得集合的非空子集个数为个， 而中所有元素之和为奇数的集合个数为 则中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： 50．定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．64个 B．57个 C．56个 D．54个 【答案】D 【详解】当四个数中只有两个数相同，先确定重复的数，有种情况，再排序有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有 当四个数中只有两对数时，先选2个不同的数，有种情况，再对两对数排序，有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有种情况； 当四个数中有三个数相同时，先选出两个数，再从选出的两个数中选出重复的数，有种情况，再排序，有种情况（排除单调排列2种），故有种情况； 所以总方法数有． 故选：D 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 考点01分类加法计算原理 考点02分步乘法计数原理及简单应用 考点03数字排列问题 考点04涂色问题 考点05全排列问题 考点06元素（位置）有限制的排列问题 考点07相邻问题的排列问题 考点08不相邻排列问题 考点09分配分组问题 考点10其他组合计数模型 考点01 分类加法计算原理 1．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（   ） A．所有可能的方法有种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有9种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 2．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 3．下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 4．如图有四个编号为的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 5．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（    ） A．5 B． C．7 D．8 考点02分步乘法计数原理及简单应用 6．用这九个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（   ） A． B． C． D． 7．今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号1、2、3、4、5的五个信封，现将五封信任意装入五个信封中，每个信封内装一封信，那么恰有一封信与信封标号一致的情况有______种． 8．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子内，则5号盒子中至少有一个球的放法有________种. 9．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 10．已知乘积展开后共有36项，则的值为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 考点03数字排列问题 11．用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（    ）个 A．504 B．648 C．720 D．1000 12．从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成___________个没有重复数字的四位数． 13．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有__________个. 14．将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 15．用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（   ） A．24 B．12 C．36 D．6 考点04涂色问题 16．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    17．（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 18．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________. 金 榜 题 名 19．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 20．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 考点05全排列问题 21．6个人站成一排，甲、乙、丙三人不都站在一起，有______种排法．（结果用数值表示） 22．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 23．2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 24．现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 25．在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 考点06元素（位置）有限制的排列问题 26．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 27．甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______不同的情况．（用数字作答） 28．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 29．4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有多少种不同的站法. 30．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 考点07相邻问题的排列问题 31．有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 32．《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 33．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男、女各站在一起，共有24种排法 B．男生不能排在一起，共有54种排法 C．男生必须排在一起，共有48种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 34．有6个座位连成一排，安排3个人就座，则恰有2个人相邻的不同坐法共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．432种 35．3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． (1)其中甲必须排在中间的排法有多少种？ (2)如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ (3)如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 考点08不相邻排列问题 36．某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 37．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 38．某学校组织学科竞赛集训与选拔工作. (1)组委会将13个相同的集训推荐名额分配给6个参赛小组，每个小组至少分配1个名额，共有多少种不同的分配方法？ (2)现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，共有多少种不同的分配方法？ (3)学科竞赛集训与选拔工作结束后，10名工作人员（包含指导教师甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？ 39．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 40．游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（    ） A．336 B．120 C．56 D．24 考点09分配分组问题 41．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 42．某市派4位专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少去1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为______. 43．将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 44．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 45．下列说法正确的是（   ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 考点10其他组合计数模型 46．已知，关于方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，该方程有15组解 B．当时，该方程的解满足的概率为 C．当时，该方程有35组解 D．当时，该方程有495组解 47．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 48．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 49．斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 50．定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．64个 B．57个 C．56个 D．54个 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $