专题01 期中真题百练通关（期中复习专项训练，183题22常考题型+14压轴题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题01 期中真题百练通关（183题22常考题型+14压轴题型） 题型1 实数的分类（常考） 题型19 不等式组整数解限定个数问题（压轴） 题型2 平方根与算术平方根的辨析（常考） 题型20 方程（组）与不等式综合（压轴） 题型3 立方根的计算（高频考点） 题型21 不等式组的实际应用（压轴） 题型4 利用平方根的定义解方程（常考） 题型22 幂的运算性质（常考） 题型5 比较实数的大小（高频考点） 题型23 单项式×多项式 题型6 实数简单混合运算（高频考点） 题型24 单项式×多项式 题型7 双重非负性和为0（压轴） 题型25 多项式×多项式（常考） 题型8 无理数的整数部分与小数部分（压轴） 题型26 整式乘法的混合运算（常考） 题型9 实数与数轴+绝对值化简（压轴） 题型27 平方差公式（高频考点） 题型10 算平方根性质应用题（压轴） 题型28 完全平方公式（难点考点） 题型11 算平方根中的小数点规律探究（压轴） 题型29 提公因式法因式分解（常考） 题型12 不等式的性质判断（高频考点） 题型30 公式法因式分解（常考） 题型13 解一元一次不等式并用数轴表示（常考） 题型31 综合因式分解（常考） 题型14 解一元一次不等式组（高频考点） 题型32 乘法公式整体代入求值（压轴） 题型15 求不等式的整数解（高频考点） 题型33 完全平方公式中的参数求值（压轴） 题型16 不等式的简单应用（高频考点） 题型34 分组分解法因式分解（压轴） 题型17 根据不等式解集求参数（压轴） 题型35 利用因式分解简便运算（压轴） 题型18 根据不等式组有无解集求参数的取值范围（压轴） 题型36 整式的化简求值（压轴） 题型01 实数的分类（常考）（共5小题） 1．在实数，，，，中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在，，，，，，，（相邻两个2之间逐次增加一个1）中，有理数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 4．毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有______个． 5．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数：__________________； 无理数：__________________； 正实数：__________________； 负实数：__________________． 题型02 平方根与算术平方根的辨析（常考）（共4小题） 6．下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 7．下列选项正确的是（   ）． A．的平方根是 B． C．没有算术平方根 D． 8．以下关于平方根与立方根说法正确的是（   ） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 9．下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 题型03 立方根的计算（高频考点）（共4小题） 10．的立方根是（    ） A． B． C． D． 11．实数的立方根是 _______ 12．计算： （1）________； （2）________． 13．的立方根是__________，的立方根是_____． 题型04 利用平方根的定义解方程（常考）（共3小题） 14．方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 15．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 16．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型05 比较实数的大小（高频考点）（共5小题） 17．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 18．下列四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D． 19．比较大小： ___________． 20．比较大小：_________． 21．比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 题型06 实数简单混合运算（高频考点）（共4小题） 22．计算： 23．计算：． 24．计算： (1) (2) 25．计算： (1) (2) 题型07 双重非负性和为0（压轴）（共4小题） 26．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 27．已知，满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 28．若a、b为实数，且满足，则的值为（　　） A．5 B．1 C． D．以上都不对 29．已知，则_________． 题型08 无理数的整数部分和小数部分（压轴）（共4小题） 30．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 31．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 32．估计的整数部分为_____________． 33．若的整数部分是，的小数部分是，则______． 34．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 题型09 实数与数轴+绝对值化简（压轴）（共6小题） 35．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 36．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 37．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 38．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 39．如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 40．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是___________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 题型10 算术平方根性质应用题（压轴）（共4小题） 41．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽； (2)在此长方形内沿着裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 42．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 43．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 44．【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 题型11 算术平方根中的小数点规律探究（压轴）（共5小题） 45．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 46．观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 47．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 48．已知，．则_______．若，则_______． 49．(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0036 0.36 36 3600 ___________ ___________ ___________ ___________ (2)根据你发现的规律填空： ① 已知：2.775，8.775.则___________，___________； ②  已知：5.385，若53.85.则x=___________． (3)将你发现的规律用文字语言表述出来. 题型12 不等式的性质判断（高频考点）（共5小题） 50．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 51．如果，那么下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 52．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 53．（25-26八年级上·浙江金华·期中）若，则_________(选择用适当的不等号填空) 54．不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为___________ 题型13 解一元一次不等式并用数轴表示（常考）（共4小题） 55．求不等式的解集，并将其解集在数轴上表示出来． 56．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解不等式，并把其解集在数轴上表示出来． 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 58．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 题型14 解一元一次不等式组（高频考点）（共4小题） 59．（25-26九年级下·北京·期中）解不等式组： 60．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集 61．（25-26八年级上·重庆·期中）（1）解方程组；     （2）解不等式组： 62．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 题型15 求不等式组的整数解（高频考点）（共4小题） 63．求不等式组的整数解． 64．（25-26九年级上·重庆·期中）解不等式组：，并写出所有整数解． 65．（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 66．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组：，并写出它的所有正整数解的积． 题型16 不等式的简单应用（高频考点）（共4小题） 67．古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 68．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）蒲城土布，又叫老粗布，是几千年来中国劳动人民世代延用的一种传统工艺的手工织布，具有绿色环保无污染的特点，这种布料柔软舒适、透气吸汗，是居家和服装的首选面料．某土布品牌店进购土布的进价为15元/平方米，以18元/平方米的价格出售，品牌店打算在“五一”期间让利于顾客，计划以利润率不低于8%的价格降价出售，则土布每平方米最多可降价多少元？注：[利润率＝（售价－进价）÷进价]×100% 69．（25-26六年级上·上海·期中）为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 70．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）全球人形机器人开发热潮中，中国凭借自身优势成为重要参与者与推动者．在产业基础方面，中国拥有完备制造业体系，涵盖机械加工、电子制造、材料生产等领域，为机器人产业提供强大供应链支撑．已知某款智能机器人初始电量为100个单位（以下都是初始状态开始），每移动1米，消耗2个单位电量，每完成一个动作（如抓物品，旋转等）消耗5个单位电量（其它电量消耗忽略不计）． (1)如果机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米（为整数）的移动任务，并执行一些动作．如果执行个动作后，机器人的剩余电量不少于35个单位，求最多可以移动多少米？ 题型17 根据不等式解集求参数（压轴）（共6小题） 71．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 72．关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 73．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 74．已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（　　） A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2 75．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 76．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是________． 题型18 根据不等式组有无解集求参数的取值范围（压轴）（共6小题） 77．（24-25九年级下·河南驻马店·月考）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 78．（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 79．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组 有整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 80．关于的不等式组有解，则的取值范围为______． 81．已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 82．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为_____． 题型19 求不等式组整数解限定个数问题（压轴）（共6小题） 83．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 84．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 85．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 86．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的不等式组只有一个正整数解，则a的取值范围是________． 87．关于x的不等式组的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围______，b的取值范围是______． 88．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 题型20 方程（组）与不等式综合（压轴）（共4小题） 89．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 90．已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 91．已知方程组的解满足，则m的取值范围为___________． 92．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 题型21 不等式组的实际应用（压轴）（共5小题） 93．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．请根据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． 94．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 95．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）某校八年级组织数学竞赛，准备购买甲、乙两种奖品共件．甲奖品每件元，乙奖品每件元，总费用不超过元． (1)求最多可购买甲奖品多少件？ (2)若甲奖品不少于乙奖品的，求共有几种购买方案？ 96．（25-26九年级上·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 97．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 题型22 幂的运算性质（常考）（共12小题） 98．下列各计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 99．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 100．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 101．下列运算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 102．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 103．计算：＝______． 104．（24-25七年级下·广东佛山·期中）______． 105．计算：________． 106．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： ____． 107．已知 ，，则________． 108．在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是______． 109．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 题型23 单项式×单项式（常考）（共3小题） 110．计算：______． 111．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算____________． 112．（25-26八年级上·广东广州·期中）______；______． 题型24 单项式×多项式（常考）（共4小题） 113．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 114．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 115．（25-26八年级上·广东广州·期中）______． 116．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 题型25 多项式×多项式（常考）（共8小题） 117．（25-26八年级上·四川内江·期中）下列各运算中，结果等于的是（　　） A． B． C． D． 118．若，则的值分别为（    ） A．1，6 B．3，6 C．5，6 D．，6 119．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 120．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么的值是（    ）． A． B． C． D． 121．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 122．计算：________． 123．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算：________． 124．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）计算______． 题型26 整式乘法的混合运算（常考）（共4小题） 125．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 126．某中学校庆活动搭建的舞台如图（阴影部分），这个舞台的面积为(   ) A． B． C． D． 127．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 128．（24-25七年级下·山西大同·期中）计算： (1) (2)． 题型27 平方差公式（高频考点）（共6小题） 129．（25-26七年级下·贵州·期中）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 130．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 131．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 132．（25-26七年级下·全国·期中）下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 133．（24-25八年级上·天津西青·期末）用简便方法计算：_____． 134．（24-25七年级上·上海崇明·期中）_______． 题型28 完全平方公式（难点考点）（共9小题） 135．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 136．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 137．（24-25七年级下·甘肃白银·期中）在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 138．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 139．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 140．计算：___． 141．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算：________． 142．（23-24七年级下·江西九江·期中）计算的结果是______． 143．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 题型29 提公因式法因式分解（常考）（共4小题） 144．（25-26八年级上·广西贵港·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 145．（25-26八年级上·广东东莞·期中）分解因式：_____． 146．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是______． 147．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，，则________． 题型30 公式法因式分解（常考）（共4小题） 148．分解因式：______． 149．（2026·江苏南通·模拟预测）分解因式：_______________． 150．（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 151．（18-19七年级下·全国·期末）分解因式：______． 题型31 综合提公因式和公式法因式分解（常考）（共7小题） 152．将多项式分解因式的结果为（　　） A． B． C． D． 153．因式分解______． 154．因式分解：___________． 155．因式分解：__________． 156．分解因式：________ 题型32 乘法公式整体代入求值（压轴）（共7小题） 157．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 158．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 159．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则的值是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 160．若，，则______． 161．若，则的值为________． 162．若，则代数式的值为___________． 163．（25-26八年级上·河南南阳·期中）已知，则代数式的值是______． 题型33 完全平方公式中的参数求值（压轴）（共7小题） 164．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 165．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 166．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 167．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 168．如果多项式是个完全平方式，则________． 169．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若关于的多项式是完全平方式，则的值为______ ． 170．（25-26八年级上·福建福州·期中）若（为常数）是完全平方式，则的值是______． 题型34 分组分解法因式分解（压轴）（共3小题） 171．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 172．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若，则_____． 173．（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）因式分解：________． 题型35 利用因式分解简便运算（高频考点）（共6小题） 174．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 175．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算（    ） A． B． C． D． 176．（25-26八年级上·山东东营·月考）______． 177．利用因式分解计算：的结果是______． 178．简便计算： (1)； (2)． 179．利用因式分解计算： (1)； (2)． 题型36 整式的化简求值（高频考点）（共4小题） 180．（25-26七年级下·广东深圳·月考）化简求值：，其中 181．先化简，再求值：，其中； 182．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 183．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 1．汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 2．新概念应用题 定义：如果一个实数的平方等于它的立方，那么这个实数叫做 “和谐数”． (1)求所有“和谐数”； (2)若是“和谐数”，求代数式值． 3．当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 4．根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ； (2)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 5．小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 6．观察下列各式： ； ； …． 由此我们可以得出结论：． 利用乘法交换律、结合律及乘方的意义可以验证： 利用以上信息计算：． 7．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 8．通过对完全平方公式：的学习，我们可以将完全平方公式经过适当的变形，来解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边作正方形且边长分别为、，设，两正方形的面积之和，求三角形的面积． 9．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 10．阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（183题22常考题型+14压轴题型） 题型1 实数的分类（常考） 题型19 不等式组整数解限定个数问题（压轴） 题型2 平方根与算术平方根的辨析（常考） 题型20 方程（组）与不等式综合（压轴） 题型3 立方根的计算（高频考点） 题型21 不等式组的实际应用（压轴） 题型4 利用平方根的定义解方程（常考） 题型22 幂的运算性质（常考） 题型5 比较实数的大小（高频考点） 题型23 单项式×多项式 题型6 实数简单混合运算（高频考点） 题型24 单项式×多项式 题型7 双重非负性和为0（压轴） 题型25 多项式×多项式（常考） 题型8 无理数的整数部分与小数部分（压轴） 题型26 整式乘法的混合运算（常考） 题型9 实数与数轴+绝对值化简（压轴） 题型27 平方差公式（高频考点） 题型10 算平方根性质应用题（压轴） 题型28 完全平方公式（难点考点） 题型11 算平方根中的小数点规律探究（压轴） 题型29 提公因式法因式分解（常考） 题型12 不等式的性质判断（高频考点） 题型30 公式法因式分解（常考） 题型13 解一元一次不等式并用数轴表示（常考） 题型31 综合因式分解（常考） 题型14 解一元一次不等式组（高频考点） 题型32 乘法公式整体代入求值（压轴） 题型15 求不等式的整数解（高频考点） 题型33 完全平方公式中的参数求值（压轴） 题型16 不等式的简单应用（高频考点） 题型34 分组分解法因式分解（压轴） 题型17 根据不等式解集求参数（压轴） 题型35 利用因式分解简便运算（压轴） 题型18 根据不等式组有无解集求参数的取值范围（压轴） 题型36 整式的化简求值（压轴） 题型01 实数的分类（常考）（共5小题） 1．在实数，，，，中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，先化简可化简的数，再逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，先对各数逐一判断： ，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；是无理数，因此仍为无理数； 因此，无理数共有2个． 2．在，，，，，，，（相邻两个2之间逐次增加一个1）中，有理数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】根据实数的分类解答即可，实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． 【详解】解：，，，是有理数， ，，，（相邻两个2之间逐次增加一个1）是无理数． 3．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 4．毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案． 【详解】解：∵，没有意义， ∴在，，0，，，，，，这些数中，无理数有：，，，共个． 故答案为：． 5．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数：__________________； 无理数：__________________； 正实数：__________________； 负实数：__________________． 【答案】 ②③④⑤⑦⑧⑨ ①⑥⑩ ①④⑤⑥⑨⑩ ②③⑧ 【分析】本题考查实数，运用实数的概念进行逐一分类、辨别．题题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，实数分为正实数和负实数以及0；无理数是指无限不循环小数；整数和分数统称为有理数． 【详解】解：∵，， ∴有理数：②③④⑤⑦⑧⑨； 无理数：①⑥⑩； 正实数：①④⑤⑥⑨⑩； 负实数：②③⑧． 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨；①⑥⑩；①④⑤⑥⑨⑩；②③⑧． 题型02 平方根与算术平方根的辨析（常考）（共4小题） 6．下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的基本概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. 4的平方根是，该选项正确，不符合题意； B. 的立方根是，该选项正确，不符合题意； C. 5的算术平方根是，该选项错误，符合题意； D. 0的平方根和立方根都是0，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．下列选项正确的是（   ）． A．的平方根是 B． C．没有算术平方根 D． 【答案】D 【详解】解：对于A：，而的平方根是，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：的算术平方根是，故C错误； 对于D：，故D正确． 8．以下关于平方根与立方根说法正确的是（   ） A．任何实数都有1个立方根 B．一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的概念与性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．任何实数都有1个立方根，正确，符合题意； B．一个正实数的算术平方根只有1个，平方根有2个，故原说法不正确，不符合题意； C．0和正数有算术平方根，故原说法不正确，不符合题意； D．正数负的平方根小于其立方根，故原说法不正确，不符合题意． 故选A． 9．下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴9的算术平方根是3，A判断正确； B、∵，，， ∴6是的算术平方根，B判断正确； C、∵，不符合算术平方根为非负数的要求， ∴不是25的算术平方根，C判断不正确； D、∵，， ∴19的算术平方根是，D判断正确． 题型03 立方根的计算（高频考点）（共4小题） 10．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根，由算术平方根的定义可知，由立方根的定义可知，所以的立方根是. 【详解】解：，， 的立方根是. 故选：A． 11．实数的立方根是 _______ 【答案】 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键；因此此题可根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：由可知：实数的立方根是； 故答案为． 12．计算： （1）________； （2）________． 【答案】 9 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 13．的立方根是__________，的立方根是_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 题型04 利用平方根的定义解方程（常考）（共3小题） 14．方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根解方程．先移项，把方程化为，再利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴方程的根为． 故选：C． 15．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 16．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用平方根的性质解方程即可得； （2）利用平方根的性质解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ∴或． 题型05 比较实数的大小（高频考点）（共5小题） 17．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较实数的大小，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选：D． 18．下列四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数的大小比较，无理数的概念，首先得到，然后根据正数大于零，零大于负数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴最大的数是3． 故选：A． 19．比较大小： ___________． 【答案】 【分析】本题中两个数均为负数，先计算两个数绝对值的平方，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可得到答案． 【详解】解：，． ， ，即． ∴． 20．比较大小：_________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的比较大小． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：因为，， ∴， ∴． 故答案为：． 21．比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 题型06 实数简单混合运算（高频考点）（共4小题） 22．计算： 【答案】 【详解】解： 23．计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值的性质. 算术平方根和立方根的定义化简每一项. 再合并计算得到最终结果； （2）计算算术平方根和立方根，再相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】分别化简原式中的立方根、算术平方根、乘方、绝对值各项，再将结果代入进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 双重非负性和为0（压轴）（共4小题） 26．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 27．已知，满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质可得，，解方程即可求得，的值，进而得出答案，熟知几个非负数的和为，那么每个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则， 故选：． 28．若a、b为实数，且满足，则的值为（　　） A．5 B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据题意，推断出，求出a、b的值即可求出最后答案． 【详解】解：∵a、b为实数，且满足， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质和算数平方根的性质，推断出是解题的关键． 29．已知，则_________． 【答案】 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性，得出和，解出和的取值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 即，， 解得，， ∴． 题型08 无理数的整数部分和小数部分（压轴）（共4小题） 30．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 31．实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 32．估计的整数部分为_____________． 【答案】9 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∴估计的整数部分为9． 33．若的整数部分是，的小数部分是，则______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 34．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知：，其中是整数，且，求． 【答案】(1)5， (2)2 (3) 【分析】（1）夹逼法进行求解即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是； （2）解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴， ∵是整数，且，， ∴， ∴． 题型09 实数与数轴+绝对值化简（压轴）（共6小题） 35．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 36．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，求一个数的算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选B． 37．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 38．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简，计算即可. 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴原式. 39．如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【答案】 【分析】直接利用数轴得出，再化简求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴ ． 40．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是___________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可直接求出m的值即可； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，得到，进而可求出其平方根． 【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，则点A所表示的数为． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的平方根．解题关键是理解数轴上两点间的距离，实数的混合运算法则，最后求的平方根有两个． 题型10 算术平方根性质应用题（压轴）（共4小题） 41．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽； (2)在此长方形内沿着裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】（1）按比例设元，利用面积公式列方程求出长和宽； （2）由圆面积求出其直径，然后用除以直径，利用去尾法取整得到最多裁剪个数． 【详解】（1）解：长方形长和宽的比为， 设长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， ，即， 解得， 则长方形的长为，宽为． （2）解：设该圆的半径为， 圆的面积为， ，即， 解得， ∴圆的半径为，则直径为， ， 沿裁剪圆，可得， ， 故沿最多可以这样裁剪个圆． 42．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 43．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 44．【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）由算术平方根的定义，即可解答； （2）根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据正方形的面积为5，边长即为，即可解答． 【详解】解：【问题探究】（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形的边长． (2) 如图所示 有， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）． 答：对角线的长为． （3）如图所示 或， ∴． 即正方形的边长为． 题型11 算术平方根中的小数点规律探究（压轴）（共5小题） 45．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 【答案】D 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果． 【详解】解：， ． 46．观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格给出的规律，算术平方根求被开方数． 【详解】解：由规律可得可知被开方数扩大10000倍，则算术平方根扩大100倍.， ∵， ∴， ∴． 47．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 48．已知，．则_______．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 49．(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0036 0.36 36 3600 ___________ ___________ ___________ ___________ (2)根据你发现的规律填空： ① 已知：2.775，8.775.则___________，___________； ②  已知：5.385，若53.85.则x=___________． (3)将你发现的规律用文字语言表述出来. 【答案】(1) 0.06 0.6 6 60 (2) 87.75 0.02775 2900 (3)被开方数小数点每向右（左）移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然 【分析】(1)根据算术平方根的定义计算即可． (2) ① 根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可； ②根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可． (3)根据被开方数小数点移动，算术平方根的小数点移动两个方面去思考． 【详解】（1）因为，，，， 故答案为：0.06，0.6，6，60． （2）①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700， 所以算术平方根的小数点向右移动1位， 因为． 所以； 因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077， 所以算术平方根的小数点向左移动2位； 因为， 所以0.02775， 故答案为：87.75，0.02775． ②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85， 所以被开方数小数点向右移动2位， 因为， 所以， 故x=2900， 故答案为：2900． （3）根据前面的解答，发现规律如下： 被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然． 【点睛】本题考查了被开方数与算术平方根的关系，准确理解二者的小数点移动规律是解题的关键． 题型12 不等式的性质判断（高频考点）（共5小题） 50．（25-26八年级上·浙江温州·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边加（减）同一个数，不等号方向不变；两边乘（除以）同一个正数，不等号方向不变；两边乘（除以）同一个负数，不等号方向改变，判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， A．两边减1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； B．两边乘，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； C．两边乘3（正数），不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； D．两边乘（负数），不等号方向改变，则，故本选项符合题意． 故选：D． 51．如果，那么下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐个选项判断，找出不一定成立的选项即可． 【详解】解：A选项、∵ ，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ∴ ，该结论一定正确，本选项不符合题意； B选项、∵ ，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，该结论一定正确，本选项不符合题意； C选项、∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，该结论一定正确，本选项不符合题意； D选项、取，，满足，但，因此不一定正确，本选项符合题意； 故选：D． 52．下列不等式的变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 53．（25-26八年级上·浙江金华·期中）若，则_________(选择用适当的不等号填空) 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，由，两边同乘负数时不等号方向改变，再同加一个数不等号方向不变，从而得到与的关系． 【详解】解：， 不等式两边同乘(负数)，不等号方向改变，得， 再不等式两边同加，不等号方向不变，得． 故答案为：． 54．不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为___________ 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式号的方向要改变，是解本题的关键． 运用不等式的性质解题即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：． 题型13 解一元一次不等式并用数轴表示（常考）（共4小题） 55．求不等式的解集，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】不等式去括号，移项，合并同类项，即可求出解，然后在数轴上表示． 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得，． 数轴表示如下： 56．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解不等式，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见详解 【分析】首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 在数轴上表示： ． 【点睛】需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴； 在数轴上表示解集如图： 58．（24-25九年级下·陕西汉中·期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 解集在数轴上表示如下： 题型14 解一元一次不等式组（高频考点）（共4小题） 59．（25-26九年级下·北京·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 因此，原不等式组的解为． 60．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集 【答案】 ，数轴见解析 【分析】先分别解出每个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 61．（25-26八年级上·重庆·期中）（1）解方程组；     （2）解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2） 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 62．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了求不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 解集在数轴上正确表示为： 题型15 求不等式组的整数解（高频考点）（共4小题） 63．求不等式组的整数解． 【答案】，0 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为：，0． 64．（25-26九年级上·重庆·期中）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】解集为：；整数解为：， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．先分别解两个不等式，再写出不等式组的解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵是整数， ∴，． 65．（25-26八年级下·全国·期中）已知二元一次方程组的解满足，求的所有非负整数解． 【答案】0和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法以及非负整数解的确定知识点，掌握通过方程组变形得到目标表达式，再代入不等式求解的方法是解题的关键． 先将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，再代入已知不等式，解出的取值范围，最后确定其中的非负整数解． 【详解】解： ①+②，得． ， ， 解得， 的所有非负整数解为和． 66．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解不等式组：，并写出它的所有正整数解的积． 【答案】，正整数解的积为6 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法.分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分得到不等式组的解集，再写出范围内的正整数解即可求解. 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：， 所以其正整数解有：1、2、3． 则它的所有正整数解的积为． 题型16 不等式的简单应用（高频考点）（共4小题） 67．古人曰：“读万卷书，行万里路”．经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某校团委组织135名学生去农博园研学，决定租用A、B两种型号的旅游车．已知一辆A型车可坐20人，一辆B型车可坐28人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共6辆．学校至少要租用B型车多少辆？ 【答案】学校至少要租用B型车2辆 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，设学校租用x辆B型车，则租用辆型车，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：设学校租用x辆B型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴的最小正整数值为2． 答：学校至少要租用B型车2辆． 68．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）蒲城土布，又叫老粗布，是几千年来中国劳动人民世代延用的一种传统工艺的手工织布，具有绿色环保无污染的特点，这种布料柔软舒适、透气吸汗，是居家和服装的首选面料．某土布品牌店进购土布的进价为15元/平方米，以18元/平方米的价格出售，品牌店打算在“五一”期间让利于顾客，计划以利润率不低于8%的价格降价出售，则土布每平方米最多可降价多少元？注：[利润率＝（售价－进价）÷进价]×100% 【答案】1.8元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意，找到不等关系并列出不等式是解题的关键；设土布每平方米降价元，根据：以利润率不低于8%的价格降价出售，列出不等式即可求解． 【详解】解：设土布每平方米降价元， 由题意得：， 解得:． 答：土布每平方米最多可降价1.8元． 69．（25-26六年级上·上海·期中）为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【答案】(1)这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次 (2)剩下的那名同学的成绩最少为次 【分析】本题考查有理数加减运算、用不等式解决实际应用题，读懂题意，准确列出式子求解是解决问题的关键． （1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为次，根据题意列出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】（1）解：次， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次； （2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为a次， 由题意得：， 解得：， ∴剩下的那名同学的成绩最少为次． 70．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）全球人形机器人开发热潮中，中国凭借自身优势成为重要参与者与推动者．在产业基础方面，中国拥有完备制造业体系，涵盖机械加工、电子制造、材料生产等领域，为机器人产业提供强大供应链支撑．已知某款智能机器人初始电量为100个单位（以下都是初始状态开始），每移动1米，消耗2个单位电量，每完成一个动作（如抓物品，旋转等）消耗5个单位电量（其它电量消耗忽略不计）． (1)如果机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米（为整数）的移动任务，并执行一些动作．如果执行个动作后，机器人的剩余电量不少于35个单位，求最多可以移动多少米？ 【答案】(1)机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，此时剩余61个电量； (2)5米 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，再列式计算即可； （2）根据剩余电量不少于35个单位，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：∵（个单位电量）， ∴机器人先移动了12米，然后完成了3个动作，此时剩余61个电量； （2）解：根据题意得：， 解得， ∴最大取值为5，则最多可以移动5米． 题型17 根据不等式解集求参数（压轴）（共6小题） 71．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 72．关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 73．（2024·浙江温州·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵不等式的负整数解只有, ∴符合题意的m取值范围如图所示， ∴， 故选B． 74．已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（　　） A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2 【答案】B 【分析】由2x-m＞4得x＞，根据x=2不是不等式2x-m＞4的整数解且x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解得出≥2、＜3，解之即可得出答案． 【详解】解：由2x-m＞4得x＞， ∵x=2不是不等式2x-m＞4的整数解， ∴≥2， 解得m≥0； ∵x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解， ∴＜3， 解得m＜2， ∴m的取值范围为0≤m＜2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得出关于m的不等式． 75．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 76．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 题型18 根据不等式组有无解集求参数的取值范围（压轴）（共6小题） 77．（24-25九年级下·河南驻马店·月考）已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（   ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ． 因为此不等式组无解， 所以． 故选：D． 78．（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， ∴满足条件的整数m的最大值为7， 故选：B． 79．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组 有整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题；解不等式组的两个不等式，然后由不等式组有整数解即可得的取值范围；根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有整数解， 故选：C． 80．关于的不等式组有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 81．已知关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，； 故答案为：． 82．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 题型19 求不等式组整数解限定个数问题（压轴）（共6小题） 83．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 84．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 85．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 86．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的不等式组只有一个正整数解，则a的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次不等式组的正整数解，明确解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的不等式组只有一个正整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组只有一个正整数解， ∴． 故答案为：． 87．关于x的不等式组的整数解仅有2，3，4，则a的取值范围______，b的取值范围是______． 【答案】 ， 【分析】先求得每个不等式的解集，再根据题意得到关于a的不等式，然后求解即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的整数解仅有2，3，4， ∴，， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，理解题意，正确得出关于a、b的不等式是解答的关键，注意边界值的取舍． 88．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 题型20 方程（组）与不等式综合（压轴）（共4小题） 89．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 90．已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 91．已知方程组的解满足，则m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 92．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 题型21 不等式组的实际应用（压轴）（共5小题） 93．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克．请根据现有条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． 【答案】共有3种方案，见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键，设生产x件A种产品，则生产B产品件，根据题意可得，求出不等式组的解，再根据x为正整数，得出有3种生产方案． 【详解】解：设生产x件A种产品，则生产B产品件， 由题意得： 解得， 由于x为正整数， ，31，32， 则有3种生产方案， 方案一：生产A种产品30件，B种产品20件； 方案二：生产A种产品31件，B种产品19件； 方案三：生产A种产品32件，B种产品18件． 94．（25-26八年级上·浙江金华·期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． (1)求出总利润（用含a的代数式表示）； (2)若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 95．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）某校八年级组织数学竞赛，准备购买甲、乙两种奖品共件．甲奖品每件元，乙奖品每件元，总费用不超过元． (1)求最多可购买甲奖品多少件？ (2)若甲奖品不少于乙奖品的，求共有几种购买方案？ 【答案】(1)最多可购买甲奖品件； (2)共种方案． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键 （）设购买甲奖品件，则乙为件，依题意，然后解不等式即可， （）根据题意得：，解得，且为整数，求出的正整数解即可． 【详解】（1）解:设购买甲奖品件，则乙为件， 依题意：， ， ， ∴， ∴最多可购买甲奖品件； （2）解：根据题意得：， 解得,且为整数， ∴，共种方案． 96．（25-26九年级上·四川泸州·期中）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 97．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 题型22 幂的运算性质（常考）（共12小题） 98．下列各计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的运算和合并同类项法则逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故A选项正确，符合题意； B、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故B选项错误，不符合题意； C、根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C选项错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故D选项错误，不符合题意． 99．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形后，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂乘法法则可得：， ∵ ，， ∴ ，即选项B符合题意． 100．2022年10月9日，我国发射“夸父一号”科学卫星对太阳进行探测．这次发射“夸父一号”将利用太阳活动峰年的契机对太阳进行观测．地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积是（　　）立方千米． A． B． C．1.4 × 10⁸ D．1.4× 10⁷ 【答案】A 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：依题意，． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 101．下列运算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 102．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据幂的运算规则可得， ， 把，代入得，原式 ． 故选：D． 103．计算：＝______． 【答案】 【分析】根据：，（、为正整数）计算即可． 【详解】解：． 104．（24-25七年级下·广东佛山·期中）______． 【答案】 【分析】采用积的乘方的逆用进行计算即可． 【详解】解：． 105．计算：________． 【答案】5 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两项后再求和即可． 【详解】解： ． 106．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： ____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相除，先运算幂的乘方，再运算同底数幂相除，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 107．已知 ，，则________． 【答案】 【分析】将所求式子根据幂的运算法则变形后，代入已知条件计算即可. 【详解】解：∵，， ∴ ． 108．在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按“=”键，这个数被化为科学记数法的形式，则这个数用小数表示出来是______． 【答案】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为． 109．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型23 单项式×单项式（常考）（共3小题） 110．计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式法则计算即可求解． 【详解】解： ． 111．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）计算____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 112．（25-26八年级上·广东广州·期中）______；______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，幂的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式与单项式相乘，幂的乘方运算求解即可． 【详解】解：： ， 故答案为：；． 题型24 单项式×多项式（常考）（共4小题） 113．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 114．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 115．（25-26八年级上·广东广州·期中）______． 【答案】 【分析】根据单项式与多项式的乘法运算法则解答即可． 本题考查了单项式与多项式的乘法运算，需运用分配律和指数法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 116．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 题型25 多项式×多项式（常考）（共8小题） 117．（25-26八年级上·四川内江·期中）下列各运算中，结果等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出四个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 118．若，则的值分别为（    ） A．1，6 B．3，6 C．5，6 D．，6 【答案】C 【分析】将等式左边展开，再对比对应项的系数即可得到的值． 【详解】解： ， 又， 对比等式两边对应项系数，可得 ． 119．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 120．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 通过展开等式左边的多项式，然后与右边多项式比较系数，即可求出p和q的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ 比较系数得：； 故选：A． 121．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算和图形面积的割补法，掌握阴影面积＝整体面积-空白面积是解题关键． 将整体面积和空白面积分别表示出来然后相减即可求解． 【详解】解：整体面积，空白部分面积， 阴影部分面积， A．，错误； B．，正确； C．，错误； D．，错误． 故选：B． 122．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，据此进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 123．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 124．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型26 整式乘法的混合运算（常考）（共4小题） 125．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 126．某中学校庆活动搭建的舞台如图（阴影部分），这个舞台的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用整式表示几何图形的面积，根据题意用大长方形的面积减去小正方形的面积即可解题． 【详解】解：由题知，舞台的面积 ． 故选：C． 127．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 128．（24-25七年级下·山西大同·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型27 平方差公式（高频考点）（共6小题） 129．（25-26七年级下·贵州·期中）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 130．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，只需判断两个二项式中是否存在一项完全相同，另一项互为相反数，符合特征即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项，中，与不互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； B选项，，两项都完全相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； C选项，中，完全相同，与互为相反数，符合平方差公式的要求，可以用平方差公式计算； D选项，，两项都完全相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 131．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 132．（25-26七年级下·全国·期中）下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C 133．（24-25八年级上·天津西青·期末）用简便方法计算：_____． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两数差与两数和的乘积． 【详解】解：． 故答案为：． 134．（24-25七年级上·上海崇明·期中）_______． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将变形为，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：1． 题型28 完全平方公式（难点考点）（共9小题） 135．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 136．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 137．（24-25七年级下·甘肃白银·期中）在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，完全平方公式的形式为，即两个相同二项式的乘积．需逐一分析选项，判断是否符合该形式． 【详解】A．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； B．原式，符合完全平方公式，可用完全平方公式计算，故符合题意； C．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； D．两括号中的项不同，既不符合平方差，也不符合完全平方公式的结构，故不符合题意． 故选B． 138．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 139．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键． 分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为大正方形面积减去两个长方形的面积再加上小正方形的面积，即， 图乙中阴影部分的面积=四个小正方形拼接成的正方形，此时正方形的边长为 即图乙中阴影部分的面积为， ∵甲、乙两图中阴影部分的面积相等 ∴， 故选：B． 140．计算：___． 【答案】 【分析】根据求解即可； 【详解】解： ； 141．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握是解答本题的关键． 观察算式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用完全平方公式计算． 【详解】解：． 故答案为 4． 142．（23-24七年级下·江西九江·期中）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，直接利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 143．（24-25七年级下·广西桂林·月考）[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 题型29 提公因式法因式分解（常考）（共4小题） 144．（25-26八年级上·广西贵港·期中）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，利用提多项式公因式是解题关键． 通过将表示为，化简原式后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解：， . 另一个因式是. 故选：A． 145．（25-26八年级上·广东东莞·期中）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握“找出多项式各项的公因式并提取”是解题的关键．通过观察多项式，找出各项的公因式，利用提取公因式法分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 146．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 147．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】将多项式进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵，， ∴. 题型30 公式法因式分解（常考）（共4小题） 148．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 149．（2026·江苏南通·模拟预测）分解因式：_______________． 【答案】 【分析】观察原式结构，可将其转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解，最后化简括号内的整式即可． 【详解】解： ． 150．（25-26八年级上·江苏南通·期中）因式分解：______ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 151．（18-19七年级下·全国·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 题型31 综合提公因式和公式法因式分解（常考）（共7小题） 152．将多项式分解因式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 153．因式分解______． 【答案】 【分析】提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解： . 154．因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得答案． 【详解】解： ． 155．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 156．分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解；根据平方差公式法分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型32 乘法公式整体代入求值（压轴）（共7小题） 157．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 158．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 159．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则的值是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．通过设和，利用已知平方值，通过代数变换求解目标表达式． 【详解】解：设，， ∵，， 又∵ ，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 160．若，，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的变形进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 161．若，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将化为，然后整体代入并进一步化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的值为． 162．若，则代数式的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了公式法化简和代数式代入求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先将根据公式法化简为，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：6； 163．（25-26八年级上·河南南阳·期中）已知，则代数式的值是______． 【答案】25 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 将代数式识别为完全平方式，然后代入已知条件计算． 【详解】解： ， 由 ，得 ， ∴原式． 故答案为：25． 题型33 完全平方公式中的参数求值（压轴）（共7小题） 164．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 【答案】C 【详解】解：由题意， ， ∴ 或. 165．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 166．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 167．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 168．如果多项式是个完全平方式，则________． 【答案】3或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，或． 169．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若关于的多项式是完全平方式，则的值为______ ． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解完全平方公式有和与差两种形式是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，建立关于k的方程求解． 【详解】解：由于多项式 是完全平方式，可设其等于 ， 比较系数，一次项系数为，因此有 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 两种情况下，常数项 ， 又常数项为 ，故 ， 解方程得 或 ，即 或 ． 故答案为：7或． 170．（25-26八年级上·福建福州·期中）若（为常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 根据完全平方式的特征，将表达式与标准形式比较系数，求出常数项的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴设， 比较系数得：，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型34 分组分解法因式分解（压轴）（共3小题） 171．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 172．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．对等式左边进行分组分解，前两项用平方差公式进行因式分解，然后两组提取公因式 ，从而求出 ． 【详解】解： ， 与右边 比较，可得： ． 故答案为：． 173．（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型35 利用因式分解简便运算（高频考点）（共6小题） 174．（25-26八年级上·山东东营·月考）(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 175．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 176．（25-26八年级上·山东东营·月考）______． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 177．利用因式分解计算：的结果是______． 【答案】8800 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】原式= = = =8800． 故答案为：8800． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 178．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用因式分解进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 179．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型36 整式的化简求值（高频考点）（共4小题） 180．（25-26七年级下·广东深圳·月考）化简求值：，其中 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，平方差公式将目标式化简，求出，代入计算即可． 【详解】解： ∵ 即， ∴ 181．先化简，再求值：，其中； 【答案】，13 【分析】利用乘法公式和单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 182．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【详解】解： ， 当时，原式． 183．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 1．汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 【答案】会发生侧滑事故，见解析 【分析】先计算汽车在弯道上临界速度，比较求解即可． 【详解】解：该辆汽车会发生侧滑事故． 根据题意得，， ． ， 以的速度驶入该弯道时，会发生侧滑事故． 2．新概念应用题 定义：如果一个实数的平方等于它的立方，那么这个实数叫做 “和谐数”． (1)求所有“和谐数”； (2)若是“和谐数”，求代数式值． 【答案】(1)0、1 (2)5 或 9 【分析】本题主要考查了平方根和立方根应用，新定义运算，整式化简求值，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据“和谐数”定义进行求解即可； （2）先将整式化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：设 “和谐数” 为 ，由得， 即， 解得：或， 故和谐数为 0、1； （2）解： ， 当时，原式， 当时，原式， 故代数式值为：5或9． 3．当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 对于（1），先根据不等式两边都乘以，改变符号可得答案，再根据不等式两边都加上5，不改变符号得出答案； 对于（2），根据不等式两边都乘以负数时，不等号的方向改变可知，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（不等式基本性质3）， ∴（不等式基本性质2）； 故答案为：； （2）解：∵ ∴，且， 解得． 故答案为：． 4．根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121 (1)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 ； (2)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)10.6； (2)103，104，105，106 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的运用，理解表格信息，掌握平方根的计算是关键． （1）根据表格信息，结合算术平方根，平方根的概念即可求解； （2）根据题意得到，由此即可求解； （3）根据题意，把代入表达式，得到，结合表格即可求解． 【详解】（1）解：∵时，， ∴112.36的算术平方根是， ∵时，，且平方根有两个，互为相反数， ∴118.81的平方根是； （2）解：∵， ∴介于10.1与10.3之间，满足条件的正整数a的值有； （3）解：物体自由下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）之间的关系是， ∴时，，且， ∴结合表格，． 5．小马同学化简的过程如下： 解：原式① ② ③ (1)请把，分别代入原式以及化简后的式子，并分别求出它们的值；由两者的求值结果可知，小马同学的化简结果对吗？ (2)指出小马同学化简错误的步骤：_______（填写序号）；并写出正确的化简过程． 【答案】(1)小马同学的化简结果不正确； (2)①； 【分析】（1）代入数据计算即可判断； （2）根据整式的运算法则和混合运算顺序进行化简即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ∵， ∴小马同学的化简结果不正确； （2）解：小马第①步就出现错误； ． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和混合运算顺序是解题的关键． 6．观察下列各式： ； ； …． 由此我们可以得出结论：． 利用乘法交换律、结合律及乘方的意义可以验证： 利用以上信息计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算性质 ，熟练掌握幂的运算法则是解决此类问题的关键． 根据积的乘方运算性质 来化简计算即可． 【详解】解：． 7．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 8．通过对完全平方公式：的学习，我们可以将完全平方公式经过适当的变形，来解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边作正方形且边长分别为、，设，两正方形的面积之和，求三角形的面积． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据题目要求正方形的四条边都相等，可得，，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了不同进制数与十进制数的转化，熟练掌握进制数的位权规则是解答本题的关键． （1）利用进制数的位权表示方法，将二进制、五进制数转化为十进制数； （2）结合六进制“逢进”的规则确定六进制数，再通过位权展开转化为十进制数； （3）先将五进制、八进制数分别转化为十进制数，再根据两数和的条件列方程求解未知数． 【详解】（1）解：，； （2）解：写出这个六进制数字为； ， 她一共采集到的野果数量为个； （3）解：， ， ，此时满足条件的． 10．阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 【答案】(1)；或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了数轴，解不等式组，解含有绝对值的一元一次不等式，掌握解不等式组的解法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或； 故答案为：，或； （2）解：由得， 解得， 因此，的解集是； （3）解：由得或， 解得或， 因此，的解集是或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $