精品解析：江西宜春市2026届高三下学期模拟考试数学试卷

宜春市2026年高三模拟考试数学试卷 （宜春市教育教学研究中心命制） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（ ） A. B. C. D. 6. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 7. 将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 11. 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比______. 13. 已知向量满足，则的取值范围为____________． 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，. （1）求证：平面平面ABCD； （2）若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）. （i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； （ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处. （1）已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； （2）记第n秒末点M回到原点的概率为. （i）求，并利用公式求； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春市2026年高三模拟考试数学试卷 （宜春市教育教学研究中心命制） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，进而求得. 【详解】依题意，， 所以. 2. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 3. 为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为: . 4. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义求得，再结合二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，所以 5. 一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】由题意可知：长方体的体积为，球的体积为 则，整理可得，所以. 6. 设函数满足对任意的，都有，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 7. 将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：，若它们的分位数是2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的计算得到，再结合二次函数即可求解. 【详解】，则分位数为第4个和第5个数据的平均数， 因此分位数为， 由题意，得： ， 又， 由排序得，结合，得， 因此： ， 由二次函数性质可知其在上单调递增， 可得：， 故： ，  即 8. 在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题设条件，结合直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系得到，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求得，转化问题为恒成立，设，进而分析数列的单调性即可求解. 【详解】由点在函数的图象上， 得， 而与y轴相切，则的半径， 同理可得，，的半径， 由于与外切，所以， 则， 即， 则， 因为，所以，则， 又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，即， 由，则，即恒成立， 设，则， 所以， 因为函数在上为减函数， 且时，，时，，则时，，即， 则， 则的最大项为， 即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中，是虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，， 所以 ，故D正确. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】先求，再结合奇偶性即可判断A；根据导数的几何意义即可判断B；直接判断的符号即可判断C；构建函数，利用导数判断函数的单调性，得出即可判断D. 【详解】当时，，则， 又因为函数为奇函数， 所以，故A错误； 由A知，当时，， 所以， 所以在处的切线斜率为，故B正确； 由题意知时仍满足， 当时，在内，恒成立，无零点； 当时，在内，恒成立，无零点； 故C错误； 令，， 则， 当时，恒成立，函数单调递增， 所以，即，故D正确. 11. 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”.已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由离心率的定义计算；B设，结合基本不等式求解；C求出直线方程，与椭圆联立，计算即可；D求出倒椭圆中变量的范围，说明、与其无交点即可. 【详解】，则椭圆的离心率，故A正确； 设，则，即， 故， 等号成立时， 故的最小值为，故B错误； ，则， 与联立得，， 则， 则直线AB一定与椭圆相切，故C正确； 由，，得， 直线、是椭圆的切线，且其与倒椭圆无交点， 故椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比______. 【答案】 【解析】 【详解】等比数列是正项数列，公比 (1)当时，， ，，解得 又， ， (2)当时，， ，，，整理得， 即，解得 ， 13. 已知向量满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设,，利用向量的几何意义和坐标运算，确定点的轨迹为椭圆，然后利用椭圆的性质求解. 【详解】设,，， 则则, 故点的轨迹是以为焦点，为中心，长轴长的椭圆， 故短半轴：， 则. 故答案为： 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得，根据题意结合指数函数单调性分析可知，整理可得，结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于关于t的方程有两个不相等的实数解， 若，则在定义域内单调递增， 可知方程不可能有两个不相等的实数解，不合题意，所以， 可得，原题意等价于与有2个不同的交点， 因为，可知与必有一个交点， 且，令，解得， 当，由图象可知与有2个不同的交点， 所以正实数m的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得； （2）在中，结合余弦定理得，结合正弦定理得，进而求得，最后根据面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以， ， ， 因为，所以， 所以，即， 又，则有，所以. 【小问2详解】 解：因为，，， 所以在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以. 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合，讨论函数单调性，利用极值的定义即可求解； （2）通过分离参数，构造函数令，求导确定单调性，求得最值，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立， 即函数在上单调递增，所以函数无极值； 当时，由得；由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值， 综上：当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 依题可知：不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递减，则， 即函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，. （1）求证：平面平面ABCD； （2）若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，先证明，可得，结合勾股定理可得，进而得到平面，进而求证即可； （2）过点P作于点E，建立空间直角坐标系，设，结合面面角的空间向量公式求得，进而再结合线面角的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 证明：连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，所以， 又平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 【小问2详解】 过点作于点， 由（1）知，，而，，， 则，即， 又，，，则，即， 以B为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 设，则，所以， 则， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，所以， 平面PBC的法向量为， 由， 令，则，，所以， 所以，解得，所以， 由（1）知，平面，则平面APB的法向量为， 设直线BG与平面APB所成角为， 所以， 所以直线BG与平面APB所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）. （i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围； （ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）（ii）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据题意判断出点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆，然后根据焦点位置即可求出； （2）（i）设，则，由角平分线定理得，再根据即可求出； （ii）由，得，，则，分类讨论，当时，设，，直线的方程为，直线的方程为，联立得到点M的坐标为，点N的坐标为，求出的表达式，化简即可. 【小问1详解】 因为， 所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆， 设曲线C的方程为， 所以，，， 所以，，， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 则； ， 所以在中，由角平分线定理得， 由，所以，所以t的取值范围为. （ii），，由，得，，其中，， 则. ①当时，，， 直线的方程为，求得点N坐标为， 则，所以； ②当时，同理可得：； ③当时，设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 所以，， 所以， 则； 所以，点M的坐标为， 联立，得， 所以，， 所以， 则； 所以，点N的坐标为， ， 所以， 综上所述，. 19. 在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处. （1）已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； （2）记第n秒末点M回到原点的概率为. （i）求，并利用公式求； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的. 【答案】（1） （2）（i），（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，计算即可； （2）（i）分四个方向各移动一次、左右方向各移动两次、上下方向各移动两次三种情况求；设左右各移动次，上下各移动次，即可求出，再利用组合公式化简； （ii）利用公式化简得出，得出，构造函数，研究其单调性求出，即可得出，最后化简得出，取即可求证. 【小问1详解】 记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上， 由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种， 其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点这四种情况. 则， 故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为. 【小问2详解】 （i）点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种， 左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种， 所以； 若点M在第2n秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等， 设左右各移动次，则上下各移动次， 所以 ， （ii）由可知： ， 则， 所以， 令，则， 即函数在上单调递减， 所以，即，则， 所以，， 记为不超过x的最大整数， 则对任意的实数，当时，，即， 综上，当时，成立，所以点M是常返的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $