专题11 二项分布与超几何分布（高效培优期中专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题11 二项分布与超几何分布 考点01二项分布的均值 考点02利用二项分布求分布列 考点03服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点04建立二项分布模型解决实际问题 考点05超几何分布的均值 考点06超几何分布的方差 考点01 二项分布的均值 1．已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 2．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 3．下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取,,,,，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．已知，则 D．已知随机变量，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由随机变量等可能取，得， 则，，A正确； 对于B，随机变量的概率分布为， 则，解得，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，由随机变量，得，则，D正确. 故选：ACD 4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． (1)估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； (2)从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； (3)为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 【答案】(1)平均分为，入围分数线估计为分 (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知平均分为：， 因为，前三个矩形面积之和为， 故第百分位数为，即入围分数线估计为分． （2）由题意知，所以. （3）设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”， 则，，，， 所以， 因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为． 5．一个袋子中装有质地大小完全相同的10个小球，其中红球6个，白球4个，现依次摸出3个小球，每次摸出一个小球作为一个样本． (1)若采用不放回摸球，求第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率； (2)若采用有放回摸球，求摸出的球是白球的数学期望和方差． 【答案】(1) (2)1.2；0.72 【详解】（1）设第一次摸出红球为事件A，摸到白球为事件B， ， ， 所以第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率为． （2）设X表示摸出的样本中白球的个数， 对于有放回摸球，每次摸到白球的概率相等，都是0.4，且各次之间相互独立， 所以，，                         考点02利用二项分布求分布列 6．为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. (1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； (2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）记事件A为“这款设备的产需率大于100%”. 由表中数据，这款设备的产需率大于100%的年份为2015年，2017年，2020年，2023年，共4年. 所以. （2）由表中数据，从2017-2022年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2017年，2020年，共2年. 的所有可能的取值为0，1，2. ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望. （3）用频率估计概率，该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的，则在未来每年产需率大于100%的概率为. 在未来的年份中任取3年产需率大于100%有年，则 . 7．下列说法中正确的是（    ） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D．， 【答案】ABC 【详解】对于A，由二项分布的概率公式可得，故A正确； 对于B，由题意可得随机抽取8个零件进行检测，全部合格的概率为， 则至少有一件不合格的概率为，故B正确； 对于C，由题意可得，， 所以，故C正确； 对于D，由期望的性质可得， 由方差的性质可得，故D错误； 故选：ABC 8．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． (1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； (2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； (3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不正确，理由见解析 【详解】（1）睡眠指数落在区间的概率为. （2）由题意可知，，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 的分布列为： 由二项分布的期望公式得. （3）这种说法不正确，理由如下：平均数反映的事一组数据的平均水平，而方差反映的事一组数据的离散程度或波动大小. 第一组数据的平均数，其方差为； 第二组数据的平均数，其方差为. 虽然两组数据平均数相同，但第二组数据中和距离平均数比第一组数据中的和距离平均数更远， 数据更为分散，所以方差更大，即两组数据方差并不相等. 9．某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 10．分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 【答案】(1) (2) (3)方案A更优 【详解】（1）设3个节点中处理任务成功的节点个数为，则， 所以．即恰好有2个节点成功处理任务的概率为． （2）由（1）知，60个节点中处理任务成功的节点个数， 若每次处理任务成功的节点数为时概率最大，则， 解得，因为，所以． （3）若采用方案A，则每个任务至少有一个节点处理成功的概率， 所以处理任务成功数， 则处理任务成功的节点数的期望． 所以利润的期望． 若采用方案B：则处理任务成功数，则处理任务成功的节点数的期望， 所以利润的期望． 因为，所以方案A更优． 考点03服从二项分布的随机变量概率最大问题 11．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故答案为：15或16 12．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． （2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． （3）由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 13．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 14．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得，因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 15．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 考点04建立二项分布模型解决实际问题 16．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 【答案】(1) (2)元． 【详解】（1）记分别为事件“第一，二，三轮检测合格”，为事件“每箱这种蓅菜不能在该超市销售”． 由题意可知：， 所以． （2）方法一：设这箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为，，，，， ，， ，， ， 故的分布列为： 所以的均值（元）． 方法二：设这箱蔬菜的检验合格数量为随机变量，则， 总收益为随机变量， 所以（元）． 17．小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：B 18．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 19．单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（    ）. A．若，则的最大值为3 B．若，当取最大值时， C．当，n为偶数时， D．若 ，，则n的最小值为6 【答案】AC 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知. 对于 A，， 当且仅当时，取得最大值3，故A正确. 对于 B，，当取最大值时，， 即，解得，即或9，故B错误. 对于 C，，故C正确. 对于 D，，因为，所以， 所以，化简得， 令， 因为，所以单调递减， 又，，所以n的最小值为5，故D错误. 故选：AC. 20．广东顺德双皮奶是一种粤式甜品，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率. (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； (2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意每天能卖出件水牛奶的概率为，卖出件以下的概率为， 记三天中卖出件水牛奶的天数为，则， 所以. （2）①第一天营业结束后不补货的情况为销售件或销售件， 所以，， 令第二天货架上有1件存货，则，， 所以. ②第一天营业结束后补货的情况为销售3件或销售2件， 所以，， 令第二天货架上有1件存货，则，， 所以. 综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率. 考点05超几何分布的均值 21．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 22．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则， 则从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业的概率为. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 23．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数， 从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个， 服从超几何分布概念，故A正确， BC选项，的取值可能为：， 所以，又， ，， ， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故B错误，C正确， D选项，由题意，且，故， 则，D正确. 故选：ACD 24．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 25．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． (1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2) 【详解】（1）可能取的值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列为 则. （2）记“智能自动检测为合格品”，“产品为合格品”， 则由题意知，，， 则， 所以由全概率公式知 ， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为． 考点06超几何分布的方差 26．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， 所以，故选项A正确. 选项B，方案一中，，. 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，，，， 则，. 当时，，， 所以，故选项B错误. 选项C，，，所以，故选项C正确. 选项D，， . 可得，即，故选项D正确. 故选：ACD. 27．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 28．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 29．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 30．某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二项分布与超几何分布 考点01二项分布的均值 考点02利用二项分布求分布列 考点03服从二项分布的随机变量概率最大问题 考点04建立二项分布模型解决实际问题 考点05超几何分布的均值 考点06超几何分布的方差 考点01 二项分布的均值 1．已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 2．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取,,,,，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．已知，则 D．已知随机变量，则 4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． (1)估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； (2)从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； (3)为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 5．一个袋子中装有质地大小完全相同的10个小球，其中红球6个，白球4个，现依次摸出3个小球，每次摸出一个小球作为一个样本． (1)若采用不放回摸球，求第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率； (2)若采用有放回摸球，求摸出的球是白球的数学期望和方差． 考点02利用二项分布求分布列 6．为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. (1)从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； (2)从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 7．下列说法中正确的是（    ） A．设随机变量X服从二项分布，则 B．一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为 C．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D．， 8．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． (1)若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； (2)据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； (3)已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 9．某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 10．分布式计算是一种计算模式，是通过将计算任务分散到多个计算节点上进行处理，这些节点通过网络协同工作，实现大规模计算任务的高效执行．某公司使用分布式计算系统处理任务，每个任务由一个节点或多个节点独立完成，各个节点处理每个任务成功与否互不影响． (1)若某任务由3个节点各自独立完成，每个节点处理该任务成功的概率均为0.5，求恰好有2个节点处理该任务成功的概率； (2)若某任务由60个节点各自独立完成，且每个节点处理该任务成功的概率均为0.6，若处理该任务成功的节点数为k（）的概率最大，求k的值； (3)若公司现有n个任务，为提高效益，考虑两种优化方案： 方案A：每个任务由两个节点同时处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均为0.6，每个节点处理各个任务的成本均为10元，每个任务至少有一个节点处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元； 方案B：每个任务由一个节点处理，且每个节点处理各个任务成功的概率均提升至0.7，每个节点处理各个任务的成本均由原来的10元提升到16元，每个任务处理成功则可获得收益35元，否则收益为0元 根据这两个方案利润的期望值判断哪个方案更优？（利润＝收益－成本） 考点03服从二项分布的随机变量概率最大问题 11．某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 12．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 13．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 14．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 15．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 考点04建立二项分布模型解决实际问题 16．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立. (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为； (2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，求这箱蔬菜总收益的均值. 17．小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 18．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 19．单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（    ）. A．若，则的最大值为3 B．若，当取最大值时， C．当，n为偶数时， D．若 ，，则n的最小值为6 20．广东顺德双皮奶是一种粤式甜品，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.不过新鲜的水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 天数 5 10 25 10 假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率. (1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率； (2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.（结果用分数表示） 考点05超几何分布的均值 21．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 22．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望E（X）； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，直接写出的值（无需解答过程）. 23．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 24．为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 25．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测．智能自动检测为正品，则进入流水线并由人工抽查检测． (1)现有7件经过生产工序但未经检测工序的产品，其中恰含2件次品，从这7件产品中随机抽取3件，求这3件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率． 考点06超几何分布的方差 26．已知袋中有除颜色外其他都相同的小球9个，其中黑球6个，红球3个，从中摸4个球，方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为.下列说法中，正确的有（    ） A． B．，其中 C． D． 27．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 29．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 30．某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $