8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（知识梳理+7题型突破）- 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义 【题型一：证明点、线共面】 6 【题型二：证明点共线】 6 【题型三：证明线共点】 7 【题型四：直线与直线的位置关系】 8 【题型五：直线与平面的位置关系】 9 【题型六：平面与平面的位置关系】 9 【题型七：几何体的截面问题】 9 1. 掌握空间中点与直线、点与平面、直线与直线（相交、平行、异面）、直线与平面（平行、相交、在平面内）、平面与平面（平行、相交）的基本位置关系，能准确区分不同位置关系的特征。 2. 牢记异面直线的判定定理，能结合图形用文字、符号准确表述判定条件，并能初步运用定理判断两条直线是否为异面直线。 3. 熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的符号表示和图形表示，能根据位置关系写出对应符号，或根据符号画出简单示意图。 4. 理解“直线在平面外”的含义，明确其包含直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，能准确区分“直线在平面内”与“直线在平面外”的差异。 【知识点一：平面】 1. 平面的概念 生活中有一些物体给我们以平面的直观感觉，例如课桌面、黑板面、平静的水面等．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的． 注：平面、直线、点这类原始的几何概念是无法进行度量的，是一个模型化的概念，因此平面没有厚薄、大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的． 2. 平面的画法 我们常用平行四边形表示平面．如图1，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；如图2，当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． 3. 平面的表示方法 我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面，也可以表示为平面、平面或平面． 【知识点二：点、直线、平面的位置关系的符号和图形表示】 位置关系 符号表示 图形表示 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线不在平面内 直线与相交于点 平面与相交于直线 注： ①我们只是用集合语言去描述上述位置关系，但读法仍用几何语言．如读作“点在直线上”等． ②几何符号的用法与集合符号大致相同，可以将点大致理解为集合中的元素，而直线和平面由点组成，就像集合由元素组成，因此直线和平面应理解为集合． ③在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些． 【知识点三：平面的三个基本事实及其推论】 1. 三个基本事实的内容及其表示 内容 基本事实1 概念 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面” 图形表示 符号表示 若三点不共线，则 基本事实2 概念 若一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 图形表示 符号表示 若，，，，则 基本事实3 概念 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形表示 符号表示 若，，则，且 注：①基本事实1中的“不在同一直线上”和“三个点”缺一不可，若三个点在同一直线上，则经过这三个点的平面有无数个；若点的个数不止三个，则不一定存在平面同时经过这些点. ②由基本事实2可知要判断直线是否在平面内，只需判断直线上的两个点是否在平面内即可. ③由基本事实3可知如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，且这些公共点的集合构成了一条直线，即两平面的交线. 如无特殊说明，两个平面均指两个不重合的平面. 2. 平面基本事实的三个推论 概念 图形表示 符号表示 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 注：三个推论都强调确定一个平面所需要的条件，利用这三个推论我们常常对几何体的截面进行拓展. 【知识点4：空间中直线与直线的位置关系】 1. 三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 于是，空间两条直线的位置关系有三种： 2. 异面直线的画法 为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图. 注：异面直线的定义表明两条异面直线不在同一个平面内，而同一平面内的两条直线的位置关系只有相交或平行，因此两条异面直线既不相交，也不平行. 反之，若两条直线平行或两条直线相交，则这两条直线一定不是异面直线. 3. 异面直线的判定 判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线（即直线与平面相交于点）与平面内不经过点的所有直线都异面 图形表示 符号表示 若， ， ， ， ， ，则与是异面直线 【知识点5：空间中直线与平面的位置关系】 直线与平面的位置关系有且只有三种： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线在平面内 无数个 直线与平面相交 一个 直线与平面平行 零个 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外。 【知识点六：空间中平面与平面的位置关系】 两个平面之间的位置关系有且只有两种： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 两个平面相交 无数个（都在交线上） 两个平面平行 零个 【题型一：证明点、线共面】 【例1】如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 【方法反思】　证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 【变式1】已知三条直线， ， 两两相交，且不交于同一点，求证： ， 和在同一平面上。 【题型二：证明点共线】 【例2】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F. 求证：E，F，G，H四点必定共线. 【方法反思】点共线的证明方法 证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. 【变式1】（多选题）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【变式2】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． 设与交于点，求证：三点共线． 【题型三：证明线共点】 【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 【方法反思】证明三线共点的方法 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 【变式1】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【题型四：直线与直线的位置关系】 【例1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线AB与直线B1C的位置关系是________. (2)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (3)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (4)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； 【变式1】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】若异面直线分别在平面，内，且，则直线（    ） A．与直线都相交 B．至少与中的一条相交 C．至多与中的一条相交 D．与直线中的一条相交，与另一条平行 【题型五：直线与平面的位置关系】 【例1】（多选）下列命题错误的是（    ） A．若直线l上有无数个点不在平面内，则 B．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 【变式1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 【题型六：平面与平面的位置关系】 【例1】已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【变式1】若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【题型七：几何体的截面问题】 【例1】如图，在正方体 中， 是棱 上一点，且 ，试画出过 ，， 三点的平面截正方体 所得的截面 。 【方法反思】 点在同一面，直接连两点；点不在同面，延长找交点； 遇到平行面，就画平行线；最后围一圈，截面就出现。 【变式1】如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 一．选择题（共18小题） 1．（2025春•华容县期末）如图所示，用符号语言可表达为（　　） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 2．（2024春•同步）两条异面直线l1和l2上分别有2个点和3个点，经过这5个点中的3个点确定一个平面，则一共可确定的平面个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（2024•内江三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 4．（2025秋•蚌埠期中）若空间两个角A与B的两边对应平行，当A＝60°时，则B等于（　　） A．30° B．30°或120° C．60° D．60°或120° 5．（2017秋•舒城县校级月考）如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断中正确的是（　　） A．A、B、C、D四点中必有三点共线 B．A、B、C、D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 6．（2025春•秀峰区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面 B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线 C．空间三点确定一个平面 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 7．（2025春•菏泽期中）如果a，b是空间中两条直线，下列说法正确的是（　　） A．a，b要么相交，要么平行 B．a，b要么相交，要么异面 C．a，b要么平行，要么垂直 D．a，b不相交时，要么平行，要么异面 8．（2025春•新北区校级月考）如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（　　） A．直线BM与直线CN相交 B．直线ME与直线CN平行 C．直线AF与直线CN垂直 D．直线AB与直线CN垂直 9．（2026•辽宁一模）若l，m是两条直线，α，β是两个平面，且l⊂β，α∩β＝m．设p：l∥α，q：l∥m，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025秋•武陵区校级期末）已知a、b是异面直线，设平面α满足a⊂α，且b∥α，则这样的α（　　） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 11．（2024春•同步）给出下列说法，其中正确的说法是（　　） A．梯形的四个顶点共面 B．三条平行直线共面 C．有三个公共点的两个平面重合 D．三条直线两两相交，可以确定3个平面 12．（2026•日照一模）已知空间中三条直线a，b，c与平面α分别交于不同的三点A，B，C，则“A，B，C三点共线”是“直线a，b，c共面”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025春•同步）已知空间四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．（2025春•中山区校级期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　） A．E，F，G，H四点共面 B．AA1与GH是异面直线 C．∠EGH＝∠FHG D．EG，FH，AA1三线共点 15．（2024•湖南模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　） A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GH C．EG，FH，AA1三线共点 D．∠EGB1＝∠FHC1 16．（2024春•泉州期中）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．则下列判断中正确的个数是（　　） （1）M，N，K三点共线； （2）P，N，M，C四点共面； （3）BC∥NK． A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2025秋•东城区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别是DD1，BB1的中点．用过点F且平行于平面ABE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（　　） A． B． C． D． 18. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 二．多选题（共5小题） (多选)19.（25-26高三上·江苏连云港·期中）若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则直线（   ） A．可以与，都垂直 B．至少与，中一条相交 C．至多与，中一条相交 D．至少与，中一条平行 （多选）20．（2026•南京二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为CC1中点，下列选项正确的是（　　） A．过点D有且只有一条直线与直线AC、B1C1都垂直 B．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都垂直 C．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都平行 D．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都相交 （多选）21．（2023秋•南阳期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（　　） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 （多选）22．（2025•四川校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1，E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A．A1C⊥GH B．E、F、G、H四点共面 C．设BC＝2，则平面EFC1截该三棱柱所得截面的周长为 D．EF、GH、AA1三线共点 （多选）23．（2025春•同步）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（　　） A．O，N，P，M四点共面 B．O，N，M，D四点共面 C．O，N，M三点共线 D．P，N，O三点共线 三．填空题（共7小题） 24．（2025春•皮山县校级期中）下列说法正确的序号有 　 　 ． ①平面的厚度是5cm； ②经过一条直线和一个点确定一个平面； ③三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ④直线l与平面α有两个公共点，则l⊂α． 25．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝CR ． 26．（2025秋•崇左期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段BB1，BC1的中点，则在该正方体的12条棱中，与EF平行的棱共有　 　 条． 27．（2024春•同步）如果在两个平面内各有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 　 　 ． 28．已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 29．（2025秋•江阳区校级月考）我国古代的数学著作《九章算术•商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形的面积为　 　 ． 30．（2025春•慈利县校级期中）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为 　 　 ． 四．解答题（共3小题） 31．（2025春•同步）根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： （1）A∈α，B∉α； （2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l； （3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α． 32．（2025春•同步）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点． （1）作出由A1，C1，M三点所确定的平面与正方体表面的交线； （2）试作出平面A1C1M与平面ABCD的交线． 33．（2025春•同步）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C属于β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义 【题型一：证明点、线共面】 6 【题型二：证明点共线】 8 【题型三：证明线共点】 9 【题型四：直线与直线的位置关系】 10 【题型五：直线与平面的位置关系】 12 【题型六：平面与平面的位置关系】 13 【题型七：几何体的截面问题】 14 1. 掌握空间中点与直线、点与平面、直线与直线（相交、平行、异面）、直线与平面（平行、相交、在平面内）、平面与平面（平行、相交）的基本位置关系，能准确区分不同位置关系的特征。 2. 牢记异面直线的判定定理，能结合图形用文字、符号准确表述判定条件，并能初步运用定理判断两条直线是否为异面直线。 3. 熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的符号表示和图形表示，能根据位置关系写出对应符号，或根据符号画出简单示意图。 4. 理解“直线在平面外”的含义，明确其包含直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，能准确区分“直线在平面内”与“直线在平面外”的差异。 【知识点一：平面】 1. 平面的概念 生活中有一些物体给我们以平面的直观感觉，例如课桌面、黑板面、平静的水面等．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的． 注：平面、直线、点这类原始的几何概念是无法进行度量的，是一个模型化的概念，因此平面没有厚薄、大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的． 2. 平面的画法 我们常用平行四边形表示平面．如图1，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；如图2，当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． 3. 平面的表示方法 我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1中的平面，也可以表示为平面、平面或平面． 【知识点二：点、直线、平面的位置关系的符号和图形表示】 位置关系 符号表示 图形表示 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线不在平面内 直线与相交于点 平面与相交于直线 注： ①我们只是用集合语言去描述上述位置关系，但读法仍用几何语言．如读作“点在直线上”等． ②几何符号的用法与集合符号大致相同，可以将点大致理解为集合中的元素，而直线和平面由点组成，就像集合由元素组成，因此直线和平面应理解为集合． ③在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些． 【知识点三：平面的三个基本事实及其推论】 1. 三个基本事实的内容及其表示 内容 基本事实1 概念 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面” 图形表示 符号表示 若三点不共线，则 基本事实2 概念 若一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 图形表示 符号表示 若，，，，则 基本事实3 概念 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线 图形表示 符号表示 若，，则，且 注：①基本事实1中的“不在同一直线上”和“三个点”缺一不可，若三个点在同一直线上，则经过这三个点的平面有无数个；若点的个数不止三个，则不一定存在平面同时经过这些点. ②由基本事实2可知要判断直线是否在平面内，只需判断直线上的两个点是否在平面内即可. ③由基本事实3可知如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，且这些公共点的集合构成了一条直线，即两平面的交线. 如无特殊说明，两个平面均指两个不重合的平面. 2. 平面基本事实的三个推论 概念 图形表示 符号表示 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 若，则存在唯一的平面使得， 注：三个推论都强调确定一个平面所需要的条件，利用这三个推论我们常常对几何体的截面进行拓展. 【知识点4：空间中直线与直线的位置关系】 1. 三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 于是，空间两条直线的位置关系有三种： 2. 异面直线的画法 为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图. 注：异面直线的定义表明两条异面直线不在同一个平面内，而同一平面内的两条直线的位置关系只有相交或平行，因此两条异面直线既不相交，也不平行. 反之，若两条直线平行或两条直线相交，则这两条直线一定不是异面直线. 3. 异面直线的判定 判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线（即直线与平面相交于点）与平面内不经过点的所有直线都异面 图形表示 符号表示 若， ， ， ， ， ，则与是异面直线 【知识点5：空间中直线与平面的位置关系】 直线与平面的位置关系有且只有三种： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线在平面内 无数个 直线与平面相交 一个 直线与平面平行 零个 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外。 【知识点六：空间中平面与平面的位置关系】 两个平面之间的位置关系有且只有两种： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 两个平面相交 无数个（都在交线上） 两个平面平行 零个 【题型一：证明点、线共面】 【例1】如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. 【解析】证明:因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α. 【方法反思】　证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 【变式1】已知三条直线， ， 两两相交，且不交于同一点，求证： ， 和在同一平面上。 【解析】法一（纳入法）：证明：（我们知道，两条相交直线可唯一确定一个平面，故可先选择， ， 中的两条直线确定一个平面，再证明第三条直线也在这个平面内，不妨选和） 如图，设， ， ，由题意， ， ， 两两不重合， 由平面基本事实的推论2，相交直线和可以唯一确定一个平面，记该平面为， （下面证明也在内，证明线在面内，只需证线上有两点在该面内，观察发现， 就是这两点） 因为， ，所以，同理，由， 可得， 由平面基本事实2，直线，直线即为直线，所以， 故，和在同一平面上。 法二：　(同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 【题型二：证明点共线】 【例2】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F. 求证：E，F，G，H四点必定共线. 【解析】证明　∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β， ∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α， ∴E∈β， ∴E在α与β的交线l上. 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， ∴E，F，G，H四点必定共线. 【方法反思】点共线的证明方法 证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. 【变式1】（多选题）如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（    ） A．l过点 B．l不一定过点 C．的延长线与的延长线的交点不在l上 D．的延长线与的延长线的交点在l上 【答案】BC 【分析】连接，在正方体中可得四边形是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 由点共面得点共线可判断CD. 【解析】连接，在正方体中，取的中点， 连接，则， 所以四边形是平行四边形，平面，平面， 所以，故A正确，B错误； 如图的延长线与的延长线的交点，的延长线与的延长线交点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 故C错误，D正确. 故选：BC. 【变式2】如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． 设与交于点，求证：三点共线． 【解析】证明：∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 【题型三：证明线共点】 【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 【解析】证明：　∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB与CD必交于一点， 设AB交CD于M. 则M∈AB，M∈CD， 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，M∈β， 又∵α∩β＝l， ∴M∈l， ∴AB，CD，l共点. 【方法反思】证明三线共点的方法 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 【变式1】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【解析】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. (2) 由，，易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【题型四：直线与直线的位置关系】 【例1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)直线AB与直线B1C的位置关系是________. (2)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (3)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (4)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； 【答案】　(1)异面(2)相交(3)异面(4)平行　 【解析】(1)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内，所以两条直线异面。 (2)直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以两直线相交。 (3)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内，所以两直线异面。 (4)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形， ∴A1B∥D1C. 【变式1】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据异面直线的概念结合充分必要条件求解 【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”； ∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件， 故选：A. 【变式2】若异面直线分别在平面，内，且，则直线（    ） A．与直线都相交 B．至少与中的一条相交 C．至多与中的一条相交 D．与直线中的一条相交，与另一条平行 【答案】B 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断作答. 【解析】异面直线分别在平面，内，且，则直线l不能与都不相交， 假设直线与直线都不相交，因，则，又，则， 因此与是异面直线矛盾，所以直线至少与中的一条相交，B正确； 如图1，直线可以与直线都相交，C，D错误；如图2，直线可以与直线中的一条相交，与另一条平行，A错误. 故选：B 【题型五：直线与平面的位置关系】 【例1】（多选）下列命题错误的是（    ） A．若直线l上有无数个点不在平面内，则 B．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】ABC 【解析】借助长方体模型来分析，棱所在直线有无数点在平面外， 但棱所在直线与平面相交，所以A不正确； 所在直线平行于平面,显然不平行于，所以B不正确； ,所在直线平行于平面，但直线平面，所以C不正确； 与平面平行，则与平面无公共点，与平面内所有直线都没有公共点，所以D正确． 故选：ABC. 【变式1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 【解析】　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行. 【题型六：平面与平面的位置关系】 【例1】已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【解析】如图，可能会出现以下两种情况： 【答案】C 【变式1】若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【解析】选D.如图： 【题型七：几何体的截面问题】 【例1】如图，在正方体 中， 是棱 上一点，且 ，试画出过 ，， 三点的平面截正方体 所得的截面 。 【解析】我们用“截面作图四步口诀”求解：“同面两点直接连，异面不够延长线，平行面出平行线，顺次连接成截面”。 步骤1：分析已知点，找同面连线 已知截平面过 、、 三点： 易知仅 、 共面（侧面 ），可直接连接 ，得到截面的第一条边。 步骤2：利用平行面，作平行线找新截点 根据正方体性质：侧面 侧面 （一组平行面） 由“平行面出平行线”原理：截平面与两个平行侧面的交线互相平行，即过 作 的平行线，必在面 内，且与棱 交于新截点 。 步骤3：顺次连接，围成完整截面 最终围成封闭四边形 ，即为所求截面 。 【方法反思】 点在同一面，直接连两点；点不在同面，延长找交点； 遇到平行面，就画平行线；最后围一圈，截面就出现。 【变式1】如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.故选：C 一．选择题（共18小题） 1．（2025春•华容县期末）如图所示，用符号语言可表达为（　　） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【分析】由点是元素，直线是集合，可判断所给命题中的符号的正确用法． 【解答】解：B中，直线n是集合，所以n⊂α，所以B不正确； C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确； D中，错在n∈α， 故选：A． 2．（2024春•同步）两条异面直线l1和l2上分别有2个点和3个点，经过这5个点中的3个点确定一个平面，则一共可确定的平面个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用直线与直线外一点确定一个平面，可得一共可确定的平面个数． 【解答】解：在l2上的3个点中任选二个点，在l1上的2个点中任选一个点， 由直线与直线外一点确定一个平面，有2个同的平面， 同理在l1上的2个点中选二个点，在l2上的3个点中任选一个点， 由直线与直线外一点确定一个平面，有3个同的平面， 故一共可确定的平面个数为5． 故选：C． 3．（2024•内江三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】充分考虑空间三个平面的位置关系即可得． 【解答】解：若三个平面两两平行时，把空间分成4部分， 若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分， 若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分， 若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成6部分， 则n的最大值为8，最小值为4，则n的最小值与最大值之和为12． 故选：B． 4．（2025秋•蚌埠期中）若空间两个角A与B的两边对应平行，当A＝60°时，则B等于（　　） A．30° B．30°或120° C．60° D．60°或120° 【答案】D 【分析】根据空间图形的公理知道当空间两个角a与b的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，得到结果． 【解答】解：∵空间两个角a与b的两边对应平行， ∴这两个角相等或互补， ∵a＝60°， ∴b＝60°或120°． 故选：D． 5．（2017秋•舒城县校级月考）如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断中正确的是（　　） A．A、B、C、D四点中必有三点共线 B．A、B、C、D四点中不存在三点共线 C．直线AB与CD相交 D．直线AB与CD平行 【答案】B 【分析】先根据条件把四点的位置限定下来，即可得到答案． 【解答】解：由空间四点A、B、C、D不共面得： 四点所处的位置比如三棱锥的顶点和底面上的顶点． 可得只有答案B成立． 故选：B． 6．（2025春•秀峰区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面 B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线 C．空间三点确定一个平面 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据异面直线的概念可判断B；根据平面的基本性质可判断C；根据空间异面直线所成角可判断D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误； 对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确； 对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误； 对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误． 故选：B． 7．（2025春•菏泽期中）如果a，b是空间中两条直线，下列说法正确的是（　　） A．a，b要么相交，要么平行 B．a，b要么相交，要么异面 C．a，b要么平行，要么垂直 D．a，b不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项． 【解答】解：根据题意，空间直线间的位置关系有相交，平行或异面，共3种， 故a，b不相交时，要么平行，要么异面，D正确． 故选：D． 8．（2025春•新北区校级月考）如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（　　） A．直线BM与直线CN相交 B．直线ME与直线CN平行 C．直线AF与直线CN垂直 D．直线AB与直线CN垂直 【答案】C 【分析】画出正方体，根据相交推出矛盾判断A，根据正方体的性质CN∥BE，根据BE与ME相交判断B，根据AF⊥BE得AF⊥CN，判断C，根据AB∥MN得直线AB与直线CN所成的角为∠CNM，根据正方形性质可知∠CNM＝45°，即可判断D． 【解答】解：根据题意，由平面展开图还原正方体， 如图所示： 依次分析选项： 对于A，若直线BM与直线CN相交，则B，M，C，N四点共面，即B在平面CMN内，不成立，故A错误； 对于B，根据正方体的性质可知CN∥BE，而BE与ME相交，故直线ME与直线CN不平行，故B错误； 对于C，由于CN∥BE，而AF⊥BE，所以AF⊥CN，故C正确； 对于D，因为AB∥MN，所以直线AB与直线CN所成的角为直线MN与直线CN所成的角， 即∠CNM即为所求，因为∠CNM＝45°，故直线AB与直线CN所成的角为45°，故D错误． 故选：C． 9．（2026•辽宁一模）若l，m是两条直线，α，β是两个平面，且l⊂β，α∩β＝m．设p：l∥α，q：l∥m，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据空间中各要素的位置关系，即可求解． 【解答】解：因为l，m是两条直线，α，β是两个平面，且l⊂β，α∩β＝m， 设p：l∥α，q：l∥m， 所以若l∥α，又l⊂β，α∩β＝m，则l∥m，所以充分性成立， 反过来若l∥m，又l⊂β，α∩β＝m，所以l⊄α，m⊂α， 所以l∥α，所以必要性成立， 所以p是q的充要条件． 故选：C． 10．（2025秋•武陵区校级期末）已知a、b是异面直线，设平面α满足a⊂α，且b∥α，则这样的α（　　） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 【答案】B 【分析】在a上任取一点A作b的平行线c，然后由过两条相交直线的平面有且只有一个可得答案． 【解答】解：已知a、b是异面直线，设平面α满足a⊂α，且b∥α， 在a上任取一点A作b的平行线c，因a∩c＝A，则经过a，c的平面只有1个，设为β． 则a⊂β，又b∥c，c⊂β，b⊄β， 则b∥β，从而α＝β，即这样的平面有且只有一个． 故选：B． 11．（2024春•同步）给出下列说法，其中正确的说法是（　　） A．梯形的四个顶点共面 B．三条平行直线共面 C．有三个公共点的两个平面重合 D．三条直线两两相交，可以确定3个平面 【答案】A 【分析】根据梯形的两条底平行，由公理2的推理即可判断选项A，根据三棱柱的三条侧棱的关系即可判断选项B，根据公理3即可判断选项C，举出反例即可判断选项D． 【解答】解：因为梯形的两条底平行，根据两条平行线确定一个平面可知，梯形的四个顶点共面，故选项A正确； 三棱柱的三条侧棱互相平行，但是不共面，故选项B错误； 有三个公共点的两个平面可能相交，故选项C错误； 三条直线两两相交，可以确定3个平面，也可能是同一平面内的三条直线两两相交，则确定一个平面，故选项D错误． 故选：A． 12．（2026•日照一模）已知空间中三条直线a，b，c与平面α分别交于不同的三点A，B，C，则“A，B，C三点共线”是“直线a，b，c共面”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立． 【解答】解：如图，空间中三条直线a，b，c与平面α分别交于不同的三点A，B，C， 且A，B，C三点共线，但直线a，b，c不共面， ∴充分性不成立； 若直线a，b，c共面，设其为β，则A，B，C均在平面β内，也在平面α内， 则A，B，C在平面β与α的交线上，∴A，B，C三点共线， ∴必要性成立； ∴“A，B，C三点共线”是“直线a，b，c共面”的必要不充分条件． 故选：B． 13．（2025春•同步）已知空间四个不重合的点，则“有三点共线”是“四点共面”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】由确定平面的基本事实即可得到． 【解答】解：如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为直线和直线外一点可以确定一个平面， 如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的． 而有四点共面，不一定得到其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的． 所以，“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”．因此是充分不必要条件． 故选：A． 14．（2025春•中山区校级期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　） A．E，F，G，H四点共面 B．AA1与GH是异面直线 C．∠EGH＝∠FHG D．EG，FH，AA1三线共点 【答案】C 【分析】由中位线性质可判断选项A，由异面直线的特点可判断选项B，由梯形的性质可判断选项C，由平面基本性质可判断选项D． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点， 所以GH∥B1C1，EF∥B1C1，则有GH∥EF，故E，F，G，H四点共面，A正确． 对于B，因为GH⊂平面A1B1C1，A1∈平面A1B1C1且A1∉GH，A∉平面A1B1C1，所以AA1与GH是异面直线，B正确． 对于C，由GH∥EF，且可知，四边形EFHG是梯形， 当且仅当EG＝FH时，梯形EFHG是等腰梯形，有∠EGH＝∠FHG，所以C错误． 如图： 对于D，设EG∩FH＝M，则M∈EG，又EG⊂平面ABB1A1，所以M∈平面ABB1A1； 同理可得M∈平面ACC1A1，即M一定在平面ABB1A1与平面ACC1A1的交线上， 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以M∈AA1，即EG，FH，AA1三线共点．故D正确． 故选：C． 15．（2024•湖南模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　） A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GH C．EG，FH，AA1三线共点 D．∠EGB1＝∠FHC1 【答案】D 【分析】由各线的中点可证得EF∥GH，且EF，HG不相等，可证得A，B为真命题；由点在两个平面上，可得这个点一定在两个平面的交线上，判断出C的真假；由∠EGB1与∠FHC1的正切值不一定相等，可得∠EGB1与∠FHC1不一定相等，判断出D的真假． 【解答】解：因为E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，连接EF，GH， 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得EF∥B1C1，GH∥B1C2，且EF＝B1C1，GHB1C2， 可得EF∥GH，所以A，B正确； C中，可得四边形EFHG为梯形，所以EG与FH相交于一点，设交点为P， 则P∈EG，而EG⊂平面ABB1A1， 所以P∈平面ABB1A1， FH⊂平面ACC1A1， 所以P∈平面ACC1A1， 所以P一定在平面ACC1A1与平面ABB1A1的交线上， 而平面ACC1A1∩平面ABB1A1＝AA1， 所以P∈AA1， 即EG，FH，AA1三线共点，即C正确； D中，因为tan∠EGB1，tan∠FHC1， 因为EB＝FC1，BG1与HC1不一定相等，所以tan∠EGB1与tan∠FHC1不一定相等， 所以∠EGB1与∠FHC1不一定相等，所以D不正确． 故选：D． 16．（2024春•泉州期中）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．则下列判断中正确的个数是（　　） （1）M，N，K三点共线； （2）P，N，M，C四点共面； （3）BC∥NK． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间几何中公理3可知（1），（2）的真假；由CB∩NK＝M，判断出（3）的真假． 【解答】解：因为PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K， 因为PQ，RQ，PR⊂截面PQR，DB，CB，DC⊂平面BCD， 所以M，N，K∈截面PQR，且M，N，K∈平面BCD， 所以M，N，K一定在这两个平面的交线上， 所以M，N，K三点共线，所以（1）正确； 因为N在平面PMC外，所以P，N，M，C四点不共面，所以（2）不正确； 因为CB∩NK＝M， 所以BC与NK不平行，所以（3）不正确． 故选：B． 17．（2025秋•东城区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别是DD1，BB1的中点．用过点F且平行于平面ABE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，取AA1的中点G，连接GF、C1F、D1F，分析可得四边形GFC1D1是平行四边形，由面面平行的判定方法可得平面GFC1D1∥平面ABE，可得平行四边形GFC1D1就是要求的截面，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，取AA1的中点G，连接GF、C1F、D1F， G是AA1的中点，F分别是BB1的中点，则GF∥C1D1， 故四边形GFC1D1是平行四边形， 同时，易得GF∥AB， 又由AB⊂平面ABE，GF⊄平面ABE，则有GF∥平面ABE， G是AA1的中点，E分别是DD1的中点，则有D1G∥AE， 又由DE⊂平面ABE，GD1⊄平面ABE，则有D1G∥平面ABE， 而GF⊂平面GFC1D1，D1G⊂平面GFC1D1，GF∩D1G＝G， 故平面GFC1D1∥平面ABE，故平行四边形GFC1D1就是要求的截面， 又由GF⊥面BCC1B1，则有GF⊥FC1，平行四边形GFC1D1矩形， 其中GF＝AB＝2，FC1， 其面积S＝GF×FC1＝2． 故选：A． 18. 在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为．故选：A． 二．多选题（共5小题） (多选)19.（25-26高三上·江苏连云港·期中）若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则直线（   ） A．可以与，都垂直 B．至少与，中一条相交 C．至多与，中一条相交 D．至少与，中一条平行 【答案】AB 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】可以通过举反例或反证法判断各个选项正误. 【详解】因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面. 若l与a、b都不相交，则，与a、b异面矛盾，所以至少与，中一条相交故B对，C、D错； 当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，直线可以与，都垂直，故A对. 故选：AB. （多选）20．（2026•南京二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为CC1中点，下列选项正确的是（　　） A．过点D有且只有一条直线与直线AC、B1C1都垂直 B．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都垂直 C．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都平行 D．过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都相交 【答案】AC 【分析】根据异面直线的性质以及线面平行、垂直的判定定理，对过点D与直线AC、B1C1的不同位置关系的情况进行逐一分析． 【解答】解：B：一个平面与两条异面直线都垂直，则这两条异面直线平行， 但是AC与B1C1不平行，故不存在这样的平面，B错误； C：过点D分别作直线AC与B1C1的平行线DF、DE，如图所示： AC∥DF，AC⊄面DEF，DF⊂面DEF，故AC∥面DEF， 同理B1C1∥面DEF，则过点D有且只有一个面与直线AC、B1C1都平行，C正确； A：由C知，过点D有且只有一个平面与直线AC、B1C1都平行，该平面为面DEF， 记过点D与面DEF垂直的直线为l， DF⊂面DEF，故l⊥DF， 又DF∥AC，故l⊥AC，同理l⊥B1C1， 故过点D有且只有一条直线与直线AC、B1C1都垂直，A正确； D：过点D与直线AC、B1C1都相交的平面有无数个，D错误． 故选：AC． （多选）21．（2023秋•南阳期末）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（　　） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【分析】根据题意，由正方体的结构特征，按平面与正方体的位置关系依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形，如图： ， A正确； 对于B，截面有可能是四边形，并且有可能是正方形，如图： B正确； 对于C，截面有可能是五边形，如图： 但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形，C错误； 对于D，截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形， 如图： D正确． 故选：ABD． （多选）22．（2025•四川校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1，E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A．A1C⊥GH B．E、F、G、H四点共面 C．设BC＝2，则平面EFC1截该三棱柱所得截面的周长为 D．EF、GH、AA1三线共点 【答案】ABD 【分析】根据题意侧面AA1C1C为菱形，而HG∥AC1，A1C⊥AC1，从而得证A；借助GF∥HE可证B；延长FE交A1A的延长线于P点，连接PC1，交AC于Q点，连接QE，C1F，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D． 【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1，E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，如图， 连接AC1，A1C，由H，G分别为CA，CC1中点，可得HG∥AC1， 由AC＝BC＝AA1可知，侧面AA1C1C为菱形， ∴A1C⊥AC1，∴A1C⊥GH，故A正确； 连接HE，GF， ∵E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点， ∴HE∥BC，GF∥BC，∴GF∥HE， ∴E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长FE交A1A的延长线于P点，连接PC1，交AC于Q点，连接QE，C1F， 设FE，FC1确定平面为α，则P，C1∈α， ∴PC1⊂α，∴C1Q，QE⊂α， ∴三棱柱的截面四边形为FEQC1， 在Rt△C1B1F中，， 在Rt△BEF中，，而Rt△AEH中，QE＞EH＝1， 而， ∴截面的周长大于，故C错误； 由B知，GF∥HE且HE≠GF，∴梯形的两腰EF、GH所在直线必相交于一点P′， ∵P′∈平面A1ABB1，P′∈平面A1ACC1，又平面A1ABB1∩平面A1ACC1＝AA1， ∴P′∈A1A，所以P′与P重合， 即EF、GH、AA1三线共点于P，故D正确． 故选：ABD． （多选）23．（2025春•同步）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是（　　） A．O，N，P，M四点共面 B．O，N，M，D四点共面 C．O，N，M三点共线 D．P，N，O三点共线 【答案】AD 【分析】由平面PAC和平面PBD相交，可得它们有且只有一条交线，结合图形和公理2，可得所求结论． 【解答】解：由平面PAC和平面PBD相交，可得它们有且只有一条交线， 而O，N，P为它们的公共点，由公理2可得它们有且只有一条公共直线，即O，N，P三点共线，选项D正确； 由O，N，P三点共线，M为直线外一点， 所以O，N，P，M四点共面，选项A正确； O，N，M，D四点不共面，选项B错误； O，N，M三点不共线，选项C错误． 故选：AD． 三．填空题（共7小题） 24．（2025春•皮山县校级期中）下列说法正确的序号有 　 　 ． ①平面的厚度是5cm； ②经过一条直线和一个点确定一个平面； ③三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ④直线l与平面α有两个公共点，则l⊂α． 【答案】④． 【分析】根据平面的概念及平面的基本性质的公理及推论可进行判定． 【解答】解：由平面的概念知平面无宽窄，无厚度，故①错误； 根据经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面知②错误； 当三条直线交于一点时，可不在同一平面内，故③错误； 根据如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内知④正确． 故答案为：④． 25．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝CR ． 【答案】CR． 【分析】由线在面内公理及面面相交的公理的应用，判断出结论． 【解答】解：因为平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β且C∉l，AB∩l＝R， 可得CR⊂β，R∈AB，R∈β，C∉α， 因为过点A，B，C三点的平面为平面γ（唯一的平面），即C∈γ， 所以R∈γ，可得β∩γ＝CR． 故答案为：CR． 26．（2025秋•崇左期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段BB1，BC1的中点，则在该正方体的12条棱中，与EF平行的棱共有　 　 条． 【答案】4． 【分析】根据中位线的性质及正方体的性质判断即可． 【解答】解：根据题意，如图： 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 由于E，F分别为线段BB1，BC1的中点，则EF∥B1C1． 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC∥B1C1∥A1D1， 所以与EF平行的棱共有4条． 故答案为：4． 27．（2024春•同步）如果在两个平面内各有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是 　 　 ． 【答案】相交或平行 【分析】以正方体为载体，列出所有情况，由此能求出两个平面的位置关系． 【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AB⊂平面ABB1A1，CD⊂平面ABCD， AB∥CD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB； A1B1⊂平面A1B1C1D1，CD⊂平面ABCD， A1B1∥CD，平面A1B1C1D1∥平面ABCD． ∴在两个平面内各有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是相交或平行． 故答案为：相交或平行． 28．已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为__________. 【答案】 【解析】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点， 连接交于点，连接，． 则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为． 29．（2025秋•江阳区校级月考）我国古代的数学著作《九章算术•商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形的面积为　 　 ． 【答案】． 【分析】延长AN，与CC1的延长线交于点P，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形，根据图形特征，将四边形AMEN分为△AMN和△EMN，可得所求面积． 【解答】解：由题意“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点， 可以延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C， 连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形， 由题意解三角形可得， ，， ∴△AMN中MN边上的高， △EMN中MN边上的高， ∴AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形的面积 ． 故答案为：． 30．（2025春•慈利县校级期中）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据给定条件，作出平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答． 【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α， 在正四棱锥S﹣ABCD中，连接AC， 则ACSA＝SC，△SAC是正三角形， 由SC的中点为E，得AE⊥SC， 而SC⊥α，SC∩α＝E，则AE⊂α， 在△SBC中，cos∠BSC， sin∠BSC，令平面α与直线SB交于F， 连EF，AF，则SC⊥EF， SF，∴点F在棱SB上， 同理平面α与棱SD相交， 令交点为G，连EG，AG， 则四边形AFEG为平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面， 由对称性知△AEG≌△AEF， 在△SEF中，EF＝SFsin∠BSC， AE＝ACsin， 在△SAF中，∵cos∠ASF，∴AF， 在△AEF中，由余弦定理得cos∠EAF，， ∴平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为： SAFEG＝2S△AEF． 故答案为：． 四．解答题（共3小题） 31．（2025春•同步）根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： （1）A∈α，B∉α； （2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l； （3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α． 【答案】（1）； （2）； （3 【分析】由点线面的位置关系可分别画出所给的图形． 【解答】解：（1）由题意如图所示：； （2）由题意如图所示：； （3）由题意如图所示 32．（2025春•同步）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点． （1）作出由A1，C1，M三点所确定的平面与正方体表面的交线； （2）试作出平面A1C1M与平面ABCD的交线． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）连接A1C1，A1M，C1M，即可求得交线； （2）延长CB和C1M交于点G，延长A1M，和AB交于点H，GH即为所求． 【解答】解：（1）连接A1C1，A1M，C1M，即得由A1，C1，M三点所确定的平面与正方体表面的交线． （2）延长CB和C1M交于点G，延长A1M，和AB交于点H， 因为平面是无限伸展的，所以GH即为所求的交线． 33．（2025春•同步）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C属于β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【分析】AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α，可得直线AB与l相交于D点，利用公理2，可得平面ABC与平面β的交线与l相交． 【解答】平面ABC与平面β的交线与l相交． 证明：∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α， ∴直线AB与l相交于D点，D∈l，D∈β， ∴D∈AB，D∈平面ABC， ∵C∈β，C∈平面ABC， ∴β∩平面ABC＝CD且CD∩l＝D． 学科网（北京）股份有限公司 $