专题03 平面向量中的最值与范围5大题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题03 平面向量中的最值与范围 题型一：平面向量模长的最值与范围 题型二：平面向量夹角的最值与范围 题型三：平面向量数量积的最值与范围 题型四：平面向量系数的最值与范围 题型五：平面向量代数式的最值与范围 题型一：平面向量模长的最值与范围 1．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·河北定州中学·开学考)平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 5．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 6．(25-26高三上·云南普洱·期末)已知向量满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．(25-26高三下·河北邯郸魏县第五中学等校·)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 8．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 9．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 10．(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 题型二：平面向量夹角的最值与范围 11．(18-19高三上·上海建平中学·月考)已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．(23-24高一下·陕西咸阳实验中学·月考)已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二上·江西九江第一中学·期中)已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ） A． B． C． D． 15．已知为不共线的单位向量，平面向量满足：，且恒成立，其中为任意实数，则与夹角的最小值为（    ）． A． B． C． D． 16．(22-23高二上·上海交通大学附属中学·)若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(20-21高三上·河南南阳第一中学校·月考)已知向量满足，，且，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高三下·北京海淀区·期中)已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 19．已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为______. 20．设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为________． 题型三：平面向量数量积的最值与范围 21．已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 22．(25-26高三上·河南青桐鸣联考·)已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 23．在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（   ） A．18 B．36 C． D． 24．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 25．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 26．(25-26高三下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·开学考)在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高三上·北京昌平区·期末)已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．(25-26高一·陕西西安长安区第一中学·)在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．(25-26高一·专题8平面几何中的向量方法（讲）·)在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是_____. 30．(25-26高一下·江苏太湖高级中学·)已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 题型四：平面向量系数的最值与范围 31．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 32．(25-26高三上·上海中学·期中)在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．(25-26高二上·河南驻马店·)已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．(25-26高三上·山西太原部分学校·)已知向量，，，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．(25-26高三上·江西（上进联考）·模拟)已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．(24-25高一下·吉林长春慧泽高中·月考)若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．(25-26高三下·上海华东师范大学第二附属中学·月考)如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 40．(25-26高一·江苏苏州第三中学·月考)已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 题型五：平面向量代数式的最值与范围 41．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 43．(24-25高一下·北京朝阳区·期末)青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 44．已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 45．(25-26高三下·宁夏中卫海原县海原县第一中学·模拟)如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 46．(25-26高一·江苏苏州第三中学·月考)已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,， ，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 47．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期中)在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．(25-26高三上·山东实验中学·期中)已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______． 50．(25-26高三上·北京十一学校·月考)如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量中的最值与范围 题型一：平面向量模长的最值与范围 题型二：平面向量夹角的最值与范围 题型三：平面向量数量积的最值与范围 题型四：平面向量系数的最值与范围 题型五：平面向量代数式的最值与范围 题型一：平面向量模长的最值与范围 1．若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由得，，取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以，. 如图，取中点， 所以，， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 2．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量求出，利用求出，最后利用向量的模的计算公式即可. 【详解】因为，在上的投影向量是，所以，则， 则， 因为，所以， 则的最小值为. 故选：A 3．已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最小值为 故选：D 4．(24-25高三上·河北定州中学·开学考)平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 5．已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中设出，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解. 【详解】在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 6．(25-26高三上·云南普洱·期末)已知向量满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用数量积的定义得，根据数量积的运算律可得，进而求出最小值. 【详解】由，得，而，则，， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：C 7．(25-26高三下·河北邯郸魏县第五中学等校·)在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由条件求得，进而求得，设，即得，可得，利用向量数量积的定义，结合余弦函数的有界性推得，即可求得答案. 【详解】， 由，，可得， 代入计算可得. 又由，可得， 设，则，因，则， 于是 ， 因，当且仅当为相反向量时取等， 故， 即的最大值为. 8．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 9．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先确定是圆的直径，再结合向量的运算，以及向量模的三角形不等式，以及向量的位置关系，求最值. 【详解】由圆的性质可知，时，是圆的直径， 所以， 而， 右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时， 左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时， 所以的取值范围是. 10．(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 题型二：平面向量夹角的最值与范围 11．(18-19高三上·上海建平中学·月考)已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及，或，由此即可得解. 【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 12．(23-24高一下·陕西咸阳实验中学·月考)已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程无实根得到其判别式小于零，得到，利用题设条件，化简得，在上借助于余弦函数的图象，解此三角不等式即得. 【详解】因关于的方程无实根，则， 设向量与的夹角为，则， 又，代入整理得：，因，故. 故选：D. 13．已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知，可得， 又由，可得， 则， 即，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以向量与夹角的最大值是. 故选：B. 14．(23-24高二上·江西九江第一中学·期中)已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据平面向量的运算法则求出的夹角，从而建立直角坐标系转化为直线与圆的最值问题. 【详解】因为，所以，又，， 所以， 解得，则向量的夹角为. 建立如图所示的直角坐标系，设，，， 因为，所以，即. 当与圆相切时，，解得； 所以与夹角最小值为. 故选：D. 15．已知为不共线的单位向量，平面向量满足：，且恒成立，其中为任意实数，则与夹角的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律等价变形给定不等式，可得恒成立，进而利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】由，得 ， 依题意，对为任意实数恒成立， 则对为任意实数恒成立， 因此，解得， 而，则， 所以与夹角的最小值为. 故选：B 16．(22-23高二上·上海交通大学附属中学·)若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角. 【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， ，，， ，，三者直接各自的夹角都为锐角， ，，， ，，即在上的投影为1，在上的投影为3， ，，如图 ， 即，且 则， 由基本不等式得， ， 与的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得：与夹角的取值范围是， 故选：C. 17．(20-21高三上·河南南阳第一中学校·月考)已知向量满足，，且，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量数量积的定义：，再由向量夹角的取值范围求解． 【详解】解：设与的夹角， ， ， ， ． 故选：． 18．(24-25高三下·北京海淀区·期中)已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 【答案】 ； . 【分析】根据不等式 ，即可直接求得的最大值；设，将与的夹角余弦值用坐标表达，通过求其值域，即可求得夹角的范围. 【详解】由题可知，，故 ，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为； 不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故， 根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增， 又当时，，当或时，，故，又，故. 故答案为：；. 19．已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先要根据绝对值不等式的性质以及向量三角不等式的关系放缩，再通过向量平方去掉模，最后解三角不等式. 【详解】由，若对任意模为的向量，均有， 由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量， 所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为. ，， 平方得到，即， 则，即，即， 同时，所以， 平方得到，即， 解得，即，， 综上，又因为，即， 向量的夹角的取值范围. 故答案为：. 20．设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用性质，将不等式平方转化为数量积，再由关于t的一元二次不等式有解，利用判别式可得. 【详解】设向量与的夹角为，由，利用平面向量的数量积可得 ，即存在实数，使成立，于是，即，所以，所以向量与的夹角的取值范围． 故答案为： 题型三：平面向量数量积的最值与范围 21．已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，， 所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 22．(25-26高三上·河南青桐鸣联考·)已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C. 23．在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，求得，分别求得以为直径的圆的方程，得到的最大值，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为梯形中，，且， 过点作于点，所以，且， 所以， 设，可得，则， ①当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ②当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ③当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ④当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为, 综上可得，的最大值为. 24．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知中，，，，点，是线段上的动点，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值. 【详解】由于，，， . 如图，作，垂足为D. 由，得. 由题意知, 且. 又. ∴当点均与点A重合时，最大 故. 故选：A 25．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 26．(25-26高三下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·开学考)在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，确定相关点的坐标，设，则可根据向量的坐标运算求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. 27．(25-26高三上·北京昌平区·期末)已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 28．(25-26高一·陕西西安长安区第一中学·)在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 29．(25-26高一·专题8平面几何中的向量方法（讲）·)在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】建立坐标系，设，利用建立关系，再利用向量数量积的坐标表示，结合基本不等式及二次函数的性质求出范围. 【详解】以的中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 由正的边长为1，得，， 由分别在边上，设， 则， 由，得，即（*）， 因， 则， 因此 将（*）代入上式，可得， 因，当且仅当时取等号， 即，解得， 则， 则，故， 所以的取值范围是. 30．(25-26高一下·江苏太湖高级中学·)已知正六边形的边长为在梯形的边上及其内部运动，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】取中点，借助向量运算法则可得，再计算的范围即可得解. 【详解】取中点，中点， ， 由在梯形的边上及其内部运动， 易得， ， 即，故. 题型四：平面向量系数的最值与范围 31．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件并根据平面向量的模以及数量积公式化简可得，利用可得，分别解不等式并取交集即可得出结论. 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 32．(25-26高三上·上海中学·期中)在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出，，根据大小关系可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 33．(25-26高二上·河南驻马店·)已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. 34．(25-26高三上·山西太原部分学校·)已知向量，，，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合给定条件表示出，再结合题意建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 则，因为，所以， 即，解得，故B正确. 故选：B. 35．(25-26高三上·江西（上进联考）·模拟)已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立坐标系，用坐标表示向量，再求出的坐标并计算的值，最后通过换元求出的取值范围即可. 【详解】 ，是两个相互垂直的单位向量，设， ， 又，，，， 又，， ，， ， 令，则， 又，， ， 则，其中， 又在上单调递增， 当时，取最小值，即， 又恒成立，，即. 故选：C. 36．(24-25高一下·吉林长春慧泽高中·月考)若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 37．(24-25高一下·江西宜春丰城中学·期中)如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，是（不含边界）内的动点，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取，的中点，，连接交于，分析可知M在线段（不含端点）上，求出关于的表达式，可得出k的取值范围，即可得解. 【详解】如图，分别取，的中点，，连接交于， ，分别是，的中点，， ，，则在线段（不含端点）上. ，， ，则， 同理，， .即的取值范围为. 故选：D. 38．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围. 【详解】因为向量， 所以. 所以向量夹角的余弦值为： 因为向量的夹角为钝角，所以 解得且（当时），所以实数的取值范围为. 故选：A. 39．(25-26高三下·上海华东师范大学第二附属中学·月考)如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 40．(25-26高一·江苏苏州第三中学·月考)已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】分析可知且与不共线，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为、为互相垂直的单位向量，则，， 因为向量与的夹角为锐角， 则，解得， 且与不共线， 当与共线时，设，则，所以，解得， 故当与不共线，， 因此实数的取值范围是. 题型五：平面向量代数式的最值与范围 41．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 42．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 43．(24-25高一下·北京朝阳区·期末)青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 又，，， 所以，令，则， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：B. 44．已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 45．(25-26高三下·宁夏中卫海原县海原县第一中学·模拟)如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 46．(25-26高一·江苏苏州第三中学·月考)已知中满足：，过点的直线与线段、分别交于,， ，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】将中的分别用表示，由三点共线，得，故，结合基本不等式即可求解. 【详解】如图： 由 ，得, 所以，又三点共线，所以. 所以， 因为，故，当且仅当时， 即时等号成立,所以 47．(25-26高三上·辽宁名校联盟·期中)在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 48．(25-26高三上·山东实验中学·期中)已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 49．设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先由面积公式及正弦定理推出，再结合余弦定理和基本不等式得到，最后将面积比转化为关于a+c的函数，通过放缩求出最大值. 【详解】由，可得， 整理得，即， 由正弦定理可得，即， 又，所以，解得，又所以，， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为， 于是有， 当且仅当时上式取等． 即的最大值为， 故答案为：. 50．(25-26高三上·北京十一学校·月考)如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $