第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 4．点（线）共面、点共线、线共点问题的证明 (1)证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【题型1 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【变式1.1】（24-25高二下·陕西西安·月考）每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【变式1.3】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【题型2 空间中的点共线问题】 【例2】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式2.1】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式2.3】（24-25高二上·北京·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【题型3 空间中的点（线）共面问题】 【例3】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3.1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面. 【变式3.3】（24-25高一下·山东烟台·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：，，，四点共面； （2）若，，与平面交于点，求证：三点共线． 【题型4 空间中的线共点问题】 【例4】（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式4.1】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【变式4.2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【变式4.3】（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型5 平面分空间的区域数量】 【例5】（24-25高二上·四川乐山·月考）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【变式5.1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【变式6.1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6.3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7】（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【变式7.1】（24-25高一下·广西梧州·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式7.2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【变式7.3】（24-25高一下·湖南·期末）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8】（24-25高一下·江苏常州·期末）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式8.1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8.2】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式8.3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 7．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 8．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 10．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 11．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 三、填空题 12．（24-25高一下·贵州黔西南·月考）已知平面和直线，且 则与的位置关系是___________． 13．（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为___________． 14．（25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是___________． 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 18．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母α,β,γ,…表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“⊂”“⊄”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且P ∈β⇒α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 4．点（线）共面、点共线、线共点问题的证明 (1)证明点（线）共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明点共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【题型1 平面的基本性质及辨析】 【例1】（24-25高一下·天津河西·月考）下列命题中真命题的为（    ） A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【解题思路】由平面的确定定理判断即可. 【解答过程】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·陕西西安·月考）每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】C 【解题思路】根据平面的基本事实可得正确的选项. 【解答过程】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一个平面. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【解题思路】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断. 【解答过程】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【解题思路】根据平面的基本性质求解. 【解答过程】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 【题型2 空间中的点共线问题】 【例2】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式2.1】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解答过程】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【解题思路】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【解答过程】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式2.3】（24-25高二上·北京·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证. （2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证. 【解答过程】（1） 、分别是、的中点， ， ，， . （2）因为， ，平面， 所以平面，同理平面. 所以是平面与平面的公共点， 又平面 平面， 所以，所以三点共线. 【题型3 空间中的点（线）共面问题】 【例3】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【解答过程】第一个图，如图：    分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：    为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C. 【变式3.1】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图形及平行公理判断即可. 【解答过程】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面. 【答案】证明见解析 【解题思路】可得，，所以可得，即可求证. 【解答过程】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式3.3】（24-25高一下·山东烟台·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：，，，四点共面； （2）若，，与平面交于点，求证：三点共线． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）证明EF∥BD即可得出结论； （2）只需说明三点都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共点即可得出结论． 【解答过程】证明：（1）连接， 在正方体中，∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，∴， 又因为，∴ ∴四边形为梯形，即，，，四点共面． （2）在正方体中，，， ∴是平面与平面的交线， 又因为交平面于点， ∴是平面与平面的一个公共点． 因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上， ∴三点共线． 【题型4 空间中的线共点问题】 【例4】（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【解题思路】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【解答过程】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴ . ∵四边形为平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴ ，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式4.1】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【解答过程】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 【变式4.2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【解答过程】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 【变式4.3】（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【解答过程】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型5 平面分空间的区域数量】 【例5】（24-25高二上·四川乐山·月考）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【解答过程】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解题思路】根据平面的性质，结合空间想象画出划分空间最多的情况即可得. 【解答过程】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解. 【解答过程】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【解题思路】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【解答过程】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6】（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【解题思路】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【解答过程】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【解答过程】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在正四棱台中，分别为的中点，下列各组直线中属于异面直线的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解题思路】根据正四棱台的结构特征及异面直线的定义判断各项两条直线是否为异面直线. 【解答过程】由正四棱台的结构特征有，A不符； 由棱台的性质知，四条侧棱延长线交于一点，记为， 又分别为的中点，则也交于点，B不符； 由棱台结构易知平面， 由平面，平面平面，则，C不符； 由平面，又且都在平面内，，则和为异面直线，D符合. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】画出正方体，由正方体的性质可得. 【解答过程】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，， 则，则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为； 因且，则， 则①③错误，②④正确. 故选：B. 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7】（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解题思路】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【解答过程】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一下·广西梧州·月考）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【解题思路】由，分析出与的所有位置关系即可判断A，由 ，分析出的所有位置关系，即可判断B，由 ，分析出与的所有位置关系即可判断C；由 ，分析出的所有位置关系，即可判断D. 【解答过程】由，得与相交或 或，故A错误； 由 ，得，故B正确； 由 ，得 或，故C错误； 由 ，得 或相交或异面，故D错误. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【解题思路】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【解答过程】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高一下·湖南·期末）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可. 【解答过程】对于A：若，，则或或，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：C. 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8】（24-25高一下·江苏常州·期末）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解题思路】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可. 【解答过程】若，，，则直线与的位置关系可以平行、相交和异面，故A错误； 若，，，则直线与的位置关系可以平行和异面，故B错误； 若，，，则，可以平行也可以相交，故C错误； 若，，可得 ，又，所以，故D正确. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】根据线面的位置关系逐一判断每个选项. 【解答过程】若，则，A选项正确. 若，则，也可能相交，B选项错误； 若，则，也可能，C选项错误； 若，则，还可能，，和相交但不垂直，D选项错误. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解题思路】在三棱柱以及长方体中举反例，即可求解AB，根据空间中点线面的位置关系即可求解CD. 【解答过程】对于A, 如图三棱柱中，, 平面,平面,但是平面与平面相交，故A错误， 对于B，如图在长方体中，,平面，平面,但平面与平面相交，故B错误， 对于C, 若，，，则,C正确， 对于D, 若，，，则或者异面，故D错误， 故选：C. 【变式8.3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解题思路】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可． 【解答过程】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若,，则，结合，则，故C正确； 对于D，若，，，则不一定成立，还可能相交，故D错误； 故选：D． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】利用点、线、面的关系判断即得. 【解答过程】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两平面相交的特点判断. 【解答过程】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【解题思路】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【解答过程】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D. 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【解答过程】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用线面位置关系逐项分析判断. 【解答过程】对于A，若l与不平行，则l与相交或在内，而，则l与m可能平行、 可能相交、也可能是异面直线，A错误； 对于B，，则在内存在直线，当内的直线与垂直时，此时，B错误； 对于C，若，且，，则l与m异面，C错误； 对于D，若，且l与不垂直，则l与m可能垂直， 在正方体中，取为平面，，符合题意，，D正确.    故选：D. 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【解题思路】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【解答过程】如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C. 7．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【解题思路】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【解答过程】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B. 8．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（   ） A．A，C，，四点共面 B．，M，O三点共线 C．平面 D．与BD异面 【答案】C 【解题思路】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【解答过程】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以 平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以 底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面 ，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【解题思路】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【解答过程】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 10．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 【答案】AD 【解题思路】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【解答过程】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD. 11．（24-25高二上·湖北随州·月考）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】ABD 【解题思路】由长方体性质易知四点共面且是异面直线，再根据与、平面、平面的位置关系知在平面与平面的交线上，同理判断共线，即可判断各选项的正误. 【解答过程】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·贵州黔西南·月考）已知平面和直线，且 则与的位置关系是___________． 【答案】平行或相交 【解题思路】分别考虑相交或平行时，是否存在满足条件的直线得解. 【解答过程】，， 当与相交或平行时，都能找到且， 故答案为：平行或相交. 13．（24-25高一下·上海·期末）在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为___________． 【答案】 【解题思路】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【解答过程】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是___________． 【答案】①②③ 【解题思路】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【解答过程】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③. 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】连接，由正方体的性质得到为平行四边形，从而得到，再由中位线的性质得到，最后由平行公理证明即可. 【解答过程】如图，连接， 在正方体中，易知且， 四边形为平行四边形， ， 又、分别为、的中点， ， ． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 【答案】证明见解析 【解题思路】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【解答过程】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【答案】证明见解析 【解题思路】由延长CE与，会相交于一点，即可求证； 【解答过程】证明：在正方体中，E为的中点， 与不平行. 延长CE与，延长线相交于一点， ，. 又平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面相交. 18．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）说明，再由两条相交直线可以确定平面即可求证； （2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可. 【解答过程】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【解题思路】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可； （2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【解答过程】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $