第28讲 相似三角形及其应用（复习讲义，3考点15题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第28讲 相似三角形及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 相似三角形的判定 题型01利用平行判定三角形相似 题型02利用两角相等判定相似 题型03利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型04 利用三边对应成比例判定相似 题型05 选择或补充条件让三角形相似 题型06 利用相似三角形的综合判定求解 命题点二 相似三角形的性质 题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 题型02 利用相似三角形的性质求周长 题型03 利用相似三角形的性质求面积 题型04 利用相似三角形的性质求角度 题型05 利用相似三角的性质求坐标 题型06 相似三角形的性质与判定综合求解 命题点三 相似三角形的实际应用 题型01 形似三角形实际应用之测高类题型 题型02 形似三角形实际应用之测距类题型 题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 05·重难突破·思维进阶难 64 突破一 相似三角形的性质与判定解答题 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 突破三 相似三角形与函数的综合 06·优题精选·练能提分 88 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 相似三角形的有关概念 / / 理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的对应顶点、对应边、对应角的表示方法，理解相似比的含义。 相似三角形的判断与性质 长沙市卷 T25 湖南省卷 T10 湖南省卷T24T26 长沙市卷 T10 T24 湖南省卷 T9 掌握相似三角形的判定方法（AA、SAS、SSS），掌握相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。 相似三角形的实际应用 / / 能运用相似三角形解决实际问题（如测量高度、距离、宽度等），能建立相似三角形模型，能进行相关计算。 命题预测 1. 相似三角形的判定高频考查（解答题，6-10分） AA判定：两个角分别相等，最常用;SAS判定：两边成比例且夹角相等;SSS判定：三边成比例;与全等结合：全等是相似比为1的特殊情况 2. 相似三角形的性质必考（填空题/解答题，6-10分） 对应边成比例：求线段长度;面积比等于相似比的平方：求面积或面积比;周长比等于相似比：求周长;对应高、中线、角平分线比等于相似比 3. 相似三角形实际应用为热点（解答题，8-12分） 测量高度：利用太阳光、标杆、镜子等;测量距离：河宽、楼间距等;工程测量：建筑物高度、隧道长度等 4. 相似与几何动点综合（压轴题，10-15分） 动点相似：运动过程中相似三角形存在性问题;函数关系：建立相似比与动点坐标的函数关系;最值问题：在相似条件下求线段或面积的最值 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记判定方法：AA、SAS、SSS、HL;牢记性质公式：对应边成比例、面积比=k²、周长比=k; 识别常见模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇平行线 → 构造A字型或8字型相似;遇中点 → 考虑中位线或倍长中线;遇垂直 → 考虑母子相似（射影定理）;模型识别训练：通过大量练习培养对相似模型的敏感度;方程思想：设未知数列比例方程求解 4. 重点突破题型 ① 相似三角形判定与性质证明（A字型、8字型）② 利用相似测高（太阳光、标杆、镜子）③ 相似与面积比综合（求面积、面积比）④ 动点相似存在性问题⑤ 相似与函数结合建立解析式 考点一 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第27讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 提示：三角形内角和 180°，两个角相等 ⇒第三个角一定相等。 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 1.（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 2.（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定的判定方法即可得出答案，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； 、对应边不成比例，不能判定，故选项符合题意． 故选：． 3.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A、∵，∴，∴，不能判定，该选项符合题意； B、，能判定，该选项不符合题意； C、，能判定，该选项不符合题意； D、，能判定，该选项不符合题意． 故选：A． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 考点二 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　）      A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，解题关键是根据线段的比值得出相应面积的比值，根据点、分别是中、边的中点，得出与的比值，再根据三角形的面积比即可得出结论． 【详解】解：点、分别是中、边的中点， ， ， ， ， ， 四边形的面积． 故选：C ． 2.（2025·湖南长沙·三模）在平行四边形中，E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． 根据为平行四边形，可推导出，，继而得，再由即可解答 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ． 故选D． 3.（2025·湖南邵阳·三模）如图，四边形为矩形，点E是矩形的边上的一点，连接，以为边作正方形，顶点F恰好落在边上（与点B，C不重合）．若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，，可得，，，设，而，可得，再解方程并进一步解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，，， 设，而， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 故选：D 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 考点三 相似三角形的实际应用 一、初中常考的4类实际应用 ①测高：树、旗杆、楼房、路灯高度 ②测距：河宽、两岸距离、障碍物距离 ③影子问题：太阳光(平行光)、灯光(中心投影) ④反射问题：镜子反射、光线反射 二、通用解题步骤(万能思路) 第一步：画图! 把文字变成几何图形 标出：已知长度、要求长度、直角、平行、相等角 第二步：找相似三角形 找相似的3个常用线索： ①有平行(太阳光线平行、人和旗杆平行) ②有直角(垂直地面) ③有相等角(反射角=入射角、对顶角、公共角) 只要找到两个角相等，基本就是AA相似。 第三步：写出相似三角形 1.（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 2.（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 利用平行判定三角形相似 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由中点定义可得，由作图过程可得，可得，从而证明． 【详解】解：∵中，P是边的中点， ∴． 由作图过程可得，， ∵， ∴， ， 故选：D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，，若，，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，得，即，再证明，故，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 与分别以为底，它们的高相等 则， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角的判定和性质，求正切值等知识，先推导④再推导③是解题的关键．推导得到，从而得到，从而判定①，设，则，证明得到，继而求出，再用正切的定义得到，从而判断②，过点F作于点G，则，利用，求出和，从而求出，从而判断④，再根据④正确得到，再用余角的性质和等量代换得到，从而判断③． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴ 又∵E是中点， ∴，故①正确； 设，则 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴(舍去负值)， ∴，故②错误； ∵， ∴， 过点F作于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴故③正确， 故选：D． ►题型02 利用两角相等判定相似 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，可知，由此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 【变式3】（2025九年级上·湖南常德·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴． ►题型03 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德石门·月考）如图，在中，，，垂足分别为D、E，与相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，从而得到，然后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）由、可得，再由相似三角形的对应边成比例可得，再结合即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2025·湖南怀化·四校联考）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． ►题型04 利用三边对应成比例判定相似 解题4步模板(必背) 1.利用勾股定理，分别算出两个三角形每条边的长度(带根号)。 2.把三边按“短、中、长”排序。 3.求三组比值，看是否相等。 若比值都相等→三边成比例→三角形相似。 4.下结论： ∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似) 【典例】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南武冈·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ►题型05 选择或补充条件让三角形相似 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 【变式1】（2025·湖南·模拟）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)或或，证明过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2）解：添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． ►题型06 利用相似三角形的综合判定求解 【典例】（2025九年级上·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·开学考试）在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质以及勾股定理．点、落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积，证，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， 点在反比例函数上，点在上， ，， 又，， ，， ， ， ， 设，则，， 在中， 故选：． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，连接，过点C作交于点F，交于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当G为中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线等知识，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键． (1)由可证，可得，，由平行线的性质可得，可得，且，可证四边形是菱形； (2)证明是的中位线，得，根据菱形的性质证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ，且，， ∴， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）为中点，， 为中点， 是的中位线， ， 由（1）知：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 【变式3】（2025·湖南郴州·模拟）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时． （1）求证： （2）求AD的长； （3）求的值．      【答案】（1）见解析；（2）12；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论； （2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案； （3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形 所以 ， (2)解： (3)解：在直角三角形ADG中， 由折叠对称性知， 解得：x=6， 所以：HF=6 在直角三角形GHF中， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键． 连接，得出平分，垂直平分，得出相等的边和角，证明，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（2025九年级上·湖南衡阳·期末）如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（  ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2∶3， ∴它们对应高线的比为2∶3， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南·月考）《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何？”（注：“勾”“股”为直角三角形的两条直角边）．如图，中，，，，内接正方形（在上，在上，在上），则正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明，然后利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴正方形的边长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． ►题型02 利用相似三角形的性质求周长 【典例】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若，，的周长为，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比的性质求解． 【详解】解：设的周长为， ，， ， 解得：， 故答案为：12． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． ►题型03 利用相似三角形的性质求面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 根据，得，再根据相似三角形的性质得，则，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【答案】C 【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，理解“同高的两个三角形，面积比等于底的比”是解题关键． 先由同高三角形面积比得，通过平行线证明，利用相似性质得，再通过平行线证明，最后由面积比等于相似比的平方求出结果． 【详解】解：与的高相同，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． ►题型04 利用相似三角形的性质求角度 【典例】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质，由等腰直角三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出，由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】 【变式3】 ►题型05 利用相似三角的性质求坐标 【典例】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，交轴于点，作直线．当点在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点，若，则点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握待定系数法． 令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出的表达式；作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】解：令，解方程得 或， ∴点B的坐标为； 令，则， ∴点C的坐标为； 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为； 作轴，垂足为，交直线于点， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴点的坐标为； 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键． 先求出两个三角形的相似比，再根据点的坐标计算即可； 【详解】和是以点为位似中心的位似图形， ， 和的周长之比为， 和的相似比为， 点的坐标为， 的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 在第四象限， 点的坐标为． 故选． 【变式2】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. ►题型06 相似三角形的性质与判定综合求解 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，E是菱形的边上的一点，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】对于本题，重点掌握相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本图形---“共边相似”． （1）证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）如图， 在平行四边形中， 对角线与相交于点O， ，过点B作交于点 E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先证明四边形是菱形，根据菱形的性质得，再根据同角的余角相等得，即可证明； （2）先由勾股定理求得，再由，根据相似三角形的性质列比例式代值求解即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是菱形， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 【变式2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形相似是解题的关键． 先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】理由如下：， ， 即， ， ， ，， ∵ ∴ ，， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·期末）如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)如图2，如果，且，求的值． (3)如果是锐角，且与相似，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线相关计算，三角形内角和，三角形相似的判定和性质； （1）根据角平分线的性质，三角形内角和，计算即可； （2）延长 交 于点 ．证，根据相似的性质计算即可； （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ，， ， ，即 ． （2）延长 交 于点 ． ， ， 平分 ， ，，， ， ， ， ，， ． （3）解：与相似， ， 中必有一个内角为 ． 是锐角， ． ①当 时， ， 与相似， ， ， ． ② 当 时， ， ， 与相似 ， ． 综上所述， 或 ． 命题点三 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形实际应用之测高类题型 万能解题步骤(所有测高题通用) 1.找两个直角：人、树、旗杆、楼房都垂直地面，都有90°。 2.找第二组相等的角 ①太阳光：光线平行→同位角相等 ②镜子：入射角=反射角 ③灯光：公共角 3.证相似：AA 4.列比例式： 5.代入解方程 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为_________米． 【答案】17.6// 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 如图，过F作于Q，交于H，可得，证明，可得，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过F作于Q，交于H，则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． ►题型02 相似三角形实际应用之测距类题型 万能解题步骤(所有测距通用) 1.在岸边构造直角：人、标杆垂直地面→两个直角相等 2.找对顶角/相等角视线交叉形成对顶角相等 3.证明两个三角形相似(AA) 4.列比例式： 5.解方程求河宽 【典例】（2025·湖南张家界·一模）《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 【答案】(1)不可以，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，，证明，根据相似三角形的性质求出，判断即可； （2）连接，则，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：青蛙不可以看见雁群的“领头雁”，理由如下： 如图1，连接，， 由题意可知：点O在线段上，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴此时青蛙不可以看见雁群的“领头雁”； （2）如图2，假设雁群沿直线飞行一段时间后，尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界点F处， 连接，则， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴此时雁群队伍的长度为． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为________米． 【答案】50 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵米， ∴米． 故答案为∶50． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1． 【变式3】（2024·湖南益阳·二模）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小． 该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案. 甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点M，N，测得；③ 测得． 乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点E，F，测得；③ 测得． (1)分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来） 【答案】(1)甲、乙两名同学的测量方案均可行，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （2）测量过程：在水塘外选点，用测角仪在点处测得，在点A处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【详解】（1）解：甲同学的测量方案可行，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， 甲同学的测量方案可行； 乙同学的测量方案可行，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， 乙同学的测量方案可行； （2）测量过程： （ⅰ）在水塘外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点A处测得；    （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故水塘的最大宽度为． ►题型03 相似三角形实际应用之跨学科题型 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 【答案】20 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ， 设带“小孔”的纸板距离光屏距离为x， 则， 解得， 即带“小孔”的纸板距离光屏． 故答案为：20． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 【答案】任务1：；任务2：祁阳文昌塔的高度为36米 【分析】本题考查相似三角形实际应用，相似三角形的性质和判定； （1）由题意得，进而得到，即可求出； （2）设祁阳文昌塔的高度米，由题意易证明，，得到，，得到，，利用建立方程求解即可. 【详解】解：任务1 ∵观测者在点处刚好能看到树的顶部， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴. 任务2 设祁阳文昌塔的高度米， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵ 又∵米 ∴米 ∴米 ∴，解得：. 故祁阳文昌塔的高度为36米. 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 【典例】如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得出，根据直角三角形的性质以及等量代换求出，从而得出，即可得证； （2）根据垂径定理以及圆周角定理得出，证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）． 【变式1】平行线是研究三角形相似的基本工具． (1)【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） (2)【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． (3)【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）作，与交于点E，点E即为所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， （3）解：①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间的距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】在中，，点是线段上一点，过，，三点的交边于点，连接，，，，交于点，平分． (1)求证：； (2)若，求； (3)若，，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得出是的直径，根据平分，得出，进而根据半径相等可得，根据，等量代换得出，即可得证； （2）根据已知得出，设，则，证明，得出，即可求解； （3）根据已知得出，设，则，根据（2）得出，同理得出，进而表示出，根据相似三角形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴是的直径， ∵平分． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ （3）解：∵， ∴ 设，则， ∴， 同（2）可得， ∴即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3】一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合正方形性质证明，进而即可证明； （2）结合菱形性质证明即可； （3）结合矩形性质证明，进而即可推出与满足的数量关系． 【详解】（1）解：能得到，证明如下： 四边形，为正方形， ， ， ， ； （2）解： 满足，理由如下： 四边形，为菱形， ， ， ，即 ， ； （3）解：四边形，为矩形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、菱形性质、矩形性质、全等三角形性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】如图1，为半圆O的直径，为半圆上的动点，连接，点A关于的对称点为点D，连接． (1)若，连接，求的度数； (2)如图2，若点E在半圆O上，的长度为，连接为中点，连接交于点为上一点，． ①当时，判断点Q与直线的位置关系，并说明理由； ②如图3，连接，在点C运动过程中，当时，记，求的值． 【答案】(1) (2)①点Q在直线外，见解析；② 【分析】（1）连接，由轴对称的性质可得，则点D在半圆O上，则由，再由圆周角定理即可得到答案； （2）①连接，如图所示，同理可证明点D在半圆O上，则，由弧长公式可得，可证明，设与交于点P，解直角三角形可得，由，可得点Q在直线外； ②连接，则，由三线合一定理得到，则，可推出；设交于点N，证明，求出，得到，设，则，可得，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 为半圆O的直径，点A关于对称点为点， ， 点D在半圆O上， ， ； （2）解：①点Q在直线外，理由如下： 连接，如图所示， 为直径，点A关于对称点为点D， ， 点D在半圆O上， ， 又∵， ， 的长度为，半圆O的直径， ∴， ， ∴， ， ， 设与交于点P，直角三角形中，， ， 又∵Q在上，， 点Q在直线外； ②连接，如图所示， 则， 为中点， ， ， ， ， ∴； 设交于点N， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 直角三角形中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，求弧长，圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 【变式3】如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣ 【答案】A 【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】作点F作FG⊥BC于G， ∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°； ∴∠BDE＝∠FEG， 在△DBE与△EGF中， ， ∴△DBE≌△EGF（AAS）， ∴EG＝DB，FG＝BE＝x， ∴EG＝DB＝2BE＝2x， ∴GC＝y﹣3x， ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△FGC∽△ABC， ∴CG：BC＝FG：AB， 即＝， ∴y＝﹣． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 突破三 相似三角形与函数的综合 【典例】如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【变式1】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 【变式2】如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为；或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 1.（25-26九年级上·湖南·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个相似三角形对应中线的比是，则它们的面积比是 B．对于反比例函数，函数值随的增大而增大 C．二次函数的顶点坐标是 D．是最简二次根式 【答案】A 【分析】本题考查了命题，判断每个选项的真假：A利用相似三角形的性质；B考虑反比例函数的单调性；C根据二次函数顶点式判断顶点坐标；D检查最简二次根式的定义． 【详解】A、 相似三角形的对应中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应中线的比是，则它们的面积比是，故选项为真命题，符合题意； B、反比例函数，在各自象限内随增大而增大，但整体定义域上不单调，故选项为假命题，不符合题意； C、二次函数的顶点坐标为，故选项为假命题，不符合题意； D、，不是最简二次根式，故选项为假命题，不符合题意． 故选：A． 2.（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则，可判断A选项；由得到，可判断C选项；证明，利用相似三角形的性质可判断B、D选项，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴；故B选项结论错误，符合题意； ∵， ∴，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 3.（2025·湖南株洲·一模）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板， ∴这两个三角形相似， ∵它们的斜边之比为， ∴它们的面积之比为， 故选：C． 4.（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，点在AB边上，若，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 5.（2025·湖南郴州·模拟）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 6.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意； B、根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意； C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：， 故C不符合题意； D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意． 故选：D． 7.（25-26九年级上·湖南郴州·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 8.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，审清题意、正确构建相似三角形成为解题的关键． 如图：作于H，交EF于P，则，，证明，然后利用相似比计算出即可． 【详解】解：如图：作于H，交EF于P，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：铁塔的高度为． 9.（2025九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长． 【详解】解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 10.（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 11.（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ． ， ； （2）证明：如图，连接， ∵，， ， ， ， ， ∴， ． 12.（2025九年级上·湖南长沙·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 13.（2026·湖南株洲·一模）如图1，在矩形中，，，点E在上，且，垂足为点P． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，将沿翻折，点C的对应点为点，连接，交于点F，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得，结合，证明即可． （2）根据，得到，求得，， 根据，得到，列出比例式求解即可； （3）过点作于点Q，求得，，， 根据，解得；根据，得， 求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． （2）解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：过点作于点Q， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 14.（2026·湖南·一模）中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）． 例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”． (1)请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）： ①梯形；（    ） ②六边形；（    ） ③双曲线（    ） (2)由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，（点在点的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点． ①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标； ②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)①点的坐标为或或；②的最大值为，点的坐标为或 【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，结合“骐骥图形”的定义，即可分析，得出答案； ②结合“骐骥图形”的定义和六边形的性质，即可得出答案； ③结合“骐骥图形”的定义和双曲线的函数图象的对称性，即可得出答案； （2）①结合抛物线的性质和“骐骥图形”的定义可得抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，结合（1）结论可得的“驰骋轴”为的中线，根据的三条中线，分类讨论即可求解； ②过点作交于点，构建，根据勾股定理和三角形的面积求出，根据相似三角形的判定和性质求出，结合正切的定义得出，根据二次根式的化简和完全平方公式求出当时，的值最小，即可求出的最大值． 【详解】（1）①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图： 即，，，是的中线． ∵，， ∴，，，， ∴，，，， 故，， ∴点是的中点，点是的中点， 故点、在的中线上， 同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”． 故梯形是“骐骥图形”． ②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图： 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 但、、三点不共线， 故六边形不是“骐骥图形”． ③∵双曲线的函数图象是轴对称图形， 故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”， 故双曲线的函数图象是“骐骥图形”． （2）①对于抛物线，， 当时，， 解得，，； 即抛物线与x轴的交点为，． 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的函数图象是轴对称图形， 故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”， ∴“驰骋轴”与轴交于点． 设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线， 故分别取、、的中点、、，连接、、，如图： 则是的中位线，， 故点在轴上，点的横坐标是． 当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上， 将代入直线，得， 解得， 故所在直线的解析式为， 将代入，得，即点的坐标为； ∵点是的中点， 故， ∴， ∴点的坐标为． 当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上， 将代入直线，得， 解得， 故所在直线的解析式为， 将代入，得，即点的坐标为； ∵点是的中点， 故， ∴， ∴点的坐标为． 当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上， 将代入直线，得， 解得， 故所在直线的解析式为， 将代入，得，即点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． ②过点作交于点，如图： 设点的坐标为， 当时，、、三点共线，故该情况不存在； 当时，在中，， 在中，， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴． 在中，， 即当取最小值时，的值最大； ∵，且， 当时，， 即时，的值最小，最小值为， 此时的值最大，的最大值为． 所以的最大值为，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，属于综合的压轴题．在第二问中，根据完全平方公式和二次根式的性质求出的最小值是是解题的关键． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 3.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 4.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 5.（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 6.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 7.（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理得出，求出，，同理可得，…，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，于点，． ∴， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点． ∴， ∴， ∵以点为圆心．的长为半径画弧．交于点， ∴， ∵过点作，交于点； ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点， ∴， ∴， ∵以的长为半径画弧，交于点， ∴， ∵过点作，交于点； ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得：，…， ∴的长为， 故答案为：． 8.（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 9.（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 10.（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，这两个交点之间的距离为 【分析】（1）理解题意，分别把代入，进行计算，即可作答． （2）先得，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线解析式为，求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，分别把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； （3）解：存在，过程如下： 由（2）得， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第28讲 相似三角形及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 相似三角形的判定 题型01利用平行判定三角形相似 题型02利用两角相等判定相似 题型03利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型04 利用三边对应成比例判定相似 题型05 选择或补充条件让三角形相似 题型06 利用相似三角形的综合判定求解 命题点二 相似三角形的性质 题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 题型02 利用相似三角形的性质求周长 题型03 利用相似三角形的性质求面积 题型04 利用相似三角形的性质求角度 题型05 利用相似三角的性质求坐标 题型06 相似三角形的性质与判定综合求解 命题点三 相似三角形的实际应用 题型01 形似三角形实际应用之测高类题型 题型02 形似三角形实际应用之测距类题型 题型03 形似三角形实际应用之跨学科题型 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一 相似三角形的性质与判定解答题 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 突破三 相似三角形与函数的综合 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 相似三角形的有关概念 / / 理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的对应顶点、对应边、对应角的表示方法，理解相似比的含义。 相似三角形的判断与性质 长沙市卷 T25 湖南省卷 T10 湖南省卷T24T26 长沙市卷 T10 T24 湖南省卷 T9 掌握相似三角形的判定方法（AA、SAS、SSS），掌握相似三角形的性质（对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）。 相似三角形的实际应用 / / 能运用相似三角形解决实际问题（如测量高度、距离、宽度等），能建立相似三角形模型，能进行相关计算。 命题预测 1. 相似三角形的判定高频考查（解答题，6-10分） AA判定：两个角分别相等，最常用;SAS判定：两边成比例且夹角相等;SSS判定：三边成比例;与全等结合：全等是相似比为1的特殊情况 2. 相似三角形的性质必考（填空题/解答题，6-10分） 对应边成比例：求线段长度;面积比等于相似比的平方：求面积或面积比;周长比等于相似比：求周长;对应高、中线、角平分线比等于相似比 3. 相似三角形实际应用为热点（解答题，8-12分） 测量高度：利用太阳光、标杆、镜子等;测量距离：河宽、楼间距等;工程测量：建筑物高度、隧道长度等 4. 相似与几何动点综合（压轴题，10-15分） 动点相似：运动过程中相似三角形存在性问题;函数关系：建立相似比与动点坐标的函数关系;最值问题：在相似条件下求线段或面积的最值 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记判定方法：AA、SAS、SSS、HL;牢记性质公式：对应边成比例、面积比=k²、周长比=k; 识别常见模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇平行线 → 构造A字型或8字型相似;遇中点 → 考虑中位线或倍长中线;遇垂直 → 考虑母子相似（射影定理）;模型识别训练：通过大量练习培养对相似模型的敏感度;方程思想：设未知数列比例方程求解 4. 重点突破题型 ① 相似三角形判定与性质证明（A字型、8字型）② 利用相似测高（太阳光、标杆、镜子）③ 相似与面积比综合（求面积、面积比）④ 动点相似存在性问题⑤ 相似与函数结合建立解析式 考点一 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第27讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 1.（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，D、E分别在的边上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 考点二 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　）      A．7 B．8 C．9 D．10 2.（2025·湖南长沙·三模）在平行四边形中，E在上，若，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南邵阳·三模）如图，四边形为矩形，点E是矩形的边上的一点，连接，以为边作正方形，顶点F恰好落在边上（与点B，C不重合）．若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 考点三 相似三角形的实际应用 一、初中常考的4类实际应用 ①测高：树、旗杆、楼房、路灯高度 ②测距：河宽、两岸距离、障碍物距离 ③影子问题：太阳光(平行光)、灯光(中心投影) ④反射问题：镜子反射、光线反射 二、通用解题步骤(万能思路) 第一步：画图! 把文字变成几何图形 标出：已知长度、要求长度、直角、平行、相等角 第二步：找相似三角形 找相似的3个常用线索： ①有平行(太阳光线平行、人和旗杆平行) ②有直角(垂直地面) ③有相等角(反射角=入射角、对顶角、公共角) 只要找到两个角相等，基本就是AA相似。 第三步：写出相似三角形 1.（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 利用平行判定三角形相似 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，P是边的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交、于点D、E；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线，交线段于点Q．则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，，若，，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．18 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有(  ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④ ►题型02 利用两角相等判定相似 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形中，平分，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【变式3】（2025九年级上·湖南常德·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． ►题型03 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·湖南常德石门·月考）如图，在中，，，垂足分别为D、E，与相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【变式2】（2025·湖南怀化·四校联考）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 (1)求证： (2)当时，求的长 ►题型04 利用三边对应成比例判定相似 解题4步模板(必背) 1.利用勾股定理，分别算出两个三角形每条边的长度(带根号)。 2.把三边按“短、中、长”排序。 3.求三组比值，看是否相等。 若比值都相等→三边成比例→三角形相似。 4.下结论： ∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似) 【典例】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【变式2】（25-26九年级上·湖南武冈·期中）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． ►题型05 选择或补充条件让三角形相似 【典例】（2025·湖南·模拟）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（2025·湖南·模拟）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． ►题型06 利用相似三角形的综合判定求解 【典例】（2025九年级上·湖南娄底·期末）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·开学考试）在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，连接，过点C作交于点F，交于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当G为中点时，求的值． 【变式3】（2025·湖南郴州·模拟）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时． （1）求证： （2）求AD的长； （3）求的值．      命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 利用相似三角形的性质求线段或相似比 【典例】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【变式1】（2025九年级上·湖南衡阳·期末）如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（  ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27 【变式2】（25-26九年级上·湖南·月考）《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何？”（注：“勾”“股”为直角三角形的两条直角边）．如图，中，，，，内接正方形（在上，在上，在上），则正方形的边长为_____． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． ►题型02 利用相似三角形的性质求周长 【典例】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若，，的周长为，则的周长为_____． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． ►题型03 利用相似三角形的性质求面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图在中，、分别是边，上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． ►题型04 利用相似三角形的性质求角度 【典例】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 【变式3】 ►题型05 利用相似三角的性质求坐标 【典例】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，交轴于点，作直线．当点在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点，若，则点坐标为________． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ ►题型06 相似三角形的性质与判定综合求解 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，E是菱形的边上的一点，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·湖南·月考）如图， 在平行四边形中， 对角线与相交于点O， ，过点B作交于点 E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·期末）如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：． (2)如图2，如果，且，求的值． (3)如果是锐角，且与相似，求的度数． 命题点三 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形实际应用之测高类题型 万能解题步骤(所有测高题通用) 1.找两个直角：人、树、旗杆、楼房都垂直地面，都有90°。 2.找第二组相等的角 ①太阳光：光线平行→同位角相等 ②镜子：入射角=反射角 ③灯光：公共角 3.证相似：AA 4.列比例式： 5.代入解方程 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为_________米． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． ►题型02 相似三角形实际应用之测距类题型 万能解题步骤(所有测距通用) 1.在岸边构造直角：人、标杆垂直地面→两个直角相等 2.找对顶角/相等角视线交叉形成对顶角相等 3.证明两个三角形相似(AA) 4.列比例式： 5.解方程求河宽 【典例】（2025·湖南张家界·一模）《坐井观天》是大家熟知的寓言故事，“坐井观天”这个成语出自唐代韩愈《原道》：“坐井而观天，曰天小者，非天小也．”通过青蛙和一只小鸟的对话可知青蛙看到的“天”只有如井口一般大小，其原因是光是直线传播的．假设在《坐井观天》故事中的青蛙所在的井是圆柱形（如图），长为，井深为．某天青蛙蹲坐在井底的圆心位置抬头向上望去，雁群离地面的垂直高度约为，雁群的“领头雁”在直线PQ上的投影到井口中心的距离约为． (1)此时青蛙是否可以看见雁群的“领头雁”？请说明理由． (2)当雁群沿直线飞行一段时间后，“领头雁”刚好到达青蛙的左边视线边界，此时尾雁刚好到达青蛙的右边视线边界离井口正中心的水平距离约为，求此时雁群队伍的长度． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为________米． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【变式3】（2024·湖南益阳·二模）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小． 该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案. 甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点M，N，测得；③ 测得． 乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点E，F，测得；③ 测得． (1)分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由； (2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来） ►题型03 相似三角形实际应用之跨学科题型 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏________． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 突破一 相似三角形的性质与判定解答题压轴 【典例】如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】平行线是研究三角形相似的基本工具． (1)【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） (2)【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． (3)【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 【变式2】在中，，点是线段上一点，过，，三点的交边于点，连接，，，，交于点，平分． (1)求证：； (2)若，求； (3)若，，求与之间的函数关系式． 【变式3】一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 突破二 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】如图1，为半圆O的直径，为半圆上的动点，连接，点A关于的对称点为点D，连接． (1)若，连接，求的度数； (2)如图2，若点E在半圆O上，的长度为，连接为中点，连接交于点为上一点，． ①当时，判断点Q与直线的位置关系，并说明理由； ②如图3，连接，在点C运动过程中，当时，记，求的值． 【变式1】如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【变式2】如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式3】如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣ 突破三 相似三角形与函数的综合 【典例】如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【变式1】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1.（25-26九年级上·湖南·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个相似三角形对应中线的比是，则它们的面积比是 B．对于反比例函数，函数值随的增大而增大 C．二次函数的顶点坐标是 D．是最简二次根式 2.（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，E为上一点，，与交于点F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南株洲·一模）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（   ） A． B． C． D．4 4.（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，点在AB边上，若，且，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 5.（2025·湖南郴州·模拟）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26九年级上·湖南郴州·月考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 9.（2025九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 10.（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，四边形是某校一块学农基地，其中是蔬菜园，是水果园，已知． (1)求证：： (2)若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 11.（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 12.（2025九年级上·湖南长沙·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 13.（2026·湖南株洲·一模）如图1，在矩形中，，，点E在上，且，垂足为点P． (1)求证：； (2)求的长； (3)如图2，将沿翻折，点C的对应点为点，连接，交于点F，求的面积． 14.（2026·湖南·一模）中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）． 例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”． (1)请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）： ①梯形；（    ） ②六边形；（    ） ③双曲线（    ） (2)由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，（点在点的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点． ①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标； ②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 3.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 4.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 5.（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 7.（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，，于点，．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．以点为圆心．的长为半径画弧．交于点，过点作，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以的长为半径画弧，交于点，过点作，交于点；又以点为圆心……重复以上操作．则的长为___________． 8.（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 9.（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 10.（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $