精品解析：辽宁沈阳市2026届高三下学期教学质量监测（二）数学试题

2026年沈阳市高三年级教学质量监测（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 3．请按照题目顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．保持卡面清洁．本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 4. 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 5. 已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为．则下列有关函数及其性质的描述正确的是（ ） A. B. 为函数图象的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. 的虚部是 C. D. 7. 若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线垂直 B. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 12. 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． （1）求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； （2）某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 13. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 14. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：； （3）若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年沈阳市高三年级教学质量监测（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 3．请按照题目顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．保持卡面清洁．本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 故， 2. 若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线设双曲线方程为，再根据点即可求解. 【详解】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 3. 某实验室的5名技术人员需要在夜间通过一座最多只能两人同时通行的临时钢架桥．过桥必须使用唯一的一盏工作灯，无灯不能过桥．过桥后需要有人将灯送回，才能让其他人继续过桥．两人同行时，过桥用时以较慢者为准．5名技术人员单独过桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、8分钟、9分钟．则这5人全部过桥的最短时间为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】用最快的人往返送灯，同时让慢的人结伴过桥以减少总耗时，需要对比两种最优策略的总时间，取最小值. 【详解】策略1：最快的人（1分钟）往返送灯 1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和9分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和8分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 策略2：次快的人（2分钟）配合往返，让最慢的两人结伴过桥， 第一步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第二步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第三步：8分钟和9分钟结伴过桥，耗时分钟，总耗时； 第四步：2分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第五步：1分钟和5分钟过桥，耗时分钟，总耗时； 第六步：1分钟返回送灯，耗时分钟，总耗时； 第七步：1分钟和2分钟过桥，耗时分钟，总耗时. 两种策略对比后，最短时间为分钟. 4. 某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 5. 已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为．则下列有关函数及其性质的描述正确的是（ ） A. B. 为函数图象的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D. 函数的单调递减区间为 【答案】C 【解析】 【分析】根据的性质求出解析式，对于选项A，将求出的的值进行比较即可；对于选项B，可利用正弦函数对称轴求出的对称轴，判断即可；对于选项C，求出平移后的函数表达式判断即可；对于选项D，可利用正弦函数单调递减区间求出的单调递减区间即可. 【详解】由函数的第一个最低点为，可知； 又函数在y轴右侧的第一个零点为 （由题意可知这是减区间的零点），从而，所以，所以； 所以，代得， ，所以， 又，所以，即. 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，令，得，选项B错误； 对于选项C，向右平移， 得，为偶函数，选项C正确； 对于选项D，令， 解得， 即函数的单调递减区间为，选项D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. 的虚部是 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可 【详解】解：， 则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确， 的虚部为1，所以B错误， ，所以C正确， ，所以D错误， 故选：AC 7. 若正四面体的表面积为，则（ ） A. 该正四面体的棱长为1 B. 该正四面体的高为 C. 该正四面体的体积为 D. 该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线与直线垂直 B. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 C. 曲线的切线的倾斜角取值范围是 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围 【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确 对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于， 令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为 切点到的距离为：​，即最小距离为​，B正确 对C，设切线倾斜角为，则 令​，求导得​，时，单调递减； 时，单调递增， 所以在处取最小值，故 而​，因此倾斜角范围不是，C错误 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数值. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为： 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【详解】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，， 代入，得，由可得： ，整理得， 再代入得 ， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得， 为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得. 而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件. 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，. 所以. 所以 . 12. 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． （1）求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； （2）某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】（1） （2）合理，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【小问1详解】 因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 【小问2详解】 测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 13. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，可证得平面，利用线面垂直的性质可证结论； （2）利用体积可得，进而可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 取中点，连接，， 又因为是等边三角形，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1． 即, 解得，即，所以，又， 所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 又 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， . 即平面与平面所成角的余弦值为． 14. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：； （3）若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得：焦点，准线为，. 设，代入抛物线方程可得，即. 设，则. 由题意可得，解得. 所求抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可知，过焦点的直线斜率必定存在. 设过焦点的直线方程为，，. 令，可得. 将直线方程代入抛物线消可得. 由韦达定理可得，. 由抛物线定义可知. 由相似三角形可知： . 所以. 【小问3详解】 设的中点为，，. 则，. 由，可得，则. 所以弦长. 由题意可知直线的斜率存在且. 所以直线的直线方程为，即. 则点到直线的距离. 所以所求面积. 令，则. 所以，令，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，. 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $