8.5一元二次方程的根与系数的关系（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

8.5 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 由根与系数的关系直接求代数式的值 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 2．（22-23九年级上·广东梅州·期中）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 由方程的一根求方程的另一根 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　） A．1 B．5 C． D． 2．若，且n为一元二次方程的一个根，则一元二次方程的另一根为（    ） A． B．-1 C． D． 4．若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 5．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，那么这个方程的另一个根是 ． 5．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 题型三 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 1．（2024春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 2．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 3．（2025·四川南充·三模）若、是方程的两个根，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一元二次方程的两根为和，求下列各式的值： (1) (2) 题型四 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 1．（2024春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2024春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 4．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值． 5．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 题型五 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 1． （2024春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 2．（2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 3．（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 4．（2024春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 5．（2024·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 题型六 构造一元二次方程求代数式的值 1．（2024·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 2．（2024春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 3．（2024春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 4．（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 5．（2024·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 题型一 由方程两根满足的关系求字母的值 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2＝0的两根，且＝1，则k的值为（　　） A．k＝﹣1 B．k＝3 C．k＝﹣1或3 D．k＝1 4．（2024四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为 　 ． 5．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 题型二 由方程满足的不等关系确定字母的取值范围 1．（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（2024·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是 ． 3．（2024春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是 ． 4．（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？ 5．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 题型三 根与系数关系中的新定义问题 1．当方程满足时，我们称方程为“凤凰方程”.若是凤凰方程且有一个根是，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．-1或2 2．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 题型一 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 4．（24-25八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 由根与系数的关系直接求代数式的值 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：B． 2．（22-23九年级上·广东梅州·期中）若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解答此题的关键． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 各小题利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，是的两根， 则，； （2）解：变形为， 设，是的两根， 则，； （3）解：设，是的两根， 则，； （4）解：变形为， 设，是的两根， 则，． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【详解】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 题型二 由方程的一根求方程的另一根 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为，根据两根之积等于即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则有， 解得 ． 故选：C． 2．若，且n为一元二次方程的一个根，则一元二次方程的另一根为（    ） A． B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】设一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之积为，结合，即可求得． 【详解】解：n为一元二次方程的一个根， 设一元二次方程的另一根为，根据根与系数的关系得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 4．若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，． 设方程的另一个实数根为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个实数根为， ∵，关于x的方程有一个实数根为1， ∴， 解得，， 故答案为：2． 5．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，那么这个方程的另一个根是 ． 【答案】 【详解】分析：把2代入方程求得k的值，根据两根之积求得另一个根． 详解：一元二次方程x2+kx+k-2=0的一个根是2， 将x=2代入方程x2+kx+k-2=0可得：k=- ． 根据韦达定理，两根之积是=- ． 可求出另一根是- ． 故本题答案为：-． 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是-，两根之积是．本题可以用定义求出k的值，然后选择合适的方法求解，对定义理解不透的学生可能会用求根公式，将陷入繁琐的计算之中． 5．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况． （2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． 根的判别式， 则 ． ， ， ，即 ． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 原方程有两个不相等的实数根． （2）解：是方程的一个根， 把代入方程得 ， 即， ， 解得 ． 设方程的另一个根为， 在方程中，，， 已知一个根是，则 ， ． 题型三 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 1．（2024春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【答案】A 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】 和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 2．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（2025·四川南充·三模）若、是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根和系数的关系得到，再利用完全平方公式将代数式展开化简，再代入计算求值即可． 【详解】解： 、是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：的两根满足． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，对展开式进行代入计算即可． （2）先将根代入原方程，得到，移项后得，再代入，最后利用两根之和再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得， ． ； （2）∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， ∴． ∴     1 ． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知一元二次方程的两根为和，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系，可得出，，再整体代入求值即可． （2）利用根与系数的关系，可得出，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为和， ∴，， ∴； （2）． 题型四 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值 1．（2024春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 2．（2024春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 3．（2024春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可． 【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键． 4．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义： （1）根据根与系数的关系得到，再由已知条件求出，进而求出，则； （2）根据一元二次方程解的定义得到，由根与系数的关系得到，再把所求式子变形为，进一步化简得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， ． 5．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）已知 x 满足一元二次方程，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)7 (3) 【分析】本题考查方程的解，根与系数的关系： （1）根据题意，得到，，整体代入计算即可； （2）根据根与系数的关系，得到方程的另一个根为，进而得到，利用完全平方公式进行计算即可； （3）结合（2）中的结论利用倒数法求值即可． 【详解】（1）解：∵x 满足一元二次方程， ∴，， ∴ ； （2）∵x 满足一元二次方程， ∴方程的另一个根为：， ∴， ∴， ∴； （3）原式的倒数为：， 由（2）知：， ∴上式， ∴原式． 题型五 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 1． （2024春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 【答案】C． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解． 【详解】解：的两根分别为，，则，， ∴方程的两根同号，且两根都是正数， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键． 2．（2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C． 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 3．（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【答案】C． 【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴，，．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 4．（2024春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C． 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解答】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 5．（2024·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 【答案】D． 【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大． 【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac． ∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 设方程两根为x1，x2． ∵，∴方程有异号两实数根． ∵，∴负根的绝对值大． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 题型六 构造一元二次方程求代数式的值 1．（2024·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【答案】C． 【分析】将原题第二个等式左右两边同时除以n2，变形后与第一个等式比较，得到m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【解答】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0， ∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 2．（2024春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【答案】A． 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 3．（2024春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【答案】A． 【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【解答】解： ，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 4．（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 【答案】． 【分析】利用2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3，a≠b，则可把a、b看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b，ab，再把a2b+ab2分解因式得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3， 即2a2﹣5a﹣3＝0，＝2b2﹣5b﹣3＝0， 而a≠b， ∴a、b可看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根， ∴a+b，ab， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 5．（2024·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 【答案】﹣2． 【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值． 【解答】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①； 由=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②； ∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c； ∴+﹣=====﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键． 题型一 由方程两根满足的关系求字母的值 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为52，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形等．根据题意可知，，，再利用完全平方公式列式计算即可． 【详解】解：∵于x的一元二次方程， ∴设方程两个实数根分别为， ∴，， ∵两个实数根的平方和为52， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：A． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2＝0的两根，且＝1，则k的值为（　　） A．k＝﹣1 B．k＝3 C．k＝﹣1或3 D．k＝1 【答案】B 【分析】先利用判别式的意义得到k≥﹣，再根据根与系数的关系，则利用=1得到2k+3＝k2，解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得Δ＝（2k+3）2﹣4k2≥0， 解得k≥﹣， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2k+3，x1x2＝k2， ∵＝1， ∴x1+x2＝x1x2， ∴2k+3＝k2， 整理得k2﹣2k﹣3＝0， 解得k1＝﹣1，k2＝3， 而k≥﹣， ∴k的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式． 3．（2024四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为 　 ． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 5．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 题型二 由方程满足的不等关系确定字母的取值范围 1．（2024春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵，， ∴ 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到． 2．（2024·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 所以， 依题意得：， 解得4＜m≤5． 故答案是：4＜m≤5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 3．（2024春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， ，，， ，， ， ， 即， 当时，解得（舍去）； 当时，解得， 又， 的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键． 4．（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？ 【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7 【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案． 【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝﹣4×＞0， 整理得：， 即， 根据乘法法则得：或， 解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1， ∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1； 由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3， 解得m＜7； ∵x1x2＝， 解得m＞﹣2． 综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键 5．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 题型三 根与系数关系中的新定义问题 1．当方程满足时，我们称方程为“凤凰方程”.若是凤凰方程且有一个根是，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．-1或2 【答案】D 【分析】根据“凤凰方程”的定义知x＝−1是一元二次方程2x2−mx+n＝0的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得m的值． 【详解】解：根据“凤凰方程”的定义知x＝−1是一元二次方程2x2−mx+n＝0的根； ①当m＝−1时，2x2−mx+n＝0是关于x的凤凰方程； ②当m≠−1时， ∵m是方程2x2−mx+n＝0的一个根， ∴−1＋m＝， 解得m＝2． 综上所述，m的值是2或−1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．解答该题的关键是根据“凤凰方程”的定义推知x＝−1是一元二次方程2x2−mx+n＝0的一个解． 2．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 3．（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间满足的等量关系为__________； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （3）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：，， 则由根与系数的关系可得：，， 消去得：， 故答案为：； （3）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 题型一 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系得到，，将变形为，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为和， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 即k的值为或． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【详解】（1）证明： ， 不论为何值，方程一定有实数根； （2） ，是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 4．（24-25八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用根和系数的关系求出、的值，再利用完全平方公式和积的乘方的逆运算对代数式进行变形，最后把所得的值代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系和相反数的定义求出的值，再代入方程进行检验即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； (2)一元二次方程 的两个根为，，求 的值； (3)若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出的值，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两根为，， 则：，； （2）解：∵一元二次方程 的两个根为，， ∴，， ∴； （3）解：∵，是关于x的方程的两个实数根 ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， 解得：， ∴不符合题意，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $