专题06 导数在研究函数中的应用（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题06 导数在研究函数中的应用 考点01利用导数求函数的单调区间 考点02由函数的单调区间求参数 考点03求已知函数的极值 考点04由导数求函数的最值 考点05函数单调性、极值及最值的综合应用 考点06利用导数研究不等式恒成立问题 考点07利用导数研究能成立问题 考点08利用导数研究方程的根 考点09利用导数研究函数的零点 考点10利用导数研究函数的图像及性质 考点01 利用导数求函数的单调区间 1．已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间． 3．已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 4． 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数的极值． 考点02由函数的单调区间求参数 6．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 7．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是______． 9．定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 ______________ 10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点03求已知函数的极值 11．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)求的单调区间与极值． 12．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 13．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； 14．已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 15．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 考点04由导数求函数的最值 16．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 18．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 19．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 20．已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 考点05函数单调性、极值及最值的综合应用 21．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 22．已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 23．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 25．已知曲线与直线有且仅有两个不同的交点，，且.（其中是自然对数的底数） (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 考点06利用导数研究不等式恒成立问题 26．函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．恒成立，则的取值范围是________.． 28．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值 B．只有一个零点 C． D．若在上恒成立，则 30．已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 考点07利用导数研究能成立问题 31．已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 32．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 33．已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 考点08利用导数研究方程的根 36．已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 37．若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于点P对称 C．若方程有三个实数根，则 D．过原点有两条直线与曲线相切 39．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 40．已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 考点09利用导数研究函数的零点 41．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：） (3)请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案） 42．已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 43．设函数，则（   ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极小值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在上无最大值，则的取值范围为 44．已知函数，则（   ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有3个零点 45．已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 考点10利用导数研究函数的图像及性质 46．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围； (3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 47．已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 48．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．在上有两个极值点 B．在处取得最大值 C．在处取得最小值 D．在上有三个不同的零点 49．设，，，两个函数的图象如图所示. (1)判断，的图象与，之间的对应关系； (2)根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明. 50．已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数在研究函数中的应用 考点01利用导数求函数的单调区间 考点02由函数的单调区间求参数 考点03求已知函数的极值 考点04由导数求函数的最值 考点05函数单调性、极值及最值的综合应用 考点06利用导数研究不等式恒成立问题 考点07利用导数研究能成立问题 考点08利用导数研究方程的根 考点09利用导数研究函数的零点 考点10利用导数研究函数的图像及性质 考点01 利用导数求函数的单调区间 1．已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以，则； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以，则. 所以； 设函数（），对其求导， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以， 所以，即. 综上可得：． 故选：D 2．已知函数的图象在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)，. (2)单调增区间为和，单调减区间为． 【详解】（1）由题意可知， 已知函数图象在处的切线方程是， 所以，， 解得，． （2）由（1）可知，的解析式为， 则， 令，解得或， 令，解得或，则函数在和上单调递增， 令，解得，则函数在上单调递减， 综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为． 3．已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 4． 已知函数. (1)若在处的切线斜率为，求切线方程. (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以，则，所以， 所以，所以， 切线方程为：，即． （2）因为，所以， 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由，得；由，得， 此时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，递增区间为． 5．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数的极值． 【答案】(1)答案见解析 (2)极大值为，极小值为． 【详解】（1）函数的定义域为，因为，则， ①当时，，原函数在上单调递增； ②当时，，解得，当，，在单调递增， 当，，在单调递减． （2），定义域为， ， 令，可得或， 随x的变化情况列表如下： x 1 2 + 0 ﹣ 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极大值为， 极小值为． 考点02由函数的单调区间求参数 6．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 7．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 8．若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意可知在上，， 因为且，所以，则， 由此有：（1）； （2）． 当时，为常函数，所以， 综上所求：． 故答案为： 9．定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 ______________ 【答案】 【详解】由题意得，则在上单调递减， 令，则， 则，则，故， 令，则， 故在上单调递增，故， 则，故， 故实数的取值范围为. 故答案为： 10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 考点03求已知函数的极值 11．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的解析式； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1)； (2)函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；函数的极小值，极大值为. 【详解】（1）在中，令，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 又因为直线的斜率为-2， 所以， 解得， 所以； （2）因为， 所以， 令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 所以当时，函数取极小值，为 ， 当时，函数取极大值，为. 12．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 13．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. (2). 【详解】（1）由题意，令，则， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极大值点，极大值为，无极小值. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. （2）由题意得在上有两个零点， 即在上有两个不同的正根， 即，，两边取对数得， 即，整理得， 即有两个不同的正根， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，，且， 所以当，即时，有两个不同的正根， 故的取值范围是. 14．已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)极小值0，无极大值； (2). 【详解】（1）当时，，则， 时，，即单调递减；时，，即单调递增； 故在处有极小值，无极大值， 所以有极小值0，无极大值. （2）由题意得，，令， 易得在为增函数， ①若，即时， 则时，所以单调递增， 故，符合题意； ②若，即时， ， 故存在，使得， 时，即，单调递减；时，即，单调递增， 故时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 15．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 【答案】ABD 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值， 所以A正确，B正确，C错误； 又由时，可得， 且当时，，当时，， 要使得有两个实数根，即与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 考点04由导数求函数的最值 16．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 17．已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)在上的最小值为，最大值为. 【详解】（1），， 当时，有极小值0，， ，， ，， 的解为或， 在上是单调递增函数； 的解为， 在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故； （2），，， 又，在上的解为， 在上是单调递增函数； 在上的解为， 在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， ，在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 18．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． （2）若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 19．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 20．已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)或. 【详解】（1）当时，，对求导得. 设切点为，则切线斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为. 因为切线过点，所以将代入切线方程得： ，即 因为恒成立，所以，解得. 则切线斜率，切线方程为. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 （与矛盾舍去）. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 考点05函数单调性、极值及最值的综合应用 21．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故， 求解可得， 求解即，解得. 综上得到. 22．已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； (2) 【详解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 23．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 24．若恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 25．已知曲线与直线有且仅有两个不同的交点，，且.（其中是自然对数的底数） (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为曲线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以关于的方程有且仅有两个不同的实数根， 即有且仅有两个不同的实数根. 令，则，又，由得， 所以时，，单调递减； 时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值，要使有两个零点， 则，即，解得， 当时，得，则在区间上有且只有一个零点； 当时，， 设，则，所以在上单调递增， 则，所以， 则在上有且只有一个零点，故有且仅有两个零点， 实数的取值范围为：. （2）由（1）可知：，分别为函数的两个零点，不妨设， 要证，即证， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，故只需证明，而， 所以只需证，令，且 所以，， 所以在上单调递减，， 所以在上恒成立，即， 综上所述：. 考点06利用导数研究不等式恒成立问题 26．函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 在中，若恒成立， 设的解为，此时需同时成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴， 在中，， 令，得， 当即时函数单调递减， 当即时函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∴， 故选：A. 27．恒成立，则的取值范围是________.． 【答案】≥ 【详解】因为，所以令， 则，即恒成立. 设，则. 当时，；当时，. 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 要使得不等式恒成立，则，解得. 故答案为：. 28．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 29．对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值 B．只有一个零点 C． D．若在上恒成立，则 【答案】ABC 【详解】A选项，已知，则，， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，极大值，所以A正确； B选项，由A知，在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 当时，恒成立， 由零点存在性定理得上存在唯一零点， 所以只有一个零点，所以B正确； C选项，因为在上单调递减，， 所以，所以C正确； D选项，当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在上取得极大值，也是最大值，最大值， 则，所以D错误. 故选：ABC. 30．已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，，则，， 所以，函数的图象在处的切线方程， 即； （2）若恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 即实数的取值范围为. （3），则. ，当时，. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值. 又，， ，则， 在上的最小值是. 又在上有两个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 考点07利用导数研究能成立问题 31．已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 32．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）∵， ∴， ①当时，，在上单调递增， ②当时，由得， 令得；令得； ∴在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）方法一： 当时，恒成立， 即恒成立，令，只需， ， 令，， 当时，，单调递增， ∵，， ∴，使得，即， 令，则， ∵，∴时单调递增， ∴，即，① 时，，，单调递减， 时，，，单调递增， 故在处取得最小值， 结合①可得， ∴，解得； 方法二： 令，则，令得， ∴，单调递减；，，单调递增， ∴，即，①当且仅当时等号成立， ，， 由①知当且仅当时等号成立， 令，，，在上单调递增， ，， ∴，使得， ∴当即时，，∴恒成立， 当时，∵，∴， 则必有， ∴使得不符合题意， 综上可知，. 33．已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数与（）的图象上存在关于对称的点，∴有解，∴，∴在上有解，令，，在上单调递减，单调递增，， ， 故选：C. 34．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 35．若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】AB 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：AB 考点08利用导数研究方程的根 36．已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 当时；当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 方程解的个数，转化为与交点的个数， 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，解得.且时，；时，，    所以，当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，令，则在上恒成立， 得在上单调递增， 故，故在上单调递增. 所以，从而命题得证. 37．若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为函数具有“凹凸趋向性”， 所以关于的方程在上有2个不同的实数根， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是， 当时，，当时，，当时，， 所以. 故选：B. 38．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于点P对称 C．若方程有三个实数根，则 D．过原点有两条直线与曲线相切 【答案】AD 【详解】对于A：， 当或时，，当时，， 易知在处取得极大值，在处取得极小值，有两个极值点，即A正确； 对于B：因为，即在的图象上，点关于点的对称点为，但， 所以的图象不关于点对称，B错误； 对于C：由A知，要使若方程有三个实数根，则需，得，C错误； 对于D：设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线过原点，所以有， 又，所以， 解得，或， 故过原点有两条直线与曲线相切，D正确. 故选：AD 39．已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 40．已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题，设过点与曲线相切的切线的切点为， 则切线斜率或， 所以切点为或， 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为； 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或； （2）令，， 由得或；由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 在处取得极大值，在处取得极小值. 又有三个不同的实根，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 考点09利用导数研究函数的零点 41．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：） (3)请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)2条；1条；3条，理由见解析. 【详解】（1）， ，， 所以切线方程为． （2）． ，令，解得； 所以，x，，的关系如下表： x 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为； 因为，所以， 因为，， 根据零点存在定理，在，，上各自存在一个零点，得证. （3）分别有2条；1条；3条.理由如下： ，设切点为，则切线斜率为， 切线方程为， 因为切线过点，故， ，即， 令， 则 ，， 其中令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 故由零点存在性定理得在上分别存在一个零点， 故过点且与曲线相切的直线有2条； 同理，切线过点时，故， 即， 令， 故，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递减， 其中，，， 由零点存在性定理得在上存在唯一零点， 故过点且与曲线相切的直线有1条； 同理，当切线过点时，故， 即， 令， ，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， ， 由零点存在性定理得在，，内分别有1个零点， 故过且与曲线相切的直线有3条. 42．已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．直线是曲线的切线 【答案】BD 【详解】函数定义域为R，但， 所以不是奇函数，故A错误； 由函数，可得，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数极大值，极大值为， 当时，函数极小值，极小值为， 又由当无限趋向于负无穷大时，，且函数连续不间断， 所以函数在上有且仅有一个零点，所以B正确，C不正确； 当时，可得， 所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确. 故选：BD. 43．设函数，则（   ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极小值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在上无最大值，则的取值范围为 【答案】AD 【详解】对于选项A： 当时，. 对函数求导得：. 当时，，此时在上单调递减； 当或时，，此时在上单调递增. 因为，， 画出图象为： 由图象可知函数有两个零点，所以A正确. 对于选项B： 对函数求导得：. 因为，所以当时，，所以函数在上单调递减； 当或时，，所以函数在上单调递增. 又，所以不是函数的极值点.所以B错误. 对于选项C： 当时，， . 所以点是曲线的对称中心，而不是，所以C错误. 对于选项D： 因为， 因为，所以当时，，所以函数在上单调递减； 当或时，，所以函数在上单调递增. 因为，. 所以要使得在上无最大值，则.所以D正确. 故选：AD. 44．已知函数，则（   ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有3个零点 【答案】AB 【详解】对于A，，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，即，，有2个零点，故B正确，D错误； 对于C，，关于对称，故C错误. 故选：AB. 45．已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，则， 故，， 则切线方程，即. （2）由在具有两个零点， 则具有两个零点， 设， 则，令则， 所以，，在单调递增， ，，在单调递减， 所以，又，， 因为的图象与有两个点，所以. 考点10利用导数研究函数的图像及性质 46．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围； (3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 【答案】(1) (2) (3)2025 【详解】（1）因为 所以所求切线的斜率，又因为切点为 所以所求的切线方程为. （2）因为，所以. 因为在上有解， 所以不小于在区间上的最小值. 因为时，， 所以的取值范围是. （3）因为，所以. 令可得，所以函数的对称中心为， 所以当时，有， 所以. 47．已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. （2）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 48．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．在上有两个极值点 B．在处取得最大值 C．在处取得最小值 D．在上有三个不同的零点 【答案】AC 【详解】，得或， ，解得或，，解得， 所以函数的单调递增区间是和，减区间是， 所以在上有两个极值点，取得极大值，，处取得极小值，， ， 当时，恒成立，且，， 所以处不能取得最大值，处取得最小值，故AC正确，B错误； ，即，，所以有2个零点，故D错误. 故选：AC 49．设，，，两个函数的图象如图所示. (1)判断，的图象与，之间的对应关系； (2)根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明. 【答案】(1)答案见解析； (2)，证明见解析. 【详解】（1）函数，，求导得，， 当时，；当时，； 当时，，函数，在上都是增函数， 在区间上，的图象比的图象要“陡峭”； 在区间上，的图象比的图象要“平缓”， 所以函数，的图象依次是图中的，. （2）由（1）及图象知，， 设，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以. 50．已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值，作图见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意，由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值； 由的单调性及，，， 当时，函数的图象在轴下方，随着的减小，的图象无限接近轴， 所以的大致图象如下． （2）由（1）中函数图象可得， 当时，方程的解个数为0个； 当或时，方程的解个数为1个； 当时，方程的解个数为2个． （3）由，可得， 即，进一步变形为， 令，则， 显然在上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，令，， ，令，得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，则， 即实数的取值范围是． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $