专题02 等差数列（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

专题02 等差数列 考点01等差中项的应用 考点02求等差数列前n项和 考点03由sn求通项公式 考点04两个等差数列的前n项和之比 考点05求等差数列前n项和的最值 考点06根据等差数列前n项和的最值求参数 考点01 等差中项的应用 1．在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 2．已知数列满足，，且当 时，有， (1)求； (2)若数列中，求 3．已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（    ） A． B． C． D． 4．已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 5．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前n项和，若，则下列结论中正确的有（　　） A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值 考点02求等差数列前n项和 6．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 7．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 8．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 9．等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为 10．已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 考点03由sn求通项公式 11．已知数列的前项和满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 12．已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 13．若数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 14．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 15．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 考点04两个等差数列的前n项和之比 16．已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 17．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 18．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________． 19．等差数列，的前项和分别为与，且，则__________． 20．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 考点05求等差数列前n项和的最值 21．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 22．设为等差数列的前n项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； (3)若数列的通项公式，求证： 23．已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为__________. 24．记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16 25．已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 考点06根据等差数列前n项和的最值求参数 26．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 28．已知各项均不为0的数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若对于任意成立，求实数的取值范围． 29．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 30．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列 考点01等差中项的应用 考点02求等差数列前n项和 考点03由sn求通项公式 考点04两个等差数列的前n项和之比 考点05求等差数列前n项和的最值 考点06根据等差数列前n项和的最值求参数 考点01 等差中项的应用 1．在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 2．已知数列满足，，且当 时，有， (1)求； (2)若数列中，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为当 时，有，可知数列为等差数列，设公差为d， 由题意可得：，解得， 所以. （2）由（1）可得：， 当时，则 ， 即， 且也满足上式，所以. 3．已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，，成等差数列，则， 由于，则， 故选：D. 4．已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）中令得：， 故正项数列中，，即， 当时，，即， 整理得，又， 因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，因为是正项数列，即，所以. 当时，，又满足此式， 即，都有； （2）不存在，理由如下： 由（1）中可得：， 假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 则，即， 两边平方，得，即， 整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项. 5．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前n项和，若，则下列结论中正确的有（　　） A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值 【答案】ABD 【详解】解：，， ， ，，数列是递减数列，且公差，故选项A、D正确，选项C错误； 又，选项B正确， 故选：ABD． 考点02求等差数列前n项和 6．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，. (2)，. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 7．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，，， ，， 联立，解得， 所以， 的通项公式； （2），，， ，， 数列是以为首项，8为公差的等差数列， ， ，，， ，为正整数，， 正整数的最小值10. 8．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】B 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 9．等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为 【答案】ABC 【详解】由可得，故， 由于是递增数列，故，，故A正确，B正确， 进而可得当时，，当时， 因此或时，取得最小值，C正确， 由于，故当时，，因此时n的最小值为6，D错误， 故选：ABC 10．已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则， 故， 所以； （2），所以. 考点03由sn求通项公式 11．已知数列的前项和满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 又满足上式，故， 则数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则 12．已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 13．若数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，； 也满足；故的通项公式为. 所以， 则. 故选：D 14．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 15．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 考点04两个等差数列的前n项和之比 16．已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 17．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别是等差数列与的前项和，所以，同理可得：， 因为，所以 故选：C 18．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 19．等差数列，的前项和分别为与，且，则__________． 【答案】 【详解】数列，均为等差数列，． ，， 根据等差数列前项和，可设， ， 对于数列，当时，， 当时，， 显然当时，也满足，故， 同理可得， 故． 故答案为：． 20．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 考点05求等差数列前n项和的最值 21．已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 22．设为等差数列的前n项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； (3)若数列的通项公式，求证： 【答案】(1) (2)，，最大值为16 (3)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得： 所以，解得， 所以； （2）法一：由得，又等差数列的公差， 所以等差数列是递减数列，因为，所以等差数列前4和最大， 此时； 法二：因为， 所以当时，取到最大值. （3） ， 因为，所以，即. 23．已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为__________. 【答案】7 【详解】因为是等差数列，且， 所以， 即， 又，， ，又，故， 所以当时，，当时，， 所以取得最大值时，的值为7． 故答案为：7． 24．记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16 【答案】AC 【详解】因为，则，公差， 当时，；当时，，所以当时，取得最大值． ，所以使得成立的最大自然数是15． 故选：AC． 25．已知是等差数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式. (2)判断是否为等差数列. (3)为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为4时，取得最大值，最大值28． 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）因为，所以， 所以是以为公差的等差数列； （3）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 考点06根据等差数列前n项和的最值求参数 26．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 27．已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 【答案】ABD 【详解】在等差数列中，由为， 可得， 所以，可得 又由，所以A正确，B正确； 由，所以，所以C错误； 由且，可得当时，；当时，， 所以，当时，取最大值，所以D正确. 故选：ABD. 28．已知各项均不为0的数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若对于任意成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得， 两式相减得， 因为，故， 所以及均为公差为4的等差数列： 当时，由及，解得， 所以，， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，可得， 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 当，即时， 当，即时， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为. 29．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】C 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 30．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $