专题04 向量最值范围型归类（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题04 向量最值范围型归类 目录 专题04 向量最值范围型归类 1 2 类型一、奔驰定理1：奔驰定理内分点面积 2 类型二、奔驰定理2：奔驰定理外分点面积 4 类型三、奔驰定理3：多点奔驰定理 7 类型四、极化恒等式1：三角形模型 9 类型五、极化恒等式2：求模长最值范围 11 类型六、极化恒等式3：求范围最值型 14 类型七、极化恒等式4：矩形方法型 16 类型八、向量几何意义1：轨迹 19 类型九、 向量几何意义2：最短距离型 21 类型十、 向量几何意义3：三角换元型 24 类型十一、投影向量1：投影向量夹角范围最值 27 类型十二、投影向量2：数量积范围最值 30 33 类型一、奔驰定理1：奔驰定理内分点面积 核心定理：注意是内分点 各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 例1．（23-24高一下·福建漳州·月考）已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，由“奔驰定理”：可知成立并进行证明，利用对应系数相等得到面积比，求解即可. 【详解】    如图，延长交于点，设， 易知，可得， 又，得，故， 可知， 同理，可得， 结合可得， 整理得成立， 而由题意得，故， 设即，，故，故C正确. 故选：C 变式1-1． （22-23高一下·江苏连云港·月考）在中，为三角形所在平面内一点，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交直线于点，设，，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出，即可得解. 【详解】延长交直线于点，如下图所示： 设，则，所以， 因为与共线，设，即， 所以，解得，即，，故， 所以，不妨设，则， ，故，， 因此，.故选：D. 变式1-2． （2024高一全国）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为 A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比. 【详解】 如图，延长交于，则， 因为三点共线，所以即， 所以，则，故且， 又，故，所以， 所以，所以，故选C. 【点睛】一般地，利用向量的线性运算可计算平面几何中线段的比值，从而得到相应的面积之比，在计算线段比值时，应利用基底法，把向量的关系转化为基底向量的系数关系，从而得到欲求的线段长度的比值. 变式1-3． （23-24高一下·陕西 ·月考）已知是所在平面内一点，且满足，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点是上一点,且,点是上一点，且,把已知的向量运算式子进行转化，根据向量加法的几何意义，可以构造出一个平行四边形，利用等高时，面积之比等于此高对应的边之比，结合平行线成比例定理，可以求出答案. 【详解】设点是上一点,且,点是上一点，且，如下图所示： 由得， 可知，以为邻边作平行四边形,连接，延长，交于， 设,因为，所以，又，， 由平行四边形，可知,设， ， 所以,,所以， ， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量加法的几何意义，三角形的面积，平行线成比例定理.考查了运算能力,属于中档题. 类型二、奔驰定理2：奔驰定理外分点面积 对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. （24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为， 所以可得， 所以与共线，且， 所以. 故选：D. 变式2-1． ．（24-25高三全国专题练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算可得，即点在线段上，且,由三角形面积公式可得，得解. 【详解】解：因为点是所在平面上一点，又， 所以,即,即， 则点在线段上，且, 又，, 又，即， 所以点在线段上，且, ， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 变式2-2． （23-24高一上·湖南·月考）在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合平面向量的线性运算可得，则有并且方向一样，，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：，， 即， 即，即， 并且方向一样，则， 设和夹角为，则和的夹角也是， 则，， 所以. 故选：B. 变式2-3． （20-21高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点、、、，根据已知条件求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 类型三、奔驰定理3：多点奔驰定理 对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 例3．（2022高三·全国·专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解. 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 变式3-1．（2022高一·全国·专题练习）设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出的面积与的面积之比，同理可得的面积与的面积之比，从而即可求得的面积与的面积之比． 【详解】解：设，， ，， 由平行四边形法则知， 的面积与的面积之比， 同理由，可得的面积与的面积之比为， 的面积与的面积之比为， 故选：D． 变式3-2．（2024高一·全国·专题练习）设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若为的重心，利用，，，有关平面向量的线性运算根据三角形法则、平行四边形法则解题，将三角形面积比转化为平面几何中三角形相似问题进行求解. 【详解】连接并延长，则通过的中点，过分别向所在直线作垂线，垂足分别为， 如图所示，由与面积比为，于是， 根据三角形相似知：，所以， 则，即， 又为的重心，所以， 根据待定系数法有，所以. 故选：D 变式3-3． ． 12．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出的值即可. 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 类型四、极化恒等式1：三角形模型 在平行四边形模型结论的基础上，设M为对角线AC与BD的交点，则 ， 该等式就是极化恒等式在三角形中的体现，也是最常用的极化恒等式的几何模型． 例4．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心， 所以，， 则， ， 因此． 变式4-1． （2025高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． 变式4-2．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 【答案】D 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】 .故选：D. 变式4-3． （25-26高一下·北京·月考）如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 类型五、极化恒等式2：求模长最值范围 在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 例5．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 变式5-1．（25-26高三下·北京·开学考试）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由得，，取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以，. 如图，取中点， 所以，， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 变式5-2．（25-26高三上·河南新乡·期末）已知O为坐标原点，与均为单位向量，，点C在定直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，将所求向量转化为，根据向量模不等式确定最小值的位置，最后用点到直线距离公式求最小值. 【详解】令，则， 所以点G是以原点O为圆心，为半径的圆上的动点， 所以，如图1， 设直线，过点O作直线l于点H，作直线于点， 则， 又因为， 可知如图2，当点C在点H处，点G在线段上时， 取得最小值， 此时， 最小值为． 故选：A． 变式5-3． ．（24-25高一·全国·课后作业）如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______. 【答案】 【分析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可. 【详解】如图， 设，，则，连接，， 过点，点作的垂线，垂足分别为点，点， 由向量加法的平行四边形法则可知 又 同理可得∴.故答案为： 【点睛】本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题. 类型六、极化恒等式3：求范围最值型 例6．（2026高三·全国·专题练习）在中，为钝角，M，N是边上的两个动点，且，若的最小值为，则_____________． 【答案】 【分析】取的中点P得，，，再将、用向量表示并结合的最小值为得，即C到直线的距离为，再根据几何关系即可求得. 【详解】取的中点为P，连接，则，, 由极化恒等式得． 因为的最小值为，所以． 由平面几何知识知，当时，最小． 如图，作为垂足，则． 又，所以在中，． 故答案为：. 变式6-1． （22-23高一下·江苏南京·月考）如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 变式6-2．（21-22高一下·上海普陀·期末）如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可. 【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径， 所以为的中点，， 因为， 所以 , 因为，即 所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值， 所以的取值范围是， 故答案为： 变式6-3． （21-22高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是____________． 【答案】8 【分析】设、，易得、、，利用向量数量积的坐标表示有，即可确定最大值. 【详解】设，，则， 所以，， 于是. 当且仅当时，等号成立. 故答案为：． 类型七、极化恒等式4：矩形方法型 矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，则． 例7．(2022高一·全国·专题练习)已知圆的圆心为（0,0），半径为3，圆的圆心为（0,0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为邻边作矩形，则 由得 ，即， 的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， ． 变式7-1． (23-24高一·全国·专题练习)在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 从而，因为，所以，即 变式7-2． (22-23高一·全国·专题练习)边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 变式7-3．（2025高一下·全国·专题练习） 如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 类型八、向量几何意义1：轨迹 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 例8．1．（2026高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，，其中，．若，且，点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算，可得，进而得到，再作出该区域即可． 【详解】设向量，因为，，，所以， 则有，即，所以，该区域为 ．故选：A． 变式8-1． （24-25高三下·广东梅州·月考）如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合图形，易得，且，设，求出，由的两种表示式整理得到，从而建立不等式，解之即得. 【详解】设依题意，， 因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且， 由，可得， 由， 又， 故可得：， 即，因， 则，即， 由，可得，整理得：， 因，故得，即； 由，可得，整理得：显然成立. 综上分析，可得. 故选：C. 变式8-2．（2020高三·上海·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设，，则，所以，由此得点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，从而得，，得解. 【详解】解：设，，则，所以；， 则点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆， 表示区域为：以为圆心，内径为,外径为的圆环， 且 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交. 又因为，所以所以. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐标系,分析出点的轨迹及表示的区域是解决本题的关键，属于中档题. 变式8-3． （2026高一下·全国·专题练习）在△ABC中，BC=7，.若动点P满足，则点P的轨迹于直线AB，AC所围成的封闭区域的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设,因为 所以三点共线，所以点的轨迹为直线,如图： 在中，,,,由正弦定理,解得, , ,,所以,故选B. 类型九、 向量几何意义2：最短距离型 距离型，主要是类似型含参数型的几何意义解释，令可以理解为所在直线上一动点A, min可以理解为两点AB的最短距离 例9．（23-24高三上·浙江杭州·月考）已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 (　　) A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可. 【详解】   如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中 易知点B的坐标 因为 所以OB=BC，即 整理可得 ，所以 而的最小值为， 即 将，当时取最大值，此时 故的最大值为8 故选C 【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题. 变式9-1． （2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 变式9-2．（24-25高一下·上海·期末）已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，记，，根据已知列方程求出点的轨迹方程，转化为圆上动点和直线上动点的距离最小值问题即可得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为， 因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数，均有，所以， 整理得， 由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立， 则有，即，故， 设，又设， 则，整理得：， 所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 而圆心到直线的距离， 所以，即的最小值为3．    故选：B． 变式9-3． （24-25高一下·福建泉州·期中）已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 类型十、 向量几何意义3：三角换元型 如果向量涉及到圆的定义，则可以利用圆的平方结构型，进行三角代换，通过三角换元后的三角函数求最值范围。 例10．（2020·江苏南通·模拟预测）已知，，则向量的最小值为________. 【答案】 【分析】，不失一般性，设，由知的终点在两个圆上运动，设化简放缩后得到得解. 【详解】，不妨设 ， 所以在圆上运动 ，所以在圆上运动 再令， 当且仅当，时，等号成立 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积最值问题. 平面向量与几何综合问题的求解关键是坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 变式10-1． （21-22高三上·浙江·开学考试）已知平面向量，，满足，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用平面向量的几何含义，作出，，，若，求、且，进而分析最大或最小时、的位置关系，结合向量数量积的几何意义及三角恒等变换、二次函数的性质求的取值范围. 【详解】如下图，，，则，， 若，则，， 若，由， ∴要使最大，则、同向共线，如下图示， 此时，，而， ∴当时，最大值为. 要使最小，则、反向共线且，如下图示， 此时，而， ∴当时，最小值为. 综上，取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：作几何图形，并确定平面向量所对应线段，结合向量数量积的几何含义，分析最大或最小时、的位置关系，进而得到关于的函数，并确定最值，即可得范围. 变式10-2．（21-22高三上·广东佛山·期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则___________，的最小值为___________. 【答案】 0 /-0.25 【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，； 因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为 故答案为：0， 【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的. 变式10-3． （22-23高二下·江苏常州·月考）已知平面向量，对任意实数都有，成立．若，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合向量的几何意义可得如图图形，然后利用向量数量积的运算，结合二次函数分析运算即得. 【详解】如图所示，设，则， 若对任意的实数都有且成立， 即对任意的实数都有且成立， 即成立，所以在以为直径的圆周上， 设圆心为，过点作，交于点，交圆于点， 可得向量在上的射影最长为，此时， 设，且， 则，所以， 所以， 又因为，则， 所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：.    类型十一、投影向量1：投影向量夹角范围最值 投影向量： 例11．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 变式11-1．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以，故的取值范围为．故选：A． 变式11-2． （25-26高三上·湖北·月考）已知，在单位向量上投影向量都是，且，则当与夹角最大的时候，为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两角差的正切判断向量所成角的最值后求得对应的数量积. 【详解】设单位向量，以单位向量的起点为原点，建立平面直角坐标系.    因为，在单位向量上投影向量都是，设. 不妨设，因为，故， 则设两向量的夹角为， 若，则，故此时 若，则， 而，故，当且仅当时等号成立， 故，综上，当，时，取最大值，此时.故选：. 变式11-3．（22-23高一下·山西·期末）已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，过作的垂线，由在上的投影向量为，求得，又由，得到，结合，即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点， 过作的垂线，垂足为， 因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 又因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为．故选：D.    类型十二、投影向量2：数量积范围最值 例12．（2023·天津·一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解. 【详解】，，梯形为直角梯形，，，即， 由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ，所以， 由且可得，令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故，故选：D 变式12-1．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知平面向量与向量在上的投影向量均为，其中为坐标原点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由条件结合投影向量定义可得，由此证明，再根据数量积的坐标运算求的取值范围. 【详解】设，，则，， 又，故，，，， 平面向量与向量在上的投影向量均为， 所以，故， 所以，故， 又，， 所以，所以或， 又， 当时，， 当时等号成立， 当时，， 当时等号成立， 所以的取值范围为.故选：D 变式12-2． （22-23高二下·云南临沧·期中）如图所示，梯形中，，点为的中点，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设分别为线段上的动点，且，则的最大值是（    ）    A．不存在 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解. 【详解】梯形为直角梯形，    ， 即，由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以为坐标原点， 建立如图所示平面直角坐标系，则 ， 所以， 由且可得，令， 则由对勾函数单调性知，当时单调递减，时单调递增， 故，由知，，故最大值为.故选：D. 变式12-3． （23-24高一下·重庆·期末）已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用数形结合及极化恒等式，化，求解即可． 【详解】解：如图， 根据投影向量定义知，，则，且， 因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动． 设M是AB的中点，由极化恒等式得：， 因为，此时， 即的最小值为，故选：D． 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量，所以， 则，，设，由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号．故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 2．（21-22高二上·四川凉山·期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 3．（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为，所以可得， 所以与共线，且，所以.故选：D. 5．（21-22高一下·重庆沙坪坝·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， .故选：D 6．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 7．（河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题）平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，并分析该方程的几何意义，将要求的的最大值，转化为求圆上的点到原点距离的最大值，利用几何图形的性质求解. 【详解】 根据点积公式，代入已知，得， 即​，故夹角​. 建立平面直角坐标系，设，，设， 记点，，，则就是原点到点的距离. 题意给出，即. 得，在中由正弦定理（为外接圆半径） 代入得，得，即点在半径为的外接圆上. 的中点，所以垂直平分线为， 过点分别作垂线，垂足为，因为且， 又，所以，代入垂直平分线中得的横坐标为， 即满足​的外接圆圆心为，原点到圆心的距离， 原点到圆上点的最大距离为​，即的最大值为. 8．（22-23高三上·上海奉贤·期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解. 【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，所以，即，所以，即. 由，知， 所以, 当且仅当与同向时取等号.故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力. 二、多选题 9．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系， 则，设，， 所以， 又，当时取得最小值为， 因为，所以， 当时取得最大值为， 则的取值范围为，选项BCD符合. 10．（25-26高一下·湖北荆州·月考）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，，又， ，选项A正确； 因为是的外心，，， ，选项B错误； 若，，可得， ，则，选项C正确； 根据已知条件，，即，， 所以，选项D正确. 11．（22-23高一下·河南南阳·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 【答案】ACD 【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对； 对于B选项，由 ，，可知， 又，所以， 由可得，，， 所以，B错； 对于C选项，若为的内心，，则， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，C对； 对于D选项，如下图所示， 因为为的重心，延长交于点，则为的中点， 所以，，，且，， 所以，，由“奔驰定理”可得，D对.故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 【点睛】利用正八边形的对称性，将转化为共线的，把数量积的最大值问题转化为在上的投影最大值，是解决本题的关键. 13．（25-26高一下·四川资阳·月考）在边长为4的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设为未知数，并表达出其他各边，结合平面向量基本定理和数量积运算法则得到最值. 【详解】设，，为边长为4的等边三角形， 且交AB于点，则，，， 因为，，所以， 又，为等边三角形，故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 14．（25-26高一下·广西南宁·月考）在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】，设，，，则，则， 再由角平分线定理，，则由定比分点性质，， 又为三角形的外心，所以：； 则三角形的面积，其中为三角形的边上的高， 由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值，为圆心到的距离加上半径即， 且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角，时，为直径，此时取得最小值，为圆心到的距离的二倍，即， 故的取值范围为，则. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04向量最值范围型归类 目录 专题04向量最值范围型归类 典例详解 .2 类型一、奔驰定理1：奔驰定理内分点面积 2 类型二、奔驰定理2：奔驰定理外分点面积 .4 类型三、 奔驰定理3：多点奔驰定理… .7 类型四、极化恒等式1：三角形模型 .9 类型五、极化恒等式2：求模长最值范围 11 乡 类型六、极化恒等式3：求范围最值型 .14 类型七、极化恒等式4：矩形方法型… .…16 乡 类型八、向量几何意义1：轨迹…。 19 类型九、向量几何意义2：最短距离型… 21 类型十、向量几何意义3：三角换元型… .24 类型十一、 投影向量1：投影向量夹角范围最值 .27 类型十二、 投影向量2：数量积范围最值 30 压轴专练 33 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 典例详解 类型一、奔驰定理1：奔驰定理内分点面积 核心定理：注意是内分点 m04+sOB+tOC=0 0①S4B0=t SMnc m+s+t (2)SBO:SMCO SACBo=t:s:m 各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在 的三角形. 例1.(23-24高一下.福建漳州·月考)己知0是ABC内部的一点，OA+OB+30C=0,则△0AB的面积与 ABC的面积之比是() A.3 2 B c.3 5 D.5 3 变式1-1. (22-23高一下江苏连云港·月考)在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且 D=B+)4C,则m=() 3 SAACD A 81 c 0.3 变式1-2. (2024高一全国)已知点M是ABC所在平面内一点，满足AM=名B+AC,则△M8M与 △BCM的面积之比为 A.3 8.8 C.3 D.1 8 变式1-3.(23-24高一下.陕西月考)已知M是△4BC所在平面内一点，且满足2AM=AB+3AC,则 △AMB与△ABC的面积之比为 A.1:4 B.3:4 C.3:8 D.1:8 类型二、奔驰定理2：奔驰定理外分点面积 对于AABC所在平面内不在三角形边上的任一点P,1PA+2,PB+元，PC=0,则△PBC、△PCA、 △PAB的面积分别为2日22H2: (24-25高三上-江西南昌·期中)若点P为ABC所在平面内，且满足PA+PB+PC=2BC,则c-() SAABC A B.4 c. 2 0:3 1 2/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.1.·(24-25高三全国专题练习》点P是ABC所在平面上一点，若AP=2B+AC,则AA8P与 △ACP的面积之比是 A.3 B. 5 5 c.3 D.2 3 变式22. (23-24高一上湖南·月考)在ABC所在平面上有一点P,满足PA+PB+PC=2AB,则 △APC与ABC的面积比为() A &,1 c 0.3 变式2-3.(20-21高一下·安微合肥期中)设O为ABC所在平面内一点，满足20A-70B-30C=0,则 ABC的面积与△BOC的面积的比值为() A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 类型三、奔驰定理3：多点奔驰定理 对于△ABC平面内的任意一点P,若点P在△ABC的外部，并且在LBAC的内部或其对顶角的内部所在区 域时，则有-SarPA+-SAP4cPB+SpPC=0 例3.（202高三全国专题练习)已知点4，B,C,P在同-平面内，P0-P,QR=Q5, RP=RC,则S4Bc:SPac等于（) C A.14:3 B.19:4 C.24:5 D.29:6 变式31.(2022高全司专练习》设n、Q为8C内肉的两点，且亚-号0+兮4C, 0-6+号C,则1BP的面积与△10的面之比为（氵 c D.3 10 变式3-2.(2024高一.全国.专题练习)设G为等边ABC的重心，过G作直线1分别交AB,AC(不与端点 重合)于P,Q,若AP=AMB,A0=4C,若△PAG与△0AG的面积之比为2，则H=（) B.2 c.3 3 4 D.5 6 12.(25-26高一下.江苏淮安·月考)已知线段AB是00的一条直径，⊙0的半径为R(R>1),点P是⊙0 上的一点且PA=2,则AP.AB=(） A.2 B.R2 C.4 D.无法确定 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、极化恒等式1：三角形模型 在平行四边形模型结论的基础上，设M为对角线AC与BD的交点，则 4.4D-4C心-8D)-44w-48M)=4M-8M 该等式就是极化恒等式在三角形中的体现，也是最常用的极化恒等式的几何模型. 例4.(25-26高二下.湖南长沙开学考试)在ABC中，AB=4,AC=8,N为BC的中点，且ABC外接 圆的圆心为M,则AM.AN=() A.10 B.20 c.3 D.89 4 F 所以AC⊥MF,AB⊥ME, CFFM)32 G.M=6(E+EM)-征-}4B-8, 因此4=ac.W+B4)-2×32+8到=20。 变式4-1. (2025高三.全国.专题练习)已知等腰梯形ABCD中， AD//BC,BC=2AD=4.ZABC=60.CE=CD,CA.BE=() A.21 B.-10 c.、19 D.-9 2 2 变式4-2.(25-26高三上江西抚州期末)己知圆M与圆N的半径分别为3和1，圆M与圆N外切沿着圆 周滚动如图所示，AB是圆N的任意直径，则MA.MB=() A.1 B.4 C.9 D.15 变式4-3.(25-26高一下北京月考)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,M、N分别为边BC,CD上的动 点，且MN=4.则AM+AN的最小值为() 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B A.8 B.16 C.4V13 D.8V5 类型五、极化恒等式2：求模长最值范围 在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由 BD=AC2-BD） 变形为 .A0=4Ce-BD)41M2-48M) 得 AB·AD=AM2-BM,该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒 等式的几何模型 D 例5.(2026湖北黄冈一模)在平面直角坐标系x0y中，0A=0B=4,AB=45,C(5,3),则 CA+CB的最大值为（) 4 4 A.5 B.2 c.3v5 D.3√ 2 变式5-1.(25-26高三下北京开学考试)若ABAC=AB2=4,且A=1,则2BP+CB的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 D B P 变式5-2.(25-26高三上河南新乡.期末)已知0为坐标原点，OA与OB均为单位向量，0A+0=5, 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C在定直线1：y=x+2√6上，则OA+0B+0C的最小值为() A.√5 B.6 C.2W3 D.2V6 变式53.·(2425高一全国误后作业)如图，M,N为A48C内的两点，且-B+月C, N-AB+AC,则△MBM,与AABN的积之比为 M 类型六、极化恒等式3：求范围最值型 例6.(2026高三·全国.专题练习)在ABC中，AC=2BC=4,∠ACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点， 且MN=1,若C.CN的最小值为子则∠B= 变式6-1.(22-23高一下江苏南京·月考)如图，ABC中，M为AB中点，AB=5,CM=3,EF为圆心为 C、半径为1的圆的动直径，则BE,AF的取值范围是 B M 变式6-2.(21-22高一下.上海普陀期末)如图，在ABC中，AB=4,AC=3,A=90°，若P2为圆心 为A的单位圆的一条动直径，则BP.CQ的取值范围是· B 变式6-3.(21-22高一下·海南省直辖县级单位期末)如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A,D分 别在x轴，y轴正半轴（含原点)上滑动，则OB.OC的最大值是 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、极化恒等式4：矩形方法型 矩形大法 如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O,P为平面内任意一点，则 PA2+PC2=PB2+PD2. B 例7.(2022高一.全国.专题练习)已知圆C,的圆心为(0,0)，半径为3，圆C,的圆心为(0,0)，半径为6 ,定点P(2,O),A、B分别在圆C和圆C2上，满足PA⊥PB,则线段AB的取值范围是 变式7-1，(23-24高一全国专题练习)在平面内，已知AB⊥AB,,OB=0B,=1, 而=丽+，制o水分 则OA的取值范围是() A. )0 变式7-2. (22-23高一全国.专题练习)边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正 方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM.PN的取值范围是 变式7-3.(2025高一下，全国.专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心0的直线1与两边 AB,CD分别交于点M,N,若Q是BC的中点，则QM·QN的取值范围是一；若P是平面内一点， 且满足2OP=1OB+1-元)0C(2∈R),则PM.PN的最小值是 A D 0 M 0 B 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、向量几何意义1：轨迹 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x,y的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法， 将 xo=g(x) yo=h(x) 代入fxy)=0 例8.1.(2026高一下·全国.专题练习)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，设向量0A=ā，0B=b, 其中ā=(3,1，b=(1,3).若0C=1ā+ub,且0≤2≤u≤1，点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 () D 变式8-1.（24-25高三下广东梅州·月考)如图，已知同一平而上的三条直线a,b,c相交于同一点O, 两两夹角均为60°，点A,B分别在直线a,b上，且0A=OB≠0，设0P=10A+μ0B,若点P落在阴影 部分（不含边界），则下列结论正确的是() b B A.λ>u>0 B.元<u<0 C.1>-u>0 D.-4>1>0 变式8-2.(2020高三上海专题练习)在平面直角坐标系x0y中，已知向量a,万，a==1,a-万=0， 点Q满足00=V2(a+),曲线C={PoP=acos6+bsin0,00≤2π}，区域2={Pl0<r≤P≤R,r<R 若C∩2为两段分离的曲线，则() A.I<r<R<3B.1<r<3<R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 1 变式83，(2026高全田专题练习)在△Bc中，BC7,c0s专浊C=26者动点P透起 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4P=22AB+Q-),4C∈R,则点P的轨迹于直线AB,AC所围成的封闭区域的面积为 3 A.36 B.4V6 c.6V6 D.12W6 类型九、向量几何意义2：最短距离型 距离型，主要是类似6-2到型含参数型的几何意义解释，令2ā=0A可以理解为a所在直线上一动点A b-λamin可以理解为两点AB的最短距离 例9.(23-24高三上浙江杭州月考)已知共面向量ā，6，c满足d=4,6+c=2a且=6-c若对每一个确定 的向量五，记35+ta(tER)的最小值为din,则当变化时，dn的最大值为() A. 8.3 C.8 D.17 变式9-1. (2025·浙江金华.一模)设0为两个非零向量a,b所成的角，已知对任意t∈R，,|a-tb的最小值 为1a,则8=() A君 8. 3 C.或5n 6 6 3 变式92.(2425高-下止海期末)已如平面向量a.6,c满定=4=5-=a,e-行，且对任意的 实数t,均有e-≥e-2e.则-b的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 变式9-3. (24-25高一下.福建泉州期中)已知平面向量a,万，且a==2,ā.6=2，向量c满足 E-i6-小则啡-2eR的设小雀为() A.V2-1 B.V3-1 C.5 D.5 类型十、向量几何意义3：三角换元型 如果向量涉及到圆的定义，则可以利用圆的平方结构型，进行三角代换，通过三角换元后的三角函数求 最值范围。 例10.(2020江苏南通模拟预测)己知a-2=6-e=1,日=1，则向量a·6的最小值为 变式10-1.(21-22高三上浙江开学考试)已知平面向量a,石，c满足d==1,-a-=a-,则 a·c的取值范围为 变式10-2.(21-22高三上广东佛山期末)菱形ABCD中，AB=1,A∈ 点E,F分别是线段AD,CD 上的动点（包括端点），AE=CF,则(AE+CF)AC= ED.EB的最小值为 变式10-3. (22-23高二下.江苏常州月考)已知平面向量a,五，c,对任意实数x,y都有口-xh≥口-b, a-yd≥a-d成立.若a=2,则i(c-a)的最大值是 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型十一、投影向量1：投影向量夹角范围最值 投影向量： a在b上的投影 ab6=x+y业.(） /62 x2+y2 例11.(24-25高一下.河南信阳期末)已知非零向量a,的夹角为锐角，C为五在a方向上的投影向量，且 日=2d-2,设6+c-a与的夹角为0，则cos0的最小值为() A.3 B. 2w3 c.26 D.√10 2 5 变式11-1.(2023·全国模拟预测)已知ABC中，A0=1AB+(1-1)AC,且0为ABC的外心.若BA在 121 BC上的投影向量为μBC,且cos∠AOC∈ 33 则“的取值范围为() A. 「25 3'6 B. [13 c. [45 [13 5'10 3'3 D. 55 变式11-2. (25-26高三上湖北·月考)已知a,五在单位向量ē上投影向量都是4e,且a-=6,则当a与 五夹角最大的时候，ā.b为() A.6 B.5 C.8 D.7 变式11-3.(22-23高一下.山西期末)己知O为ABC的外心，且AO=AB+1-元)AC.若向量BA在向 347 量BC上的投影向量为μBC,其中u∈ 5'5 则cos ZA0C的取值范围为() A. 「13 10'20 B. [137 510 13 「13 C. 20'10 D 55 类型十二、投影向量2： 数量积范围最值 例12.(2023天津.一模)如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC,点E为AB的中点，BA.BC=0, BD.BA=BD,AD=4,若向量CE在向量CB上的投影向量的模为4，设M、N分别为线段CD、AD上的 动点，且：西，不=而，则EB矿的取植范围是() 10/13