精品解析：江西省宜春市2025届高三下学期二模数学试题

宜春市2025年高三模拟考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求有意义时的范围，可得，求不等式的解集可得，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以， 不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以， 故选：A. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合复数运算法则求，再根据共轭复数定义求. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 4 B. 或1 C. D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 4. 已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义将条件转化为五个数中第二大的数是，再求解. 【详解】因为， 所以数据，，，，的分位数为五个数中第二大的数， 由已知数据，，，，中第二大的数是，所以. 故选：C. 5. 记的展开式中的系数为，常数项为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘法法则求出展开式中的系数和常数项，再根据、的表达式分析各选项． 【详解】将看作． 分别分析各项对系数的贡献：展开式中的系数为，的系数为，的系数为，常数项为． 对于 ．  中的系数为，常数项为． 要得到，有以下几种情况：  中取，中取，中取常数项，此时系数为．  中取，中取，中取，此时系数为．  中取，中取，中取，此时系数为． 将上述系数相加可得．   常数项是由、、中的常数项相乘得到，即．  对于A选项：若，即，解得．当时，，所以A选项错误．  对于B选项：若，即． 因为恒成立，所以，解得．当时，，所以B选项正确．  对于C选项：若，即，解得．当时，，所以C选项错误．  对于D选项：若，即．因为恒成立，所以，解得或．当时，但是，所以D选项错误．   故选：B． 6. 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将个球放到个不同盒子中，每个盒子至少放个球的总放法数，再求出编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数，最后根据古典概型概率公式计算概率． 【详解】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1． 按1，1，3分组，共有种分法； 再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法． 根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．  按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．  由分类加法计数原理，总放法数为种．   先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法； 再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法． 根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种．  根据古典概型概率公式，可得所求概率．  故选：C． 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 即， .又， 所以，得，所以， 所以. 故选：A 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数求函数，的单调性，由此可得恒成立，再利用导数求的最小值，由此可求结论. 【详解】不等式可化为，，又， 所以，故， 由已知不等式在上恒成立， 因为有意义，故，又，所以， 当时，不等式恒成立， 设，， 则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，故， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故， 所以， 所以的取值范围为 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两角和差余弦公式化简，进而由三角函数的奇偶性可判断A，由三角函数的对称性可判断B，由三角函数的最值可判断C，由三角函数的单调性可判断D. 【详解】， 不是偶函数，故A错误； 令，则，当时，， 所以是函数的对称轴，故B正确； ，故C错误； 令，则， 当时，，故在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 10. 如图所示立体图形为正八面体，其棱长为1，为线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. C. 当时，直线与直线的夹角为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据锥体的体积公式计算即可判断A；当三点共线时取到最小值，结合余弦定理计算即可判断B；建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可判断C；利用空间向量数量积的坐标表示计算即可判断D. 【详解】A：由题意知，该正八面体由两个正四棱锥组成， 易知正四棱锥的高为， 所以该正四棱锥的体积为， 所以该正八面体的体积为，故A错误； B：将展开铺成一个平面，如图， 当三点共线时，取到最小值， 此时在中，， 由余弦定理得， 即，故B正确； C：建立如图空间直角坐标系， 则， 设，， 得，则， 所以， 由，得， 解得，即点与点重合， 此时. 设直线与的夹角为，则， 解得，故C正确； D：由选项C知，， 所以， 由，知，即，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，合理赋值判断函数和的奇偶性和周期性，结合选项计算即可求解. 【详解】， 令，得，解得； 令，则，又， 所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得， 所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得， 同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意得， 所以，又， 该切线方程为，即. 故答案为： 13. 若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用的范围及的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 整理得到， 又因为，当时，，不合题意， 当时，，则， 所以，， 由，得到，解得， 故答案为：. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称， 四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为. 在中，由正弦定理知， 记椭圆的上顶点为，坐标原点为， 易知，又，则，， ，即为锐角， ， 又 又，，则， 所以， 所以，则，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据已知条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，其中，，对任意的，有. （1）求数列的通项公式； （2）求. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得当时，与原式相减化简可得，由原式取可求，结合等差数列定义，可求结论； （2）当时，由关系结合等差数列求和公式可求，验证是否满足所得关系，由此可求结论. 【小问1详解】 因为， 所以当，时，， 两式相减可得，， 所以， 所以数列从第二项起是公差为的等差数列， 在中取可得， 因为，所以，， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以， 当时，， 所以. 16. 为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢冰雪运动 55 35 90 不喜欢冰雪运动 45 65 110 合计 100 100 200 （1）是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？ （2）冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门. （i）求初学者滑雪入门的概率； （ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关. （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的计算公式，求得，结合附表，即可得到结论； 所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关. （2）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可解； （ii）根据题意，得到随机变量，求得，设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，列出不等式组，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题设中的列联表中的数据， 可得， 所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关. 【小问2详解】 解：（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练， 滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件， 所以 . （ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则， 可得，， 设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大， 则，解得， 因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点，连接, 由，易知为等腰直角三角形， 此时，又，所以. 因为,所以， 由，即，所以， 此时，,有四点共面，, 所以平面，又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，再由线面垂直的性质定理即可得到结果. （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由且,所以平面. 由，得为等边三角形， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， , 设平面的法向量 由,即，取，， 又，设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数（且），其中. （1）当时，求的最小值； （2）判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； （3）当时，任意，都有，求实数的取值集合. 【答案】（1）当时，函数的最小值为， （2）当时，函数的图象没有对称中心， 函数的图象有对称中心，对称中心为， （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，利用基本不等式求函数的最小值； （2）设点为函数的对称中心，可得恒成立，化简可得，，分，两种情况求，可得结论； （3）条件可转化为在上恒成立，令，证明，函数在上单调递减，分，，，四种情况，研究函数的单调性，由此确定的取值集合. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值； 【小问2详解】 设点为函数的对称中心，则恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 则，，， 即，， 当时，无解，此时函数的图象没有对称中心， 当时，，此时函数的图象对称中心为； 【小问3详解】 当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 而， 设，则 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减， ①当时，故， 因为，故， 所以，则函数在上单调递减， 故此时当时，，舍去； ②当时，，解得； (i)当时，， 所以，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减； 所以时，取极大值，则 所以满足条件， (ii)当时，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，舍去; (iii)当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，舍去； 综上，. 19. 已知椭圆，在椭圆上取（且）个点，这些点的坐标分别为，，其中，连接. （1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率； （2）证明的面积为定值，并求多边形的面积（用表示）； （3）若，，线段的中点为，求证：. 【答案】（1） （2）证明：直线的方程为 化简得：； 所以原点到直线的距离； 而； 所以为定值. 同理可得： ， 所以多边形的面积为. 面积为 （3）证明：设，所以， 所以，即， 所以点的轨迹为一个椭圆，且，是该椭圆的焦点， 设，，，则， 则点，的坐标可化为，， 所以，， 又因为，； 所以； ； 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，根据斜率求出即可求得离心率； （2）表示出直线的方程，求出原点O到直线的距离，代入面积公式即可得证；再计算出，由i的一般性即可得到多边形的面积； （3）由题意表示出H的坐标，计算发现点H的轨迹为椭圆，再利用向量法求出、，结合即可得证. 【小问1详解】 ，，则直线的斜率为， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 证明略，多边形的面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春市2025年高三模拟考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 4 B. 或1 C. D. 4或 4. 已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 记的展开式中的系数为，常数项为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 在上单调递减 10. 如图所示立体图形为正八面体，其棱长为1，为线段上的动点（包括端点），则（ ） A. B. C. 当时，直线与直线的夹角为 D. 11. 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________. 13. 若，，则________. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记数列的前项和为，其中，，对任意的，有. （1）求数列的通项公式； （2）求. 16. 为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢冰雪运动 55 35 90 不喜欢冰雪运动 45 65 110 合计 100 100 200 （1）是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？ （2）冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门. （i）求初学者滑雪入门的概率； （ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数（且），其中. （1）当时，求的最小值； （2）判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； （3）当时，任意，都有，求实数的取值集合. 19. 已知椭圆，在椭圆上取（且）个点，这些点的坐标分别为，，其中，连接. （1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率； （2）证明的面积为定值，并求多边形的面积（用表示）； （3）若，，线段的中点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $