专题07 一元二次方程根与系数的关系8类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07一元二次方程根与系数的关系 题型归纳·内容导航 题型1利用根与系数的关系直接求解（基础题） 题型5根与系数的关系与根的判别式综合 题型2利用根与系数的关系求代数式的值（提升题） 题型6根与系数的关系与几何综合（提升题） 题型3利用根与系数的关系列等量关系求参数 题型7根与系数关系中新定义类题型 题型4根与系数关系中构造元二次方程求解（提升题） 题型8根与系数关系中阅读类题型 题型通关·靶向提分 题型一利用根与系数的关系直接求解（共7小题） 1.（2026江西吉安二模)若关于x的一元二次方程x2+3x-5=0的两个根分别为m,,则mn的值为 2.(2025浙江宁波模拟预测)已知方程x2-3x+1=0的根是x1和x2,则x1+x2一x1x2= 3.(25-26九年级上湖北黄冈月考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x+1=0的两个实数根，则x1+x2-2的 值为 4.(2026湖南株洲一模)已知a,B是关于x的方程x2-4x-1=0的两根，则2+的值为 5.（2026黑龙江绥化一模)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则代数式x子+x2-x1x2 的值为 6.(25-26九年级下江西抚州·月考)已知关于x的一元二次方程x2-2024x+1=0的两个实数根分别是a, b,则(a+1)(b+1)= 7.(25-26九年级上江西南昌期末)已知m,n是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，则0+"的值为 2mn 题型二利用根与系数的关系求代数式的值（共5小题） 1.(2026四川泸州模拟预测)若方程x2-x-2026=0的两个根是a和b,则a2-b-2a的值为 2.（25-26九年级下.湖南长沙月考)设a,b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则a2-3b+ab= 3.(25-26九年级上山东临沂·期末)已知x1x2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个实数根，则x2+4x2-x1 的值为一· 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上四川达州期末)若m、n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，多项式2m2-mn+2m 的值是 5.（25-26九年级上江西赣州期末)若m,n是方程x2+5x-3=0的两个根，则m2n+mn2-14= 6.(25-26八年级下，浙江金华.月考)如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1,n2-2n=1,则2 m2+4n2-4n+2026= 题型三利用根与系数的关系列等量关系求参数（共7小题） 1.(25-26八年级下.河南鹤壁期末)已知关于×的一元二次方程x2-4x+m=0.方程两实数根分别为x1, x2,且满足5x1+2x2=2,则m2= 2.(25-26九年级下.湖南衡阳·自主招生)己知x1、x2分别为x2-5x+a=0的两根，x-x3=20,则a的值 为 3,(25-26九年级上江西宜春期末)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+k-1=0的两根，且x1x2=-5,则k 的值为 4,(25-26九年级上广东佛山期末)x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2x-m=0的两个实数根，且x子+x号 >1.m的取值范围为 5.(25-26九年级上·四川成都.期末)己知关于x的一元二次方程x2-5x-k=0的两实数根是x1,x2,且满足 x1=4x2,则k= 6.(25-26九年级上·潮南常德期末)关于的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2+1=0的两实根x1X2满足2 2 +一=1，则m= x2 7.(25-26九年级上四川达州期末)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2-2m-1=0的两个根是x1、x2, 且x好+x2-x1x2=7,则m的值为 题型四根与系数关系中构造元二次方程求解（共6小题） 1.(25-26九年级上.福建泉州期中)已知实数m,n满足：2m2-7m+1=0,n2-7n+2=0,且mn≠1， 则的值为 2.（25-26八年级上.重庆周测)若两个不等实数m,n满足条件m2+3m-2=0,n2+3n-2=0,则m2+ n2= 3.(25-26九年级上四川德阳期末)若m,n是两个不相等的实数，m2-m=3,n2-n=3,则代数式3m2 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +2mm+3m+2025的值为. 4.(25-26八年级上上海期末)实数m、n分别满足m2-3m-2=0,n2-3m-2=0且m≠n,则2+的值是 m 5,(25-26九年级上.福建泉州·月考)已知实数m,n满足3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0,且mn≠1，求 的值 b a 6.(25-26八年级上.上海月考)己知a、b都是质数，且a2-13a+m=0,b2-13b+m=0,试求号+6= 题型五根与系数的关系与根的判别式综合（共7小题） 1.(25-26九年级上福建泉州期末)己知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数 根x1,x2 (1)求k的取值范围； (2)若(x1-1)(x2-1)=11,求k的值. 2.(25-26九年级上湖北黄冈·月考)己知关于x的一元二次方程x2-(k+4)x+3k+3=0. (1)求证：方程总有两个实数根， (2)若方程的两实数根为x1,x2满足x1x2=x1+x2-3,求k的值. 3.(25-26八年级下·安徽合肥·月考)阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a,b(a≠b)满足a2+3a-1=0,b2+3b-1=0,则可将a,b看作一元二次方程x2+3x-1=0的 两个不相等的实数根。 (1)材料理解：已知实数a,b满足7a2-7a-1=0,7b2-7b-1=0,且a≠b,求a2b+ab2的值. ab+和中的值 (2)思维拓展：己知实数a,b满足3a2-5a+1=0,b2-5b+3=0,且ab≠1，求3ab+3 4.(25-26九年级下福建泉州期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根x1,x2: (1)求m的取值范围； (2)若+为整数，求整数m的值。 5,（25-26八年级下.浙江金华.月考)已知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m=3. (1)若该方程的一个根为0，求m的值以及另一个根 (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. 6,（25-26九年级上江西赣州期末)己知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-k=0有两个不相等的实数根， 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k的取值范围： (2)该方程的两个不相等的实数根分别为x1,x2,且满足x1十x2=x1x2-3,求k的值. 7.(25-26八年级下山东·课后作业)已知关于x的方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根： (2)若一元二次方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0满足x1-x2=2,求k的值. 题型六根与系数的关系与几何综合（共5小题） 1.(24-25八年级下，浙江杭州期中)己知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元 二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根 (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k为何值时，△ABC为直角三角形，并求出△ABC的周长 2.（25-26九年级下广东广州开学考试)己知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2m-1=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若△ABC的一条边AC的长为V35,另两边AB,CB的长是一元二次方程的两个实数根.当m为何值时， △ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 3.(25-26九年级上四川乐山·期末)关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6,求Rt△ABC的周长. 4.(25-26九年级上：广东广州，期末)某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：cm)是关于x 的一元二次方程x2-10x+k=0(k为常数)的两个实数根，且长与宽均为正整数 (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求k的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为2cm,求k的值及此时便签纸的长与宽. 5.（25-26八年级上.上海期末)【综合与探究】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2 +5=0的两个实数根， (1)若(x1-1)(x2-1)=7,求m的值； (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC的另外两边长，求这个三角形的周长. 题型七根与系数关系中新定义类题型（共8小题） 1.(25-26八年级上·上海浦东新期末)己知x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实数根，若满足x1-x2=1,则此类方程叫做差根方程.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是；（填写序号） ①x2-x=0;②x2-1=0. (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB的长为V13,若△ABC的两边AC、BC的长是一个“差根方程"的 两个实数根，求出这个差根方程 2.(24-25九年级上·四川资阳·期末)阅读下面材料：已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数 根，若满足引x1-x2=1,则此类方程称为差根方程”.在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现|x1-x2 g 2a =-4a吗=1，最后得到差根方程"中a,b,c之间的关系是b2-4ac=Q2. a (1)请通过计算判断方程x2+7x+12=0是否是“差根方程”， (2)若方程x2+2x-k+1=0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根， (3)若关于x的差根方程"a(x+m)2+b=0的一个根是x=3(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+42 =-b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由 3,(25-26八年级上·浙江宁波·期末)规定：如果实数a,b,c满足a-b=b-c,那么称一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)为"等差”二次方程. (1)下列方程是“等差”二次方程的有（填序号）： ①32+4x+5=0:②r+2x-3=0:③x2-1=0:④2+子+=0 (2)若“等差"二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为2，求这个方程的另一个根： (3)若m,n是“等差"二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，请写出m,n的数量关系，并说明理由. 4,（25-26八年级下浙江金华.月考)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且 其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为"二倍根方程”.例如，一元二次方程x2-3x+2=0的两 个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程” (1)若一元二次方程x2-9x+c=0是“二倍根方程”，则c= 2若c-2(ar-)=0a+0)是“二倍根方程，求，。的值。 (3)若方程x2+bx+c=0是“二倍根方程”，求b与c之间的关系， 5.(25-26八年级下江苏苏州月考)阅读材料并解答相关问题. 材料1：规定：如果实数a,b,c满足a+c=b,那么称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和差”二次方 程 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 材料2：韦达定理：若一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1x2,则x1+x2=-号x2=后 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差"”二次方程的有（填写序号） ①x2+3x-2=0;②2x2+5x+3=0;③x2+2x+1=0;④x2+2x+3=0. (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根， ②问题3：若“和差”二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根5，求这个方程的另一个根. (3)【结论归纳】问题4：设m,n是“和差”二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.请写出你发现的关于两 根m,n的结论，并说明理由. 6.(25-26八年级下，浙江绍兴，期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a不为0)有两个实数根， 且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程 (1)判断关于x的方程x2-6x+8=0是不是倍根方程 (是或不是) (2)若关于x的方程(x-2)(mx+m)=0是倍根方程，则%= (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a不为0)是倍根方程，且5a+b=0,请求出此方程的两个 根. 7.(25-26九年级上江苏泰州，期末)定义：己知x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个实数根，若x1-x2=1,则称这个方程为“差1方程”.比如，一元二次方程x2-3x+2=0的两根为x =1,x2=2,因为x1-x2引=1，所以一元二次方程x2-3x+2=0为“差1方程”， 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程x2+4x-5=0“差1方程”（填“是"或“不是”） (2)若关于x的一元二次方程x2+(k+9)x+k+8=0是“差1方程”，求k的值. 8.（25-26九年级上河南安阳·期末)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,且x1-x2=1,那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x =0,x2=-1,10-(-1)川=1，则方程x2+x=0是"邻根方程”. (1)判断方程2x2-3x+1=0是否为"邻根方程"并说明理由； (2)若关于x的方程x2+3x+c=0(c是常数)是“邻根方程”，求c的值. 题型八根与系数关系中阅读类题型（共7小题） 1.(25-26八年级下山东济宁期末)先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根分别是x1、x2:那么为+x2=-2xx2=。 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：已知方程2x2+3x-5=0的两根分别为x1、x2 则：x+X2=-。=-2X1x2=。=2 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程3x2-4x-6=0的两根分别为x1,x2,求x1十x2和x1x2的值 (2)设a,b是一元二次方程x2+x-2022=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是-· (关于x的一元=次方程2-(2k+1x+收2=0的两个实数根分别是x:x,且之+号=六采的信。 1 2.(25-26八年级下.山东淄博·月考)阅读下面材料，再解方程： 解方程x2-x-6=0 解：当x≥0时，原方程化为x2-x-6=0,解得：x1=3,x2=-2(不合题意，舍去)； 当x<0时，原方程化为x2+x-6=0,解得：x1=-3,x2=2(不合题意，舍去)： ∴原方程的根是x1=3,x2=-3. (1)请参照例题解方程x2-x-1-3=0: (2)拓展应用：已知实数m,n满足：m2-7m+2=0n2-7n+2=0,求：品+的值. 3.(25-26九年级上江苏宿迁期中)阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0a+0)的两个根为x1,x2,则x+2=-台x12=日 (1)材料理解：一元二次方程5x2+10x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,1x2=- (2)类比探究：已知实数m,n满足7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0.m+元=- n m (3)思维拓展：已知实数、t分别满足7s2+75+1=0,t2+7t+7=0,且5t≠1，求2t+7s+2的值。 4.(25-26九年级上山西吕梁月考)阅读与思考 下面是小明同学研究一元二次方程时的笔记片段，请阅读并完成相应任务 【概念理解】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中的常数项c是该方程的一个根， 我们就将该一元二次方程叫做常数根方程.例如，对于一元二次方程x2-1=0,因为 x=-1是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程， 【问题解决】问题1：下列方程是常数根方程的有（填序号）. ①x2-2x+1=0;②x2-x-6=0;③x2+2x=3. 问题2：已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0是常数根方程，求m的值. 任务： 7/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)问题1中的序号是 (2)问题2中的m的值为 (3)已知关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a,c不等于0》是常数根方程，且其另一个根为-子求a 的值及b,c之间的数量关系式 5.(25-26九年级上.甘肃张掖·月考)【阅读材料一】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两 根为x1、x2,则x+x2=一x2=。这就是一元二次方程根与系数的关系。 【阅读材料二】已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的 两个不相等的实数根， 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程2x2-5x-1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=_x1x2=一； (2)【类比运用】己知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0. ①证明：不论m为何值，方程总有实数根： ②若方程的两个实数根为x1,x2,且满足x+x子=9，求m的值。 (3)【思维拓展】已知实数s,t分别满足9s2+9s+1=0,t2+9t+9=0,其中st≠1且5t≠0，求38t+9+3 t 的值. 6.(25-26九年级上江苏连云港·月考)阅读材料：教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax2 b +bx+c=0的两根为x1、x2,x+2=0xx2=。根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2 的代数式的值. 问题解决： (1)已知x1、x2为方程x2+3x-1=0的两根，则：x1+x2=-3;x1x2=-1;那么x子+x径=-·（请你完 成以上的填空) 阅读材料l:已知m2-m-1=0,n2+n-1=0,且mn≠1，求m+n,mn的值. 解：由n2+n-1=0可知n≠0 11 1+n2=0 小01=0 又m2-m-1=0,且mn≠1， 1 即m丰， 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷m,是方程x2-x-1=0的两根. 1 1 .m+-=1,m÷=-1 n 问题解决： (2)若ab≠1，且2a2+2018a+3=0,3b2+2018b+2=0,则号= (3)已知2m2-3m-1=0,m2+3m-2=0,且mn≠1.求m2+的值. 7.（24-25九年级上山西运城期中)阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务， ×年×月×日星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我 的思考：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整 数倍，那么这样的一元二次方程中的系数α，b,c又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究. 特例分析： ①当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数a,b,c之间 满足的关系式是b2=4ac. ②当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a,b,c之间满足的关系 式是什么？ 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的其中一个根为m,则另一个根为2m. 根据题意，得a(x-m)(x-2m)=0,即ax2-3max+2m2a=0., ..ax2-3max+2m2a ax2 bx +c. :.b=-3ma,c=2m2a. b2=9m2a2,m2= 2a 把m2=云代入b2=9m2a2,得62= 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数a,b,c之间满足的关系 式是2b2=9ac. ③当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数a,b,c之间满足的关系 式是什么？ 一般探究： 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a,b,c之间满足的关系式 是什么？ 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是3 倍关系时，系数a,b,c之间满足的关系式. (2)请直接写出当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数a,b,c之间满 足的关系式 10/10 专题07 一元二次方程根与系数的关系 题型1 利用根与系数的关系直接求解（基础题） 题型5 根与系数的关系与根的判别式综合 题型2 利用根与系数的关系求代数式的值（提升题） 题型6 根与系数的关系与几何综合（提升题） 题型3 利用根与系数的关系列等量关系求参数 题型7 根与系数关系中新定义类题型 题型4 根与系数关系中构造元二次方程求解（提升题） 题型8 根与系数关系中阅读类题型 题型一 利用根与系数的关系直接求解（共7小题） 1．（2026·江西吉安·二模）若关于x的一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为________． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，两根之积为． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根是和，则___________． 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题可知方程中，，，， 根据根与系数的关系可得： ， ， 将，代入得： 原式． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，. ∴． 4．（2026·湖南株洲·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 5．（2026·黑龙江绥化·一模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】24 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得：，， ． 6．（25-26九年级下·江西抚州·月考）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b，则______． 【答案】2026 【分析】先根据多项式乘法化简 ，然后由根与系数的关系可得 ，，最后代入计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两个实数根分别是a，b， ，， ． 7．（25-26九年级上·江西南昌·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为：． 题型二 利用根与系数的关系求代数式的值（共5小题） 1．（2026·四川泸州·模拟预测）若方程的两个根是和，则的值为______． 【答案】2025 【分析】根据方程根的定义得到与a的等量关系，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入化简即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即． ∴． ∵a，b是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得． ∴原式． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】9 【分析】由题意得，，，代入即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 4．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 5．（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 题型三 利用根与系数的关系列等量关系求参数（共7小题） 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）已知关于x的一元二次方程.方程两实数根分别为，，且满足，则_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知等式求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 2．（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知分别为的两根，，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到①，由得到②，求出，再由两根之积即可求出答案． 【详解】解：∵分别为的两根， ∴①， ∵， ∴②， 由①②解得， ∴ 3．（25-26九年级上·江西宜春·期末）若是一元二次方程的两根，且，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），灵活运用韦达定理是解题的关键．根据根与系数的关系，在一元二次方程中，两根之积，进而代入已知条件求出的值． 【详解】解：方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 由根与系数的关系，得， 已知，所以， 解得． 故答案为． 4．（25-26九年级上·广东佛山·期末）、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系代入不等式求解，同时考虑判别式确保方程有两个实数根． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系，得，， 则， ∵，即， 解得 ， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 7．（25-26九年级上·四川达州·期末）已知关于的方程的两个根是、，且，则的值为__________. 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式．先利用根与系数的关系得到，,再代入式子，求出，，利用方程有两个实数根，得出，从而得出最后结果． 【详解】解：∵关于的方程的两个根是、， ，, ， ， ， 解得：，， 方程有两个实数根， ， ， ， 故答案为：1． 题型四 根与系数关系中构造元二次方程求解（共6小题） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆·周测）若两个不等实数m，n满足条件：，，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根．由根与系数的关系得到，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ， ， 故答案为：13． 3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）若m，n是两个不相等的实数，，，则代数式的值为___． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系. 根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期末）实数分别满足且，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意得和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，求出和的值，再代入的表达式求解即可． 【详解】解：∵和满足方程和，且， ∴和是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为:． 5．（25-26九年级上·福建泉州·月考）已知实数，满足，，且，求的值________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将第二个方程 变形，得到满足的方程 ，与第一个方程形式相同，且，因此 和 是方程的两个不相等的根，利用根与系数的关系求出 和的值，代入所求表达式化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，变形得， 又，且， 所以和是方程 的两个根， 由根与系数的关系，得， 所求表达式， 代入已知值，分子，分母， 所以， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·月考）已知都是质数，且，，试求________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 题型五 根与系数的关系与根的判别式综合（共7小题） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 4．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若为整数，求整数m的值． 【答案】(1) (2)整数m的值为或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，将整理得，根据题意得到整数m的值为或． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ， 解得 ， ∴的取值范围为； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴或， ∵， ∴整数m的值为或． 5．（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为0，求m的值以及另一个根． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一个根为 (2)证明见解析 【分析】（1）方程变形为，设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）计算根的判别式即可证明． 【详解】（1）解：方程变形为， 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得，， 解得， ∴，另一个根为． （2）证明：方程变形为， ∵， ∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 7．（25-26八年级下·山东·课后作业）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）讨论：当时，方程化为，解得；当时，即，计算根的判别式的值得到，则，则方程有两个实数根，从而可判断无论取何值，此方程总有实数根； （2）利用求根公式解方程得到，，再利用得到，然后解方程和方程即可． 【详解】（1）证明：当时，即，此时方程化为， 解得； 当时，即， ， 方程有两个实数根， 综上可知：无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：， ，， ， ， 当，解得， 经检验为原方程的解， 当，解得， 经检验为原方程的解， 综上所述，的值为或． 题型六 根与系数的关系与几何综合（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 2．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 3．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽（单位：）是关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根，且长与宽均为正整数． (1)若该便签纸的形状刚好是正方形，求的值及此时便签纸的边长； (2)若该便签纸的长与宽的差为，求的值及此时便签纸的长与宽． 【答案】(1)的值为25，便签纸的边长为 (2)的值为24，便签纸的长为、宽为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根的判别式和根与系数关系等知识，熟练掌握根的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据判别式的值为0得到，解一元二次方程即可得到答案； （2）根据根与系数关系列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：∵便签纸的形状刚好是正方形 ∴矩形的长和宽相等，即方程的两个实数根相等 ∴ 解得 此时方程为 解得 答：的值为25，此时便签纸的边长为． （2）解设便签纸的宽为，则长为， 由题意得：， 解得 ∴ 答：的值为24，此时便签纸的长为、宽为． 5．（25-26八年级上·上海·期末）【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)3 (2)17 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到解，根据已知等式可得，再结合一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据题意，分是方程的一个根和两种情况进行讨论，结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴ ， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ∴； （2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长， ∴①或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为， 此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； ②，，解得， 此时方程为，解得， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； 综上，三角形的周长为． 题型七 根与系数关系中新定义类题型（共8小题） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． (2)若是“二倍根方程”，求的值． (3)若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 【答案】(1)18 (2)或 (3) 【分析】（1）设方程的其中一根为，则另一根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解； （2）求出原方程的解为，再由“二倍根方程”的定义解答即可； （3）设与是方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】（1）解：设方程的其中一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 解得：， ∵是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时， 综上所述，的值为或； （3）解：设与是方程的解， ，， 即，， ∴，即． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有_____（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设是“和差”二次方程的两个根．请写出你发现的关于两根的结论，并说明理由． 【答案】(1)②③； (2)①，；；②； (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一个根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①中，，，， ∴，不是“和差”二次方程； ②中，，，， ∴，是“和差”二次方程； ③中，，，， ∴，是“和差”二次方程； ④中，，，， ∴，不是“和差”二次方程． 故答案为：②③． （2）解：①解方程， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 解方程， ∴， ∴； ②设方程的另外一个根为， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． （3）解：，， 理由：∵是“和差”二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴或， ∴，． 6．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 【答案】(1)是 (2)或 (3)和 【分析】（1）利用因式分解法求得方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到或，即可得到结果； （3）利用“倍根方程”的定义设，根据，利用根与系数的关系得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴方程是倍根方程； （2）解：∵， ∴，， 当时，； 当时，； （3）解：∵方程是倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 8．（25-26九年级上·河南安阳·期末）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 【答案】(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 题型八 根与系数关系中阅读类题型（共7小题） 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、． 则：，． 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可． （3）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求的值即可． 【详解】（1）解：∵方程的两根分别为，， ∴，； （2）解：∵，是一元二次方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 又∵， ∴， 即 ， 解得：，， 又∵， 解得， 即：． 2．（25-26八年级下·山东淄博·月考）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 4．（25-26九年级上·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小明同学研究一元二次方程时的笔记片段，请阅读并完成相应任务． 【概念理解】若关于x的一元二次方程中的常数项c是该方程的一个根，我们就将该一元二次方程叫做常数根方程．例如，对于一元二次方程，因为是该方程的一个根，所以该方程是常数根方程． 【问题解决】问题1：下列方程是常数根方程的有______（填序号）． ①；②；③． 问题2：已知关于x的一元二次方程是常数根方程，求m的值． 任务： (1)问题1中的序号是______． (2)问题2中的m的值为______． (3)已知关于x的一元二次方程（a，c不等于0）是常数根方程，且其另一个根为，求a的值及b，c之间的数量关系式． 【答案】(1)①③ (2)0或 (3) 【分析】本题考查了新定义——常数根方程，熟练掌握新定义，方程的根性质，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先利用因式分解法分别解每个一元二次方程，然后根据常数根方程的定义进行判断； （2）根据常数根方程的定义知，方程有一根，代入原方程，利用因式分解法解m的一元二次方程即得； （3）根据常数根方程的定义知是方程的一个根，由根与系数的关系推导即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵常数项是1， ∴是常数根方程． ②∵， ∴． ∴， ∴， ∵常数项是， ∴不是常数根方程． ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵常数项是， ∴是常数根方程． 故答案为：①③． （2）解：∵是常数根方程， ∴方程有一个根． ∴． 解得或． 故答案为：0或． （3）解：∵是常数根方程， ∴是方程的一个根，另一个根为． 由根与系数的关系，得， ∴． 将代入， 得， ∴． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）【阅读材料一】若关于的一元二次方程（）的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系． 【阅读材料二】已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】一元二次方程的两根为、，则____________； (2)【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①证明：不论为何值，方程总有实数根； ②若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，分别满足，，其中且，求的值． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解． （1）根据根与系数的关系进行计算即可； （2）①证明即可； ②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后根据完全平方公式变形求值即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）①证明：∵ ， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 整理得， 解得：； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）阅读材料I：教材中我们学习了：若关于的一元二次方程的两根为，，根据这一性质，我们可以求出已知方程关于的代数式的值． 问题解决： （1）已知、为方程的两根，则：；；那么 ．（请你完成以上的填空） 阅读材料II：已知，且．求的值． 解：由可知 ． 又，且， 即， 是方程的两根． 问题解决： （2）若，且，则___________； （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据根与系数的关系可求出和的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可； （2）根据材料中的解法将等式变形，然后将a、看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解； （3）根据材料中的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵为方程的两根， ∴，， 故答案为：11； （2）， 由可知； ∴， ∴ 又，且，即； ∴a、是方程的两根， ∴，即； 故答案为：； （3）由可知； ∴， ∴， 又，且，即； ∴m、是方程的两根， ∴； ∴． 7．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． ×年×月×日　星期二 一元二次方程中特殊根与系数之间的关系 今天，学习完一元二次方程的知识后，我知道了一元二次方程中根与系数之间有一定的关系，这引发了我的思考：如果一元二次方程有两个不为零的实数根，且其中一个根为另一个根的整数倍，那么这样的一元二次方程中的系数又有怎样特殊的关系呢？于是我展开了以下探究． 特例分析： ①当一元二次方程的两个不为零的实数根是1倍关系（即相等）时，系数之间满足的关系式是． ②当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？ 设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即．， 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是2倍关系时，系数之间满足的关系式是． ③当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是什么？… 一般探究： 当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数，之间满足的关系式是什么？．．．．． 任务： (1)请仿照小华同学的推理过程，推导出当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式． (2)请直接写出当一元二次方程的两个不为零的实数根是倍关系时，系数之间满足的关系式． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数之间的关系： （1）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； （2）设其中一个根为，则另一个根为．参照题干中的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是3倍关系时，系数之间满足的关系式是． （2）解：设一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为． 根据题意，得，即． 把代入，得． 当一元二次方程的两个不为零的实数根是n倍关系时，系数之间满足的关系式是． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $