第02讲 整式与因式分解（复习讲义，5考点15题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖代数式、整式概念、运算、因式分解及求值等中考核心考点，按命题点分题型构建知识网络，通过考情剖析、考点解析、真题训练等环节梳理方法，帮助学生突破运算规律与公式应用难点，体现复习的系统性与针对性。 特色在于融合新课标核心素养，如结合“机械手效率”情境列代数式培养抽象能力，用几何图形验证乘法公式发展几何直观，设“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习。重难突破中规律题与新定义问题训练创新意识，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 代数式 题型01列代数式 题型02代数式的实际意义 命题点二 整式的概念（单项式、多项式、整式） 题型01 判断单项式的系数、次数 题型02与单项式、多项式有关的规律题 题型03 判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 题型01 (合并)同类项 题型02 添（去）括号 题型03 整式的加减 题型04 幂的运算与幂的逆向运算 题型05 整式的乘法与除法 题型06 整式的乘法公式 命题点四 因式分解 题型01 判断因式分解 题型02 选用合适的方法因式分解 命题点五 整式求值 题型01 整式的整体代入法求值 题型02 整式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 与代数式有关的规律题 突破二 乘法公式的应用与几何背景 突破三 与代数式有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 列代数式 长沙卷T6 / 能用代数式表示实际问题中的数量关系，理解字母表示数的意义。 代数式求值 湖南省卷T20 长沙卷T18 能进行代数式的求值，理解代入法的意义。 整式的加减 长沙卷T4 长沙卷T4 掌握合并同类项法则，能进行整式的加减运算。 幂的运算 湖南省卷T4 长沙卷T4 理解幂的运算法则，能进行幂的乘方、同底数幂乘除等运算。 整式的乘法 湖南省卷T20 长沙卷T18 掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，能运用乘法公式简化运算。。 整式的混合运算 湖南省卷T20 长沙卷T18 能进行整式的混合运算，包括加减乘除及乘法公式的综合运用。 因式分解 湖南省卷T13 / 掌握提公因式法、公式法等基本因式分解方法，能进行简单多项式的因式分解。 命题预测 以选择题、填空题和解答题中的化简求值题为主，常与实际问题结合考查建模能力。列代数式：常结合生活情境（如机械手效率、物理模型）考查建模能力。代数式求值：多出现在解答题中，与整式运算、乘法公式结合。幂的运算与整式加减：常以选择题形式出现，考查基本运算法则的掌握。整式乘法与混合运算：重点考查乘法公式（平方差、完全平方）的应用与综合运算能力。因式分解：虽出现频率较低，但需掌握基本方法，可能作为小题或综合题的一部分出现。 备考建议：熟练掌握整式运算法则和乘法公式，注重计算过程的规范性。加强代数建模能力的训练，能将实际问题转化为代数表达式。强化综合题的训练，如化简求值、代数推理等，提升综合运用能力。 考点一 代数式的概念 1.代数式的概念：把数和表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式. 【补充】(1)代数式中不含有=、<、>、≠等.(2)单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 3. 列代数式的书写要求： ①数与字母（括号）相乘时，乘号可省略不写，数应写在字母（括号）的前面，带分数应化为假分数，但数与数相乘必须写乘号； ②字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写； ③除法运算一般写成分数形式； ④代数式后带有单位，且是和或差形式，必须加括号。 4.代数式的意义 1.(2025·湖南省长沙市·中考真题)智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南怀化·三模）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3.（2025·湖南·模拟预测）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设七张桌子中每张桌面的宽为a（单位：尺），则一套组合桌的面积（单位：平方尺）为（   ） A． B． C． D． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 【单项式补充】 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-3x的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 【多项式补充】 1.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 2. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 3. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 1.（2025·湖南株洲·模拟）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形的其中一个内角是 D．单项式的次数是4 2．（2025·湖南永州·二模）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．矩形的对角线互相平分且相等 C．正边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．25的平方根是5 考点三 整式的运算 1.整式的加减 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 5.乘法公式 乘法公式 基础 变形 平方差公式 1.已知，和中的两项求另一项的值： ①或 ② 2.已知、和中的两项求另一项的值： ①② ③④ 3.特殊结构： ①② ③④ 4.拓展① ② 完全平方公式 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 【平方差公式补充】平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【完全平方公式补充】完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）。 1.(2025·湖南省长沙市·中考真题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.(2024·湖南省长沙市·中考真题)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(2024·湖南省卷·中考真题)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点四 因式分解 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法：①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 【补充】 1.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式②若，则必有因式 2.分组分解法： 3.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 1.(2025·湖南省卷·中考真题)因式分解： ． 2.(2025·湖南省长沙市·中考真题)分解因式： ． 3.（2025·湖南邵阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 考点五 整式求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 1．(2024·湖南省卷·中考真题)先化简，再求值：，其中． 2.(2024·湖南省长沙市·中考真题)先化简，再求值：，其中． 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）若代数式的值为3，则代数式的值为 ． 命题点一 代数式 ►题型01 列代数式 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【典例】（2025·湖南长沙·中考冲刺卷）一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【变式1-1-1】（2025·湖南郴州·模拟）若m千克的某种糖果售价为n元，则8千克的这种糖果售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1-2】（2025·湖南长沙开福区·三模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式1-1-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为　　 A． B． C． D． ►题型02 代数式的意义 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）随着湖南旅游业的持续升温，韶山红色景区成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【变式1-2-1】（2025·湖南岳阳·中考模拟）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【变式1-2-2】（2025·湖南怀化·模拟）代数式表示的意义是（      ） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 命题点二 整式的概念(单项式、多项式、整式) ►题型01 判断单项式的系数、次数 ①单独的一个数或一个字母也是单项式． ②单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数； ③一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）单项式的系数和次数分别是（ ） A．，2 B．，6 C．， D．， 【变式2-1-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【变式2-1-2】（2025·湖南益阳·模拟）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 【变式2-1-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． ►题型02 与单项式、多项式有关的规律题 【典例】（2025·湖南张家界·二模）一组单项式：，按此规律排列下去，第2024个单项式为 ． 【变式2-2-1】（2025·湖南湘潭·二模）一组按照规律排列的式子：，···，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 【变式2-2-2】（2025·湖南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． ►题型03 判断多项式的项、项数、次数 ①在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； ②多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． ③多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【变式2-3-1】（2025·湖南永州·二模）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．矩形的对角线互相平分且相等 C．正边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．25的平方根是5 【变式2-3-2】（2025·湖南岳阳·模拟）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 命题点三 整式的运算 ►题型01 (合并)同类项 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）若与是同类项，则的值为 ． 【变式3-1-1】（2025·湖南常德·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1-2】（2025·湖南株洲·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 添（去）括号 1.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2-1】（2025·湖南邵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． ►题型03 整式的加减 1.整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，乘法对加法的分配律。 2.整式加减的一般步骤为：①去括号；②找出同类项；③合并同类项；④计算出结果. 需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列各式计算正确的是 （　） A． B． C． D． 【变式3-3-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简 ． 【变式3-3-2】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于 ． 【变式3-3-3】（2025·湖南永州·中考模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． ►题型04 幂的运算与幂的逆向运算 1.首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 2.其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 3.幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 4.底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4-1】（2025·湖南株洲·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4-2】（2025·湖南永州·模拟）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·模拟）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型05 整式的乘法与除法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5-1】（2025·湖南邵阳·一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5-2】（2025·湖南张家界慈利·一模）计算： (1)； (2)． 【变式3-5-3】（（2025·湖南岳阳湘一·一模）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为（2a＋b）米，宽为（a＋b）米，正方形的边长为a米． (1)求剩余铁皮的面积； (2)当a＝3，b＝2时，求剩余铁皮的面积． ►题型06 整式的乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的的结构特征； 2.再利用完全平公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况； 【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2025·湖南株洲·中考模拟）阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 【变式3-6-1】（2025·湖南永州·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6-2】（2025·湖南长沙·中考模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【变式3-6-3】（2025·湖南永州·中考模拟）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 命题点四 因式分解 ►题型01 判断因式分解 【典例】（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-1】（2025·湖南张家界慈利·一模）下列多项式不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-2】（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1-3】（2025·湖南张家界·模拟）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . ►题型02 选用合适的方法因式分解 【典例】（2025·湖南长沙·一模）分解因式： ． 【变式4-2-1】（2025·湖南·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【变式4-2-2】（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 【变式4-2-3】（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 命题点五 整式求值 ►题型01 整式的整体代入法求值 【典例】（2025·湖南长沙·三模）若，则 【变式5-1-1】（2025·湖南湘潭·中考模拟）已知，则的值等于 ． 【变式5-1-2】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【变式5-1-3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． ►题型02 整式的化简求值 【典例】（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2-1】（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式5-2-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【变式5-2-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 突破一 与代数式有关的规律题 【典例】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【变式1-1】（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由 小圆组成． 【变式1-4】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则 ．（） 突破二 乘法公式的应用与几何背景 【典例1】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　； （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值； ②计算：． 【典例2】探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【变式2-1】从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 突破三 与代数式有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【变式3-1】（2025·湖南·二模）定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 【变式3-2】（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式3-4】已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【变式3-5】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1.（2025·湖南益阳·二模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2.（2025·湖南株洲·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3（2025·湖南长沙·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 5.(2025·长沙市雅礼雨花中学·中考二模)分解因式： ． 6.（2025·湖南永州·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 7.（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 8.（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 9.（2025·湖南张家界·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 10.（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再求值：，其中． 11.（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 12.（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 13.（2025·湖南衡阳·模拟）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1.（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 4.（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 5.（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 7.（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 8.（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 9.（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 10.（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 11.（2025·青海西宁·中考真题）化简：． 12.（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 13.（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14.（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 代数式 题型01列代数式 题型02代数式的实际意义 命题点二 整式的概念（单项式、多项式、整式） 题型01 判断单项式的系数、次数 题型02与单项式、多项式有关的规律题 题型03 判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 题型01 (合并)同类项 题型02 添（去）括号 题型03 整式的加减 题型04 幂的运算与幂的逆向运算 题型05 整式的乘法与除法 题型06 整式的乘法公式 命题点四 因式分解 题型01 判断因式分解 题型02 选用合适的方法因式分解 命题点五 整式求值 题型01 整式的整体代入法求值 题型02 整式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 39 突破一 与代数式有关的规律题 突破二 乘法公式的应用与几何背景 突破三 与代数式有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 53 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 列代数式 长沙卷T6 / 能用代数式表示实际问题中的数量关系，理解字母表示数的意义。 代数式求值 湖南省卷T20 长沙卷T18 能进行代数式的求值，理解代入法的意义。 整式的加减 长沙卷T4 长沙卷T4 掌握合并同类项法则，能进行整式的加减运算。 幂的运算 湖南省卷T4 长沙卷T4 理解幂的运算法则，能进行幂的乘方、同底数幂乘除等运算。 整式的乘法 湖南省卷T20 长沙卷T18 掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，能运用乘法公式简化运算。。 整式的混合运算 湖南省卷T20 长沙卷T18 能进行整式的混合运算，包括加减乘除及乘法公式的综合运用。 因式分解 湖南省卷T13 / 掌握提公因式法、公式法等基本因式分解方法，能进行简单多项式的因式分解。 命题预测 以选择题、填空题和解答题中的化简求值题为主，常与实际问题结合考查建模能力。列代数式：常结合生活情境（如机械手效率、物理模型）考查建模能力。代数式求值：多出现在解答题中，与整式运算、乘法公式结合。幂的运算与整式加减：常以选择题形式出现，考查基本运算法则的掌握。整式乘法与混合运算：重点考查乘法公式（平方差、完全平方）的应用与综合运算能力。因式分解：虽出现频率较低，但需掌握基本方法，可能作为小题或综合题的一部分出现。 备考建议：熟练掌握整式运算法则和乘法公式，注重计算过程的规范性。加强代数建模能力的训练，能将实际问题转化为代数表达式。强化综合题的训练，如化简求值、代数推理等，提升综合运用能力。 考点一 代数式的概念 1.代数式的概念：把数和表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式. 【补充】(1)代数式中不含有=、<、>、≠等.(2)单独的一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 3. 列代数式的书写要求： ①数与字母（括号）相乘时，乘号可省略不写，数应写在字母（括号）的前面，带分数应化为假分数，但数与数相乘必须写乘号； ②字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写； ③除法运算一般写成分数形式； ④代数式后带有单位，且是和或差形式，必须加括号。 4.代数式的意义 [使用文档中的独特引言吸引读者的注意力，或者使用此空间强调要点。要在此页面上的任何位置放置此文本框，只需拖动它即可。] 1.(2025·湖南省长沙市·中考真题)智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 2.（2025·湖南怀化·三模）近几年，国产新能源汽车在电池技术突破和智能科技提升方面取得了长足进步.同时，在国家购车补贴优惠政策的支持下，价格不断降低，销量增长迅速，市场占有率越来越高.某型号国产新能源汽车原售价为元，现打八折，再优惠元，那么该型号新能源汽车现在的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据题意可得打八折后新能源汽车的价格为元，故再优惠元后，新能源汽车的售价为元． 【详解】解：由题意得：打八折后新能源汽车的价格为元， 再优惠元后，新能源汽车的售价为元 故选：C． 3.（2025·湖南·模拟预测）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设七张桌子中每张桌面的宽为a（单位：尺），则一套组合桌的面积（单位：平方尺）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，单项式乘单项式的应用，观察可知，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍，则拼合成的桌面的长是，则拼合成的桌面的宽是，再根据长方形的面积公式列出对应的代数式即可． 【详解】解：由题意可得，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍， 每张桌面的宽为a尺，则拼合成的桌面的长是尺，则拼合成的桌面的宽是尺， ∴则一套组合桌的面积可以表示为（尺）， 故选：B． 考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 【单项式补充】 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-3x的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 【多项式补充】 1.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 2. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 3. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 1.（2025·湖南株洲·模拟）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形的其中一个内角是 D．单项式的次数是4 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题，根据平行线的性质，菱形的性质，多边形的内角和，单项式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、菱形的四条边相等，是真命题； C、正五边形的其中一个外角是，内角是，原命题是假命题； D、单项式的次数是3，原命题是假命题； 故选：B． 2．（2025·湖南永州·二模）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．矩形的对角线互相平分且相等 C．正边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．25的平方根是5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的有关概念，矩形的性质，正多边形的性质，求一个数的平方根，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 根据多项式的有关概念可判断A；根据矩形的性质可判断B；根据正多边形的性质可判断C；利用求一个数的平方根可判断D． 【详解】解：多项式是三次三项式，故A错误； 矩形的对角线互相平行且相等，这是矩形的性质，故B正确； 正3边形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； 的平方根是，故D错误． 故选：B ． 考点三 整式的运算 1.整式的加减 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 5.乘法公式 乘法公式 基础 变形 平方差公式 1.已知，和中的两项求另一项的值： ①或 ② 2.已知、和中的两项求另一项的值： ①② ③④ 3.特殊结构： ①② ③④ 4.拓展① ② 完全平方公式 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 【平方差公式补充】平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【完全平方公式补充】完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）。 1.(2025·湖南省长沙市·中考真题)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 2.(2024·湖南省长沙市·中考真题)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 3．(2024·湖南省卷·中考真题)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；      B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 考点四 因式分解 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法：①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 【补充】 1.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式②若，则必有因式 2.分组分解法： 3.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 1.(2025·湖南省卷·中考真题)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.(2025·湖南省长沙市·中考真题)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 3.（2025·湖南邵阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 考点五 整式求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 1．(2024·湖南省卷·中考真题)先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.(2024·湖南省长沙市·中考真题)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 3.（2025·湖南娄底·模拟预测）若代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入思想解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：9 命题点一 代数式 ►题型01 列代数式 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【典例】（2025·湖南长沙·中考冲刺卷）一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，长方形、正方形面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可．如图，原长方形的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么增加的面积的面积的面积的面积；从图中可知，①是一个长厘米、宽1厘米的长方形，②是一个长厘米、宽1厘米的长方形，③是一个边长为1厘米的正方形；根据长方形的面积长宽，正方形的面积边长边长，代入数据计算，即可求出增加的面积． 【详解】解：如图，    由图可知：①②③的面积之和是： 平方厘米 答：现在的面积比原来增加了平方厘米． 故选：C． 【变式1-1-1】（2025·湖南郴州·模拟）若m千克的某种糖果售价为n元，则8千克的这种糖果售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答． 【详解】解：根据题意得． 故选A． 【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格． 【变式1-1-2】（2025·湖南长沙开福区·三模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本考查了完全平方公式的几何应用，关键是完全平方公式的熟练运用．根据面积之差，利用完全平方公式可得结果． 【详解】解：由题可得阴影部分面积为：， 故选：C． 【变式1-1-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为；依此即可求解． 【解答】解：有辆车， 总人数为或． 故选：． 【点评】本题考查列代数式，能够根据题意，列出代数式是求解的关键． ►题型02 代数式的意义 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）随着湖南旅游业的持续升温，韶山红色景区成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 【变式1-2-1】（2025·湖南岳阳·中考模拟）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式1-2-2】（2025·湖南怀化·模拟）代数式表示的意义是（      ） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的意义．表示的是a的2倍，据此可得答案． 【详解】解：代数式的意义可以a的2倍与b的差， 故选：B． 命题点二 整式的概念(单项式、多项式、整式) ►题型01 判断单项式的系数、次数 ①单独的一个数或一个字母也是单项式． ②单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数； ③一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）单项式的系数和次数分别是（ ） A．，2 B．，6 C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．直接利用单项式的次数与系数确定方法得出答案． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是：，． 故选：D． 【变式2-1-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）下列说法中，正确的是（   ） A．不是单项式 B．表示负数 C．的次数是2 D．不是多项式 【答案】D 【分析】本题可根据单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，对每个选项进行判断．本题主要考查了单项式、多项式的定义以及单项式系数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是单项式，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不一定表示负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 的次数是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 因为不是单项式，所以不是多项式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-1-2】（2025·湖南益阳·模拟）单项式的系数是a，次数是b，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据单项式的系数和次数的定义求出a、b的值，再将a、b的值代入中即可求解． 本题主要考查了单项式，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的系数是a，次数是b， ，， 故答案为： 【变式2-1-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． ►题型02 与单项式、多项式有关的规律题 【典例】（2025·湖南张家界·二模）一组单项式：，按此规律排列下去，第2024个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，寻数列规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键方法．通过观察，发现这一列数的系数是正负间隔出现，单数为正，双数为负，系数的绝对值等于该项字母的次数，系数的绝对值和字母的次数都是这个单项式的次序，依此求解即可． 【详解】解：根据数值的变化规律可得： 第1个单项式a的指数为1，系数为， 第2个单项式a的指数为2，系数为， 第3个单项式a的指数为3，系数为， 第4个单项式数a的指数为4，系数为， …， 所以这列单项式中的第n个单项式中a的指数为n，系数为， 所以这列数中的第n个数为． ∴第2024个单项式为 故答案为：． 【变式2-2-1】（2025·湖南湘潭·二模）一组按照规律排列的式子：，···，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 【答案】 【分析】本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是，而指数是从开始的奇数；分母是底数从开始的自然数的平方． 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 【变式2-2-2】（2025·湖南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据所给的单项式的次数和系数，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察可知，奇数位的系数为负，偶数位的系数为正，数值与序数相同，字母的指数为从1开始的连续的奇数， ∴第个单项式是； 故选C． 【变式2-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． ►题型03 判断多项式的项、项数、次数 ①在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； ②多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． ③多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 【变式2-3-1】（2025·湖南永州·二模）下列说法中，正确的是（    ） A．多项式是五次三项式 B．矩形的对角线互相平分且相等 C．正边形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．25的平方根是5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的有关概念，矩形的性质，正多边形的性质，求一个数的平方根，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 根据多项式的有关概念可判断A；根据矩形的性质可判断B；根据正多边形的性质可判断C；利用求一个数的平方根可判断D． 【详解】解：多项式是三次三项式，故A错误； 矩形的对角线互相平行且相等，这是矩形的性质，故B正确； 正3边形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； 的平方根是，故D错误． 故选：B ． 【变式2-3-2】（2025·湖南岳阳·模拟）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可． 【详解】A.是分式，故A选项不符合题意； B.是多项式，故B选项符合题意； C.是无理式，故C选项不符合题意； D是单项式，故D选项不符合题意； 故选：B． 命题点三 整式的运算 ►题型01 (合并)同类项 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-1-1】（2025·湖南常德·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据同类项的定义求出，得到点的坐标为，得出点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ， 点的坐标为， 点在第一象限． 故选：A． 【变式3-1-2】（2025·湖南株洲·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方．根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类项，无法合并，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，无法合并，不符合题意； 故选：A ►题型02 添（去）括号 1.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选：A． 【变式3-2-1】（2025·湖南邵阳·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、去括号法则、单项式乘以多项式运算、完全平方和公式等知识，根据同底数幂的乘法运算、去括号法则、单项式乘以多项式运算、完全平方和公式等运算法则逐项验证即可得到答案，熟记整式混合运算各相关法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． ►题型03 整式的加减 1.整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，乘法对加法的分配律。 2.整式加减的一般步骤为：①去括号；②找出同类项；③合并同类项；④计算出结果. 需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）下列各式计算正确的是 （　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C 【变式3-3-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-3-2】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）如图，已知A，B，C三个车站的位置如图所示，则B，C间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，根据题意列出算式，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：根据题意，知B，C间的距离为： 故答案为： 【变式3-3-3】（2025·湖南永州·中考模拟）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： ►题型04 幂的运算与幂的逆向运算 1.首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 2.其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 3.幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 4.底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法．根据同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式3-4-1】（2025·湖南株洲·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂及合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式3-4-2】（2025·湖南永州·模拟）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·模拟）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． ►题型05 整式的乘法与除法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据同底数幂的除法，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项运算即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-5-1】（2025·湖南邵阳·一模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题关键．先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式3-5-2】（2025·湖南张家界慈利·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3-5-3】（（2025·湖南岳阳湘一·一模）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为（2a＋b）米，宽为（a＋b）米，正方形的边长为a米． (1)求剩余铁皮的面积； (2)当a＝3，b＝2时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2)31 【分析】（1）根据题意得出阴影部分的面积=（a+b）（2a+b）-a2，再计算即可； （2）把a，b的值代入求出即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： S=（a+b）（2a+b）-a2 =2a2+ab+2ab+b2-a2 =a2+3ab+b2； （2）当a=3，b=2时，阴影部分的面积为32+3×3×2+22=31． 【点睛】本题考查了求代数式的值和列代数式，能根据题意列出代数式是解此题的关键． ►题型06 整式的乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的的结构特征； 2.再利用完全平公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况； 【典例1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，负整数指数幂，先运用完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入， 得． 【典例2】（2025·湖南株洲·中考模拟）阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为，利用代数式的非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 多项式的最小值是， 故答案为：． 【变式3-6-1】（2025·湖南永州·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了乘法公式、幂的乘方、同底数幂的除法等知识．根据运算法则和公式计算即可得到答案． 【详解】A. ，选项计算正确，符合题意； B. ，选项计算错误，不符合题意； C. ，选项计算错误，不符合题意；     D. ，选项计算错误，不符合题意； 故选：A 【变式3-6-2】（2025·湖南长沙·中考模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【答案】2701 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【变式3-6-3】（2025·湖南永州·中考模拟）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 【答案】(1)①；过程见解析 (2)淇淇说得对， 【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）通过计算化简该算式进行判断、求解； （2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别． 【详解】（1）出现错误的是①， ∵ 出现错误的是①， 故答案为：①； （2）淇淇说得对， 当a与b互为相反数时， 多项式 ； 当a与b互为倒数时， 多项式 淇淇说得对． 命题点四 因式分解 ►题型01 判断因式分解 【典例】（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 【变式4-1-1】（2025·湖南张家界慈利·一模）下列多项式不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．根据因式分解的方法，注意判断，即可解答． 【详解】解：A、利用提公因式法，可得，故A不符合题意； B、无法因式分解，故B符合题意； C、利用完全平方公式，可得，故C不符合题意； D、利用平方差公式，可得，故D不符合题意， 故选：B． 【变式4-1-2】（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解． 利用公式法或提公因式法进行因式分解逐项判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，故符合题意； B. ，该选项错误，故不符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D. ，该选项错误，故不符合题意； 故选：A． 【变式4-1-3】（2025·湖南张家界·模拟）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 . 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． ►题型02 选用合适的方法因式分解 【典例】（2025·湖南长沙·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2-1】（2025·湖南·模拟预测）若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 【变式4-2-2】（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键； 先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式4-2-3】（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与几何图形面积的综合应用，解题的关键是将代数式转化为图形各部分面积的和，再通过整体观察图形的边长得到因式分解的结果． 长方形的面积长宽，所以 【详解】解：； 故答案为： 命题点五 整式求值 ►题型01 整式的整体代入法求值 【典例】（2025·湖南长沙·三模）若，则 【答案】8 【分析】本题考查代数式求值，涉及有理数乘法及减法运算，先由得到，将其整体代入代数式运算即可得到答案，熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 【变式5-1-1】（2025·湖南湘潭·中考模拟）已知，则的值等于 ． 【答案】2023 【提示】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． 【变式5-1-2】（2025·湖南长沙·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-1-3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 利用根的定义得到的值，借助根与系数的关系求出的值并代入计算． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，即， ， ∴． 故答案为：3． ►题型02 整式的化简求值 【典例】（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【变式5-2-1】（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式和平方差公式将括号展开后再合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 把代入得，原式． 【变式5-2-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式5-2-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通过多项式乘以多项式法则，完全平方公式进行化简，然后由合并同类项法则化成最简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 突破一 与代数式有关的规律题 【典例】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【变式1-1】（2025·湖南湘潭·一模）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律得出，及模仿题意求和思路求解是解题的关键．根据题意得出及模仿题意规律能求和，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意得：，，，，， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形1个小圆，第2个图形由3个小圆组成，第3个图形由6个小圆组成，第4个图形由个小圆组成，按照这样的规律摆下去，则第个图由 小圆组成． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 用算式表示出各个图中小圆的个数，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：第1个图形1个小圆， 第2个图形由个小圆组成， 第3个图形由个小圆组成， 第4个图形由个小圆组成， … 按照这样的规律摆下去， 则第个图由个小圆组成， 故答案为：． 【变式1-4】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【变式1-5】（2025·甘肃定西·模拟预测）观察：，…，则 ．（） 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母的变化特点，列出的表达式是解题的关键． 通过观察序列前四项的表达式，发现每一项均为两个分数的差，且第一个分数分母与项数相同，第二个分数分母比项数大2，因此得出通项公式． 【详解】由已知条件： ， ， ， ， …， 可推知第项为 ． 故答案为：． 突破二 乘法公式的应用与几何背景 【典例1】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　； （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值； ②计算：． 【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②． 【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； （2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b）， ∴21=（a+b）×3， ∴a+b=7； ② = = = =． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【典例2】探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 【变式2-1】从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 计算图1中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即计算图2中拼成的平行四边形面积，其长为宽为面积为由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 【详解】： 图1中，阴影部分是从边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形， 因此阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． 图2中，阴影部分被拼成一个平行四边形，其一边长为该边上的高为 因此该平行四边形的面积为底乘高，即． 由于阴影部分的面积在裁剪和拼接过程中不变，即 所以． 故选：D． 【变式2-2】下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 【变式2-3】通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】(1)，A (2)21 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：21； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为7， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 突破三 与代数式有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】（2025·湖南·二模）定义：若一个整数能表示成（,是整数）的形式，则称这个数为“奇妙数”．例如：，所以9是“奇妙数”．下列说法不正确的是（   ） A．41是奇妙数 B．（,是整数）一定是奇妙数 C．如果数,都是“奇妙数”，则也是“奇妙数” D．当时，（,是整数）是“奇妙数” 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的整式运算和实数运算，完全平方公式等知识点，解题的关键是理解题意，对多项式进行变形． 按照“奇妙数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以41是“奇妙数”，该选项正确，不符合题意； B. ，该多项式不是“奇妙数”，该选项错误，符合题意； C. ∵数,都是“奇妙数”， ∴,都是整数，则也为整数， ∴满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； D. 当时， ， 满足（,是整数）的形式，为“奇妙数”， 该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 【变式3-3】定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 【变式3-4】已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 【变式3-5】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1.（2025·湖南益阳·二模）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（   ） A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本考查了完全平方公式的几何应用，关键是完全平方公式的熟练运用．根据面积之差，利用完全平方公式可得结果． 【详解】解：由题可得阴影部分面积为：， 故选：C． 2.（2025·湖南株洲·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，涉及同底数幂相乘、幂的乘方以及合并同类项的规则．需逐一验证各选项是否符合相应法则． 【详解】解：A：，原结果为，错误． B：，正确． C：与指数不同，无法合并，结果应为．原结果为，错误． D：与指数不同，无法合并，结果应为．原结果为，错误． 故选B． 3（2025·湖南长沙·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，整式的加减，完全平方公式，平方差公式，根据完全平方公式、平方差公式、二次根式的加减、整式的加减法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； B、，原选项计算正确，故此选项符合题意； C、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4.（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，解二元一次方程组，代数式求值，由同类项的定义可得，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5.(2025·长沙市雅礼雨花中学·中考二模)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因数，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 6.（2025·湖南永州·一模）若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 7.（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：， ，即， ． 故答案为：． 8.（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式： 第1种物质的分子式是，第2种物质的分子式是，第3种物质的分子式是，…由此可知，该系列化合物第8种物质的分子式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律，根据相邻分子式间的差值求得增加规律是解题关键． 根据C和H随序数的增长规律计算求值即可． 【详解】解：观察可知，序数每增长1，C增加6，H增加2，所以可得第n个分子式为 故第8个分子式为 故答案为∶． 9.（2025·湖南张家界·一模）若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求x的值． (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用； （1）把左边都换成以为底数的幂，再根据底数相同指数相等列方程计算即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴． 10.（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了乘法公式，单项式乘多形式，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．先根据乘法公式，单项式乘多形式的运算法则计算，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 11.（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 12.（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 13.（2025·湖南衡阳·模拟）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)16；12 (3)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据，，求出的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可； （3），，，，可以利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （2）解：， ，， ， ∴． 故答案为：16；12． （3）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 1.（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2.（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 3.（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 4.（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 5.（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 6.（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 7.（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8.（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9.（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10.（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 11.（2025·青海西宁·中考真题）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 12.（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 13.（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 14.（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $