立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦立体几何初步的核心知识点，以线线平行判定为基础，系统梳理线面平行的判定与性质，进而过渡到面面平行的判定与性质，构建逻辑递进的学习支架。 资料通过知识点解析（含图示、文字及数学语言）、高考模拟与月考真题例题分析、变式训练，帮助学生从具体几何体情境中发展几何直观与空间观念（数学眼光），在证明推理中培养逻辑思维（数学思维），用符号语言精准表达（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 面面平行的性质 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 【例题分析】 例1．（2026·山西运城·二模·节选）将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． (1)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1） 取的中点，连接，． 易证，且， 又为的中点，所以，且， 则四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 例2．（25-26高三下·山东泰安·月考·节选）如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取线段的中点，线段靠近点的四等分点， 连接，如图， 是的中点，，且，即， 又，且， ，且四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. 例3．（25-26高二下·天津·月考·节选）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以为的中点. 又点为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【变式训练】 变式1．（2026·云南玉溪·二模·节选）如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1） 如图，连接，设， 因为，且，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. 变式2．（25-26高三下·陕西咸阳·月考·节选）如图，在四棱台中，，四边形为平行四边形，为棱的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接. 四棱台中，四边形为平行四边形， 则平面平面，且四边形为平行四边形. 又为棱的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 考点二 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 例1．（2026·北京石景山·一模·节选）如图，在三棱锥中，为等边三角形.G，E，F分别是，，的中点.，，，与平面GEF交于点. (1)求证：是BC的中点. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在三棱锥中， 因为E，F分别是，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面， 所以， 因为G是的中点，所以是BC的中点. 例2．（2026·青海西宁·二模·节选）如图，在五面体中，平面平面，平面，为等边三角形，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在五面体中，平面， 平面，平面平面， 所以， 同理可证， 所以． 例3．（25-26高三下·河南·月考·节选）如图，在圆锥中，，，，为底面圆周上的四个点，且四边形为正方形，为母线的中点，在线段上取一点，过和作一平面与线段交于点． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图，连接，，． 因为四边形为正方形，为底面圆的圆心， 所以， 从而是对角线与的交点． 连接，则是的中位线，所以． 又平面，平面，所以平面． 又平面，平面平面， 所以； 【变式训练】 变式1．（2026·山西吕梁·二模·节选）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上一点，正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面与平面的交线为直线，且平面， 所以； 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测·节选）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且． (1)设平面与平面的交线为，证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由，，得四边形为平行四边形， 则， 而平面，平面， 则平面， 又平面平面平面， 所以. 考点三 面面平行的判定 【知识点解析】 1.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏泰州·月考·节选）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，，的中点分别为， 所以， 又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面， 所以平面平面， 例2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考·节选）如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. 例3．（2026·广西崇左·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·江西·月考·节选）如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，易证且，则四边形为平行四边形，所以， 又因为，即为的中点，为的中点，所以， 所以，且平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可证， 所以，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面. 变式2．（2026·湖北孝感·二模·节选）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，又在平面内相交于点， 所以平面平面. 考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 【例题分析】 例1．（2026·甘肃·二模·节选）如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图，连接， 是矩形，是的中点， 是的中点， 平面，平面， ， 因为是的中点，， 平面，平面， 平面. 例2．（2026·山东滨州·一模·节选）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）在线段上取一点，使得， 因为平面，平面，所以平面， 由平行线性质可得：， 且，，则， 即，可得，且，则， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，可得平面平面， 由平面，可得平面. 例3．（2026·天津·一模·节选）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； 【变式训练】 变式1．（2026·山东临沂·一模·节选）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 变式2．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试·节选）如图，在圆台中，下底面圆的直径，点C在圆上，且，上底面圆的半径，且平面平面． (1)证明：． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）作，垂足为M，连接． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为平面，所以，． 因为圆台的上、下底面平行，所以圆， 则，． 因为平面，所以，即点，，M，P共面． 因为平面，所以，， 所以四边形为矩形， 所以，． 在中，，． 在中，，解得， 所以． 在中，M，分别为，的中点， 所以，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 面面平行的性质 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (②)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果平面外一条直线 lm lta→lla 线面平行的判定 与此平面内的一条直线平 mca 行，那么该直线与此平面 平行. 【例题分析】 例1.(2026山西运城二模.节选)将正方体ABCD-A,B,C,D,截去三棱锥C-B,CD,后得到如图所示的几何体，且 H为AC的中点. A D D A H B C (1)证明：AH11平面B,CD. 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 例2.(25-26高三下山东泰安月考节选)如图，在四面体S-ABC中，SC⊥平面ABC,D是SC的中点，E是AD 的中点.点F在线段BS上，且BS=4BF. B (I)求证：EF/平面ABC; 例3.(25-26高二下·天津月考节选)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB, AD=3,AB=AF=2EF=2,点P为DF的中点. F B (I)求证：BF∥平面APC; 2 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 【变式训练】 变式1.(2026·云南玉溪.二模.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC/1AD,AD⊥平面PAB,PA=AB=BC=1, AD=2,E为棱PD上一点，ED=2PE. B (I)证明：PB/1平面ACE; 变式2.(25-26高三下·陕西咸阳月考节选)如图，在四棱台ABCD-A,B,CD,中，AB=2A,B,四边形ABCD为平 行四边形，E为棱BC的中点. A B 、1 (1)求证：D,E/平面ABB,A; 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 考点二 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 一条直线与一个平面 a lcβ →1‖m 线面平行的性质 平行，如果过该直线的平 a∩B=m 面与此平面相交，那么该 直线与交线平行. 【例题分析】 例1.(2026北京石景山一模.节选)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD为等边三角形.G,E,F分别是BD, AC,AD的中点.AB=2,CD=1,BC=√5，BC与平面GEF交于点H (I)求证：H是BC的中点， 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 例2.(2026青海西宁·二模.节选)如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,EF∥平面ABCD, AD⊥DC,AADE为等边三角形，AB=4,CD=3,EF=AD=2. D A (1)求证：ABIICD; 例3.（25-26高三下·河南月考节选)如图，在圆锥S0中，A,B,C,D为底面圆周上的四个点，且四边形 ABCD为正方形，P为母线SC的中点，在线段PD上取一点M,过M和SA作一平面与线段OD交于点N. S A B (1)证明：SA∥MN: 5 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 【变式训练】 变式1.(2026山西吕梁.二模·节选)如图，圆柱O,02的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O2上一点，正方形 ABCD内接于⊙O,设平面PAD与平面PBC的交线为直线I,点Q为直线I上一点. m:02 D (1)证明：111BC; 变式2.(2026~陕西西安模拟预测节选)如图，直角梯形ABCD中，AB11CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为 2 AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到点P的位置，且PC=2√. (I)设平面PBC与平面PDE的交线为I,证明：BC1II; 6 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 考点三 面面平行的判定 【知识点解析】 1.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一个平面内的两 mlla nlla 面面平行的判定 条相交直线与另一个平面 m∩n=O →alB mncβ 平行，那么这两个平面平 行. 【例题分析】 例1.(25-26高二下·江苏泰州·月考.节选)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD∥EA, PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H. H F〉 E D B (I)求证：平面FGH/I平面ADPE; 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 例2.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考节选)如图，在圆柱OO中，AC,AC分别为圆O,圆Q的直径，AA, BB,CC,为圆柱的母线， 0 C P A C (I)求证：平面AOB1/平面O,B,C; 例3.(2026广西崇左一模·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD1/BC,AB⊥BC, AD=2BC=2AB=4,E,F,G分别为AD,PA,CD的中点 M-E ---->D G B (I)证明：平面BEF//平面PCD 8 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三下·江西·月考节选)如图，在四棱台A,B,C,D,-ABCD中，A4⊥平面ABCD,正方形ABCD的 边长为4，且A4=AD=2,M,N分别为线段CD,BC的中点，点P在线段AB上，且BP=}AB 4 B D (I)证明：平面B,PN∥平面D,AM 变式2.(2026·湖北孝感·二模节选)如图：正八面体E-ABCD-F可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底 面粘接在一起的几何体。 E F (I)证明：平面EAD/平面FCB; 9 立体几何初步：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质讲义 考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 (1)两个平面平行，一个 alβ →mla mC B 平面内的任意一条直线与 面面平行的性质 另外一个平面平行. alβ (2)两个平面平行，如果 a∩y=m→mlln B∩y=n 另一个平面与这两个平面 相交，那么两条交线平行， 【例题分析】 例1.(2026·甘肃·二模.节选)如图，在多面体ABCD-EFC中，ABCD为矩形，AE,CF,DG分别与平面ABCD垂 直，AE=AD=2,AB=CF=3,M,N分别是BD,EF的中点 G (1)求证：MN//平面DCFG; 9