专题06 一元二次方程中含参问题10类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

专题06 一元二次方程中含参问题 题型1已知一元二次方程的解求参数（重点题） 题型6 一元二次方程根的判别式求参数的取值范围（重点题） 题型2 “整体代入法”求代数式的值（重点题） 题型7 利用直接开平方法求参数（重点题） 题型3 “降次法”求代数式的值（重点题） 题型8 利用因式分解法求参数 题型4 “特殊值法”求一元二次方程的解 题型9 利用配方法变形求参数的值（重点题） 题型5 一元二次方程新定义中求参数问题（重点题） 题型10 配方法中其他问题求参 题型一 已知一元二次方程的解求参数（共5小题） 1．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）关于的方程的一根为1，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程的一个解为0，则的值为____________． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若一元二次方程的一个根是3，则m的值为________． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 题型二 “整体代入法”求代数式的值（共6小题） 1．（25-26八年级下·浙江金华·月考）若m是方程的一个根，则的值为___________． 2．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 3．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 5．（21-22八年级下·浙江杭州·月考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(        ) A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的实数根，则代数式的值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 题型三 “降次法”求代数式的值（共7小题） 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 2．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 3．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期中）若是方程的根，则代数式的值是_____________． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则______． 6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝________． 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值为________． 题型四 “特殊值法”求一元二次方程的解（共5小题） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 题型五 一元二次方程新定义中求参数问题（共7小题） 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 2．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 3．（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 4．（25-26九年级上·全国·周测）定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________（填序号）． ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 5．（24-25九年级上·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 题型六 一元二次方程根的判别式求参数的取值范围（共5小题） 1．（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级下·山东泰安·月考）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 题型七 利用直接开平方法求参数（共6小题） 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两个根满足且，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 6．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 题型八 利用因式分解法求参数（共6小题） 1．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）若是一元二次方程的根，则实数______． 2．（25-26八年级上·上海·月考）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 3．（2026·安徽池州·一模）已知1，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程 （k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．任意实数 6．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）关于x的一元二次方程有一个根大于1，k取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 题型九 利用配方法变形求参数的值（共4小题） 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 3．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 题型十 配方法中其他问题求参（共5小题） 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）小刚用配方法解，得，则等于（  ） A． B． C．6 D．3 2．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 4．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为___________． 5．（25-26九年级上·全国·周测）用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则____________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程中含参问题 题型1已知一元二次方程的解求参数（重点题） 题型6 一元二次方程根的判别式求参数的取值范围（重点题） 题型2 “整体代入法”求代数式的值（重点题） 题型7 利用直接开平方法求参数（重点题） 题型3 “降次法”求代数式的值（重点题） 题型8 利用因式分解法求参数 题型4 “特殊值法”求一元二次方程的解 题型9 利用配方法变形求参数的值（重点题） 题型5 一元二次方程新定义中求参数问题（重点题） 题型10 配方法中其他问题求参 题型一 已知一元二次方程的解求参数（共5小题） 1．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将根代入方程求得或，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除． 【详解】解：∵方程有一个根为0， ∴代入得：， ∴， 解得或. 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）关于的方程的一根为1，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解一元二次方程根的概念是关键． 将已知根 代入方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程的一个解为0，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，则可推出，将代入原方程得到关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，即． 是该一元二次方程的一个解， 将代入方程得，． 解得（舍去）或． ． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若一元二次方程的一个根是3，则m的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入原一元二次方程，得到关于的一元二次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：由题意把代入方程得：， 整理得：， 解得：． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 题型二 “整体代入法”求代数式的值（共6小题） 1．（25-26八年级下·浙江金华·月考）若m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再进一步代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 2．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 3．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由m是方程的根，可得，代入多项式化简即可． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴的值为 2023． 故选：C 4．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 5．（21-22八年级下·浙江杭州·月考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的定义，将根代入方程得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可 【详解】解： 是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得，即， ． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期末）若是方程的实数根，则代数式的值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．根据是方程的一个实数根，可以得到，然后即可得到，再将代入所求式子计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ， 故选：A． 题型三 “降次法”求代数式的值（共7小题） 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 2．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）已知m是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】由m是方程的一个根可得，，，然后逐步代入求解即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ∴． ∴，， ∵时，方程左边等于1，不等于右边， ∴， 把的两边都除以得，． ∴． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期中）若是方程的根，则代数式的值是_____________． 【答案】2025 【分析】由方程根的定义，得到，然后通过代数变形求出的值，解答即可． 本题考查了一元二次方程的解的定义，完全平方公式的变形求值，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得，即； 由于，将方程两边除以，得，即， 两边平方，得，即， ∴，即， 故， 故答案为：2025． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式化简求值，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义，由是方程的根，可得，代入代数式并简化． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴ ，即； 代数式， 又 ∵ ， ∴ ． 故原式． 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，正确计算是解题关键．由方程的解可得，进而可得，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型四 “特殊值法”求一元二次方程的解（共5小题） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 3．（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 【答案】2026 【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：由方程得到：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于x的方程的其中一个根为2026． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 【答案】 【分析】利用已知根得到满足原方程的等式，对等式变形后即可推导出所求方程的根． 【详解】解：将代入一元二次方程，得， ， ∴， 若，代入原方程可得，与矛盾， 将两边同时除以，得， 整理得， 当时，方程成立， 方程必有一根为． 题型五 一元二次方程新定义中求参数问题（共7小题） 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 2．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 根据“三新”方程的定义，可得，从而得到，，，再通过整体代入求值即可． 【详解】解：∵方程是“三新”方程， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2026 3．（25-26九年级上·广东中山·期末）定义：方程 是一元二次方程 的“倒方程”，其中a，b，c为常数，且a≠0，c≠0．若x= -1是一元二次方程 的“倒方程”的解，则c的值为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念是解题的关键． 根据倒方程的定义，方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； 【详解】解：由题知，原方程中，，，，其倒方程为，即， 将代入倒方程：， 解得 验证，，符合条件 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·周测）定义：如果代数式是常数）与是常数）满足，则称代数式与互为“和谐式”．对于上述“和谐式”．下列说法正确的是_____________（填序号）． ①若为常数，关于的方程与的解相同，则； ②若为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1． 【答案】① 【分析】根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断①，根据题意得出即可判断②。 【详解】①∵关于的方程与的解相同，即与0的解相同， ∴，故说法①正确。 ② ∵的最小值为 ∴当时，有最小值，且最小值为1； 当时，有最大值，且最大值为1，故说法②不正确。 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新定义是解题的关键。 5．（24-25九年级上·福建福州·月考）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 6．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程可得，将代入一元二次方程，计算即可得解，理解“相伴方程”的定义是解此题的关键． 【详解】解：解一元一次方程可得， ∵关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴将代入一元二次方程可得， 解得：， 故答案为：． 题型六 一元二次方程根的判别式求参数的取值范围（共5小题） 1．（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到二次项系数不为0，且根的判别式大于0，解两个不等式即可得到m的取值范围，选出正确选项． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的取值范围是． 3．（25-26八年级下·山东泰安·月考）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】应分情况讨论当时，当时，由方程有实数根，得出“”，即可求解． 【详解】解：当时，方程为，有实根； 当时，方程为一元二次方程，有实根需满足 解得：． 综上所述，． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 5．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 题型七 利用直接开平方法求参数（共6小题） 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程的两个根满足且，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．通过直接解方程，并结合，可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 两边开平方得： 解得两根为或． ∵， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故选：C 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 题型八 利用因式分解法求参数（共6小题） 1．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）若是一元二次方程的根，则实数______． 【答案】2 【分析】本题考查了求解一元二次方程和一元二次方程的定义，准确的计算是解决本题的关键． 将代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得 解得或． ∵为一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（25-26八年级上·上海·月考）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 3．（2026·安徽池州·一模）已知1，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义求解，先将已知根代入原方程求出参数，再解一元二次方程得到另一个根，最后计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 因式分解得， 解得， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程 （k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，构成三角形的条件，可证明，则原方程有两个不相等的实数根，进而可得是原方程的一个解，把代入原方程求出k的值，进而求出对应情形下方程的两个根，再根据构成三角形的条件判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∵中只有两条边相等，b和c是关于x的一元二次方程 （k为常数）的两个实数根， ∴，即或， ∴是原方程的一个解， ∴， 解得或， 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或， 故选：B． 6．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）关于x的一元二次方程有一个根大于1，k取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法求出一元二次方程的解，再根据有一个根大于1，进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程有1个根大于1，， ∴， ∴； 故选：B． 题型九 利用配方法变形求参数的值（共4小题） 1．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·上海·期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为的形式．现如果用配方法解一元二次方程，那么此时的值是______． 【答案】2027 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 与对比，得，， 所以． 故答案为：2027． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值． 【详解】解：对方程进行配方，移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得， 解得． 故答案为：5． 题型十 配方法中其他问题求参（共5小题） 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）小刚用配方法解，得，则等于（  ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是通过对比配方后的完全平方式，建立关于的等量关系．通过将已知的配方结果还原为一元二次方程，再与原方程对比系数；也可以直接对比配方后的完全平方式的一次项系数部分，求出的值． 【详解】解：原方程，先将二次项系数化为1，得； 对其进行配方：，即； 已知配方法得到的结果为，等价于， ∴；解得； 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键． 根据配方法的结果，推出方程的标准形式，再与原方程比较系数求b． 【详解】∵配方法得， ∴， 展开得， 整理得． 原方程两边除以2得． 比较系数，得， ∴， ∴． 故选C． 4．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，利用非负数的性质得到的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴ ， ∴， 代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·全国·周测）用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则____________． 【答案】3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $