江西宜春市2026届高三下学期模拟考试数学试卷

宜春市2026年高三模拟考试数学试卷 (宜春市教育教学研究中心命制) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.设A={xx是10的正约数，B={x号x-1≤1}，则A∩B= 3 A.{2,5} B.{1,5} C.{1,2,5} D.{1,2,5,10} 2.已知直线1的斜率为k，p:k=-1,9:直线1在两坐标轴上的裁距相等，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.为测试某A虹图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是 “蛇”系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一 张是“蛇”的概率为 1 B 1 2 D. 4.在平面直角坐标系中，角0的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2),则 1-c0s28 1+cos 20 A.4 B.2 c 、 5.一个长，宽，高分别为3cm,4cm,5cm的水槽中装有40cm的水，现放入一个半径为R的木球，若木 球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的彩响)，则 木球的半径R等于 15 A.（ B.()3cm C.(15cm D.(45cm 2元 2 6.设函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x),且f(1+2x)=f1-2x),则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.∫(x)在(0,2)上单调递增 D.f(x)在(0,2)上单调递减 7.将5个互不相等的实数按从小到大的顺序排列，依次为：-3,0,1，α，b,若它们的80%分位 11 数是2，则二+二的取值范围是 a b A.[1,4] B.[3,4] C. D.(1,+∞) 数学 第1页共4页 8.在平面直角坐标系中，有一系列点A(a,b)bA2(a2,b2)…,An(an,b)》n∈N°，且所有的点 均在函数y=√x(x>0)的图象上，已知以点A,为圆心的⊙An均与y轴相切，且⊙An与⊙A1外切， an>a,若a=1,且对n∈N',不等式(2-)Wa,2(台)”恒成立，则实数入的取值范围为 人明 B.As D.2≤1 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=(m2-m-2)+(m2-1)i,其中m∈R,i是虚数单位，则 A.当m=-1时，z为纯虚数 B.当m=1时，z∈R C.当m=2时，z=-3i D.当m=-2时，|z1+V3)=10 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x+n(x+1),则 A.当x<0时，f(x)=-x2-2x-(-x+1) ⑧，曲线y三f因在x1处的切线斜率为 C.方程(x)=0在区间(-1,1)内恰有两个实根 D.当x>0时，f)>x2+3x 0 1.定义曲线02+b2 1为椭圆女+少 a+户=1(a>b>0的“倒椭圆”.已知椭圆C的方程为 x2 y2 =1,其倒椭圆C,的方程为 94 2+4三1,0为坐标原点，P为曲线C2上任意一点，则■ A椭圆C的离心率e= B.OP|的最小值为4 3 C.过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为A,B,则直线AB一定与椭圆C,相切 D.椭圆C,上至少存在四条切线与曲线C,没有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{an}是正项数列，前n项和为Sn,若a=3,S3=21,则公比q= 13.已知向量a,b满足|a=2,12a+b1+b=6,则1a+b1的取值范围是 14.已知关于x的方程3m3mx+3mx=2有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围 是 数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,V3 csin A-acosC=2c-b. (1)求角A: BC外一点，且与点B位于直线AC的同侧，乙ACD,CD白 c=√7，求△ABD的面积 16.(15分) 己知函数f()=hx-ax,g(x)=e-ax(a∈R), (1)讨论函数f(x)的极值； (2)x20,不等式f(x+1)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠APB=∠ADC=90°，AP=2,BP=2√3，AD=4, BC=CD=43,PC=215. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD: C2)若G为线段PC上一点（异于点P,C),平面BG与平面PBC所成角的余弦值为2，V5 171 求直线BG与平面APB所成角的正弦值. P 数学第3页共4页 18.（17分) 在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-1,0),点F(1,0),点P满足|PF+|PF=4.记点P的 轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B,设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线EF 交曲线C于点M(异于点E),直线EF交曲线C于点N(异于点E) (i)若∠EE的角平分线交x轴于点T,FT=tTF,,求t的取值范围： ()若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k,直线EA的斜率为k,直线EB的斜率为k2, 判断k+ 一是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请说明理由. 19.(17分) 在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且 向四个方向移动的概率均为二.例如在1秒末，点M会等可能的出现在(1,0)，（-1,0)，(0,1)， 4 (0,-1)四点处. (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率： (2)记第n秒末点M回到原点的概率为P (D求p4,并利用公式(C2=Cn求P2: =0 (i)令b,=P2n,记Sn为数列bn}的前n项和，若对任意实数t>0,存在n∈N',使得Sn>t, 则称点M是常返的，利用公式：V2(白”<k(2m(台，证明：点M是常返的 数学第4页共4页宣暴帝2026居高三年级摸拟考弑数萝答靠 一、选择题。 题号 1 6 8 答案 A D B 二、选择题。 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 二、填空题。 1 时 13.[V5,3] 14.(0,e3)U(e3,1) 三、解答题。 15.解：(1)因为√3 csin A-acos C=2c-b 所以√3 sinC sin A-sin AcosC=2sinC-simB 3 sin C sin 4-sin AcosC=2sin C-sin(A+C) 3 sin Csin A-sin AcosC=2sinC-sin A cosC-cos AsinC 因为C∈(0，π)，所以sinC>0 所以V3sinA+cosA=2,即$im(4+)=1 6 又4后没，则有4+ ππ 6 62 所以A=严 …5分 3 y因为hcn-g6-5,c0-1 所以在△ACD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD cos∠ACD 所以AD2=3+1-2V3c0s5π=7 6 所以AD=√万 所以 AD CD sin∠ACD sin∠CAD 5π 所以sin∠CAD=CDsin∠ACD_s AD V7 14 因为∠C4D∈0，孕，所以cos∠C4D=3V …9分 14 所以sm∠AD=sn(弩-2CMD)=n胥-e0CAD-eas胥n∠CAD 3 33W211√72W7 2142147 所以Sae=AB4Dsn∠4D=5×V万×V7×2y5=V万. …13分 21 7 161)函数f)的定义域为(0，+m）,f)=1-4 当a≤0时，(x)>0恒成立， 即函数f(x)在(O,+o)上单调递增，所以函数f(x)无极值： 当>0时，由f()>0得0<x<；由f(9<0得x> 1 a 即函数f)在(0，上单调递增，在（日，十”）上单调递减 所以函数f(x)的极大值为f(白)=-l-血a,无极小值 综上：当a≤0时，函数f(x)无极值： 当a>0时，函数f(x)的极大值为-1-lna,无极小值. …7分 (2)依题可知：不等式n(x+1)-a(x+1)<e-ax在[0，+oo)上恒成立 即a>n(x+1)-e在[0，+o)上恒成立 令h(x)=ln(x+l)-e,则h(x)= 1-e x+1 (x+)2-e<0, 1 令(x)=(x),则p(x)= 所以函数(x)在[O,+o)上单调递减，则(x)≤(O)=0, 即函数h(x)在[0，+o)上单调递减，所以h(x)≤h(O)=-1, 所以，a>-1. …15分 17.(1)证明：连接AC 因为∠APB=90°，AP=2,BP=2√3， 所以AB=4 而AD=AB,BC=CD,AC=CA 所以△ABC三△ADC 则∠ABC=90° 所以BC⊥AB 在△PBC中，PB2+BC2=12+48=60=PC2 所以BC⊥PB 又PB∩AB=B 所以BC⊥平面APB 又BCC平面ABCD 所以平面PAB⊥平面ABCD …6分 (2)过点P作PE⊥AB于点E,以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由1，PE=4PBP=5,B=PE 3 AB AB 则B(0,0,0),A(0,4,0),C(4V3,0,0),D(2√3,6,0)，P(0,3,√3) 所以PC=(4V5,-3,-V3) 设PG=mPC(0<m<1), 则PG=(4V3m,-3m,-V3m) 所以G(4V3m,3-3m,V3-√3m 所以BA=(04,0),BG=(4V3m,3-3m,V3-√3m,BP=(0,3,V3),BC=(4V3,0,0) 设平面ABG的法向量为元=（氏，片，），平面PBC的法向量为2，=（飞2，y2,22) n·BA=4%=0 所以 ·BG=4V3mx+(3-30y+(W3-V3m2,=0 令=4，则y=0,x=W-1 m 所以乃=（二10,4 …10分 ,·BP=3y2+V3z2=0 n,·BC=4V3x,=0 令2=1，则x,=0,2=-V5 所以n,=(0,1,-V3) …12分 所以c08<乃，%%%卡 4W3 2W51 nn 216+(m- 17 2 所以1= 1 wuc -a}9 由(1)知，平面APB的法向量为n=(1,0,0) 设直线BG与平面APB所成角为O 所以sin8cos<BG,>H BG.n 2W5 2W52W5 BGn +12+ 3V155 4 所以直线BG与平面APB所成角的正弦值为2V5 …15分 18.(1)因为PE|+|PF=4>FF,=2 所以点P的轨迹曲线C是以耳，F,为焦点的椭圆， 设曲线C的方程为米 元+3=(a>b>0) 所以2a=4,2c=2,b=Va2-c2 所以a=2,c=1,b=√22-12=√3 所以曲线C的方程为十上 -=1. …3分 43 2))设Ex,yX-2<,<2.则+2=1 43 则EE上V(。+1)2+ 6,+1+30-)=2+5 4 K4-4-Q+空-3-号 所以在△EFF,中，由角平分线定理得 t=IT四=EE1 2+七 2 4+=-1+,8 …5分 TEEF 2-4- 4-x0 2 由-2<，<2，所以t∈(5,3) 所以1的取值范围为（行3） …7分 ()4〔-2,0)，B(2,0),由EK,).得无=，2=，其中x,≠0，士2 x+21 七%-2 则斤+斤=6。十为=2x出 x+2'x0-2x2-4 ①飞=1时3 直线的EF方程为y=一 -少.求得点N标为号骨 4 则k 10,所以 k3 …8分 +k210 ②当x=1时，同理可得： k3 …9分 k+飞210 ③当x。≠士1时，设M(x,),N(x2,y2), 直线EF的方程为y=飞(x+1),直线EF,的方程为y=k,(x-1), y=k(x+1) 联立x2y21·得(3+4)x+8%x+42-12=0 -三1 43 所以x+X= 8k2 4h2-12 346,5=3+4h 6-12 4(,)2-12 x+11 4y2-12(x。+1)2 所以x=3+4h)xB+4(产。 [3(x。+1)2+4y]x。 x。+1 12-3x,2-12(x+1)25x+8 [3(x+1)2+12-3x,]x2x+5 4%=0%=6 x,+12x。+5 所以，点M的坐标为( 5x+8,-3) …12分 2x。+52x+5 y=k2(x-1) 联立巴+-1，得6+4h,r-8,x+4,-12=0 43 8k22 所以元+无3无 4k22-12 3+422 4(%)2-12 所以x2= 46-12 =-1 .4-12g- 3+4)x,B+4k。[Bx。-少+41 x-1 12-3x2-12(x+1)2-5x。-8 [3(x。-1)2+12-3x2]x。2x-5 则⅓=化-小受0 x-12x。-5 所以，点N的坐标为 5x。-8,3y) …14分 2x。-52x。-51 3yo3yo k=占-业=2x,+52x0-5 3y(2x-5+2x+5) -3xy。 -x2_5x+8_5x。-8(5x+8(2x-5)+(5x-8)(2x+5)5(x。2-4) 2x。+52x。-5 3Xo.Vo 所以， =502-4④=3x2-4)=3 k+k32x。 10(x,2-4)10 x)2-4 综上所述， k3 …17分 k+k210 19.(1)记事件A:点M在第2秒末没有回到原点，事件B:点M位于坐标轴上 由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有12种，其中 点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种. 4 则P(B|A)= PAB)-16-1 P(A)12-3 …3分 16 (2)()点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有A种， 左右方向各移动两次的情况有C种，上下方向各移动两次的情况有C?种， 所以卫4= A4+2C9 44 …5分 64 若点M在第2n秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等， 设左右各移动(0≤i≤m)次，则上下各移动n-i次， 所以P,=上CCC-1了2 =1.2!5()2 =0 42n 16”(0[n-16”2()2[-] =6c2cy=2 …8分 16 -16”.(l)4 6、1 (i)由V2m(白<<()V2m(凸可知： c-e2 V42 ()2 [)V2m.台 则b.=P2a= 6C)>,.161 16”6n6n 所以S=+,+…+b,>20+++马 …12分 6 23n 令f田-血1+)-x(x>0),则f()= -1<0 x+1 即函数f(x)在(0，+o)上单调递减， 所以f()<f(0)=0,即1n1+x)<x,则na+与)<1 n 所以，S.>m2+ln3+mg++nn+马=nm+D 3 …15分 6 23 n6 记[x]为不超过x的最大整数， 则对任意的实数1>0，当n≥[e“]时，>e-1,即S>n0m+1)>i 6 综上，当n≥[et]时，Sn>t成立，所以点M是常返的. …17分