专题02韦达定理综合题七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题02 韦达定理综合题七类题型 典例详解 类型一、韦达定理的基础公式 类型二、根的判别式判断根的情况 类型三、常见对称式求值 类型四、已知根求原方程 类型五、整数解与参数范围综合 类型六、已知对称式求参数 类型七、根的符号判断 压轴专练 类型一、韦达定理的基础公式 例1（25-26八年级下·浙江温州·月考）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 变式1-1（25-26九年级下·湖北十堰·月考）若是一元二次方程的根的情况为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为：，， ∴．． 变式1-2（2022·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根是和，则___________． 【答案】2 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题可知方程中，，，， 根据根与系数的关系可得： ， ， 将，代入得： 原式． 类型二、根的判别式判断根的情况 例2（2026·安徽阜阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，通过计算判别式的值，对比其与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 变式2-1（2026·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：中， ， 令，解得或， 时，有两个相等的实数根； 当时，，没有实数根； 当时，，有两个不相等的实数根． 综上可得，无法判断根的情况． 变式2-2（2026·广西南宁·一模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】利用根的判别式即可求解． 【详解】解：∵的方程， ∴， ∴的方程无实数解． 故选：D． 变式2-3（25-26八年级下·浙江温州·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是2， ∴把代入得， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 类型三、常见对称式求值 必背公式 例3（21-22九年级上·四川甘孜·期末）已知方程的两根，．那么是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式进行变形求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 变式3-1（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，， ，， ， 故答案为：． 变式3-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 【答案】 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： 变式3-3（25-26八年级下·浙江金华·月考）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 类型四、已知根求原方程 例4（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键． 根据根与系数的关系，一元二次方程，有两根、，则，，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴3 和是方程的两根，故本选项符合题意； C、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； D、∵， ∴3 和不是方程的两根1，故本选项不符合题意； 故选：B． 变式4-1（22-23九年级上·福建厦门·月考）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识． 变式4-2（24-25八年级下·山东威海·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得到，则化为，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为3，， ∴，， ∴ ∴化为， 即， 解得：． 故答案为：． 类型五、整数解与参数范围综合 例5（25-26八年级上·上海·期中）已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 利用根与系数的关系，列出所有整数根对，计算对应的k值． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数，且积为，设两个根分别为， ∴所有可能的整数根的组合为：． 又∵根的和， ∴计算各对的和： 其余对的和与上述重复， ∴不同的值为，共4个． 故选：D． 变式5-1（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，通过因式分解得到整数根的可能组合，再求出整数的值． 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，， 将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时， 解得： ，，或，， ， 或， 故答案为：或． 变式5-2（22-23九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 【答案】 【分析】若一元二次方程有有两个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴且， 解得，且， 方程的根为， 根据根与系数的关系可得为整数，也为整数，且为整数， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 类型六、已知对称式求参数 例6（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 变式6-1（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， ； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ，即， ，即， ， 解得或， 由（1）知，， ． 【点睛】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；，是一元二次方程的两根时，一元二次方程根与系数的关系为：，． 变式6-2（25-26九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根 (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系的知识，熟记根的判别式是解决本题的关键． （1）根据关于x的一元二次方程有实数根得到，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数关系得到，，再根据题目给出的条件进行解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ， ∴， ∴， 解得 ． （2）解：由根与系数的关系得： ， ， ， 整理得 ， ∴， 解得 或 ， ， ． 变式6-3（25-26九年级上·四川达州·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系的应用，关键是利用判别式判断根的存在情况，利用韦达定理转化根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有两个实数根时判别式，代入方程系数建立不等式，求解即可得到的取值范围； （2）先将通分转化为含和的形式，再利用根与系数关系求出与的表达式，代入后建立关于的方程求解，最后验证是否满足（1）中的取值范围． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 解得； （2）解：由根与系数关系可知，在一元二次方程中， ，． ∵， ∴，解得，满足的取值范围， 故． 类型七、根的符号判断 例7（24-25九年级上·四川资阳·月考）已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据原方程有两个非负实数根，得，，可得t的取值范围，再将展开整理，然后代入即可计算． 【详解】∵方程有两个非负数实数根a，b， ∴，， 解得． 由， 得， 即， ∴， 整理，得， 解得． ∵， ∴． 故答案为：5． 变式7-1（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)如果方程有两个实数根，求的取值范围； (2)如果方程有两个正实数根，求的取值范围． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查根的判别式和一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程的根与 的关系，与，是解题的关键． （1）由方程有两个实数根得 ，可得关于的等式，解之可得的值； （2）由方程有两个正实数根得，，可得关于的不等式，解之结合（1）可得的范围； 【详解】（1）∵方程有两个实数根， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且； （2）设方程的两个实数根为：， ∵方程有两个正实数根， ∴，， ∴ ， 又且， ． 变式7-2（22-23九年级上·广东江门·期末）已知是实数，若，是关于的一元二次方程的两个非负实根． (1)______； (2)______；（用t的代数式表示） (3)求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由方程有两个非负实根可得，根据根于系数的关系，化简即可求解． 【详解】（1）解： ，是方程的两个非负实根， ， 故答案为：2； （2）解： ，是方程的两个非负实根， ， 故答案为：； （3）解： ，是方程的两个非负实根， ， 解得， 当时，取得最小值． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握方程的两个根是，时，，． 1.（25-26九年级下·广东广州·月考）已知，，是方程的两个实数根，则______． 【答案】2026 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之和的公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 2.（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】利用韦达定理，先根据两根之和求出另一个根，再根据两根之积求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 在方程中，，， 两根之和， ∴． ∴． 3.（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程． (1)已知方程的其中一个根，求的值． (2)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入方程求解即可． （2）根据，即可判断． 【详解】（1）解：把代入方程， 得， 解得：． （2）证明 该方程有两个不相等的实数根． 4.（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 5.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系及解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）根据，，由整体代入建立关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，，， ， ，即， 解得或． 6.（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【答案】(1) (2)，互为倒数，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“友好方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的“友好方程”为， 故答案为：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴； ，与互为倒数，证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解： 根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为 ， ∴的两个根为， 整理得， 故答案为：． 7.（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个正实数根，，且，求m． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）证明：由题意可得： ； ∴该方程总有两个实数根； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系，得，． ∵， ∴． 解得．     ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 8.（23-24八年级下·浙江杭州·月考）（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）43；（2） 【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据a，b是的解，求出和的值，即可求出结果． （3）运用根与系数的关系求出，再解，即可求出k的值． 【详解】解：（1）、是一元二次方程的两个根， ， ； （2）存在，当时， 由变形得： 由变形得：， 把代入，并整理得：， 由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根，故有： 即： 解得：． 9.（24-25八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【答案】(1)6， (2)4 (3)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； （2）解：根据根与系数的关系得，， ； （3）解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 10.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题： (1)若、是方程的两个实数根，______；______； (2)若、是方程的两个实数根，______；______； (3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)4，； (2)2，12； (3)． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系求出，，然后根据分式的加法和完全平方公式的变形求解即可； （3）首先由根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形求出求的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：、是方程的两个实数根， ，， 故答案为：4，； （2）解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：2，12； （3）解：、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ． 11.（25-26九年级上·福建宁德·月考）解答下列问题： (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为 ，的值为 ． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，分式的求值，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，然后得到，整体代入求解即可； （3）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系得到，，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵方程的两个实数根分别为、， ∴，； （2）∵方程的两个实数根分别为、， ∴， ∴； （3）∵、是关于的方程的两个实数根 ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 整理得， 解得（舍去）或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 韦达定理综合题七类题型 典例详解 类型一、韦达定理的基础公式 类型二、根的判别式判断根的情况 类型三、常见对称式求值 类型四、已知根求原方程 类型五、整数解与参数范围综合 类型六、已知对称式求参数 类型七、根的符号判断 压轴专练 类型一、韦达定理的基础公式 例1（25-26八年级下·浙江温州·月考）一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 变式1-1（25-26九年级下·湖北十堰·月考）若是一元二次方程的根的情况为（   ） A． B． C． D． 变式1-2（2022·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根是和，则___________． 类型二、根的判别式判断根的情况 例2（2026·安徽阜阳·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 变式2-1（2026·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 变式2-2（2026·广西南宁·一模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 变式2-3（25-26八年级下·浙江温州·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 类型三、常见对称式求值 必背公式 例3（21-22九年级上·四川甘孜·期末）已知方程的两根，．那么是（       ） A． B． C． D． 变式3-1（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________． 变式3-2（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 变式3-3（25-26八年级下·浙江金华·月考）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 类型四、已知根求原方程 例4（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 变式4-1（22-23九年级上·福建厦门·月考）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 变式4-2（24-25八年级下·山东威海·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为________． 类型五、整数解与参数范围综合 例5（25-26八年级上·上海·期中）已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-1（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 变式5-2（22-23九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有两个整数根，则整数的值是___________． 类型六、已知对称式求参数 例6（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 变式6-1（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 变式6-2（25-26九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根 (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 变式6-3（25-26九年级上·四川达州·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 类型七、根的符号判断 例7（24-25九年级上·四川资阳·月考）已知t为实数，关于的方程有两个非负实数根，且，则的值是________． 变式7-1（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)如果方程有两个实数根，求的取值范围； (2)如果方程有两个正实数根，求的取值范围． 变式7-2（22-23九年级上·广东江门·期末）已知是实数，若，是关于的一元二次方程的两个非负实根． (1)______； (2)______；（用t的代数式表示） (3)求的最小值． 1.（25-26九年级下·广东广州·月考）已知，，是方程的两个实数根，则______． 2.（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 3.（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程． (1)已知方程的其中一个根，求的值． (2)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 4.（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 5.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设，求m的值． 6.（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____． (2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 7.（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个正实数根，，且，求m． 8.（23-24八年级下·浙江杭州·月考）（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 9.（24-25八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 10.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：如果一元二次方程的两个实数根分别是、，那么，．借助该材料完成下列各题： (1)若、是方程的两个实数根，______；______； (2)若、是方程的两个实数根，______；______； (3)若、是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 11.（25-26九年级上·福建宁德·月考）解答下列问题： (1)方程的两个实数根分别为、，则的值为 ，的值为 ． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $