第2 章 一元二次方程本章整体评价 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第2 章 一元二次方程本章整体评价 一元二次方程的有关概念 【例1】已知 m 是一元二次方程 的一个根，求下列各代数式的值： (1)(m-4)(m+1)。 【变式】将方程(x-1)(x+3)=1化成一般形式,为 。 一元二次方程的解法 【例2】解下列方程： (用公式法解)。 (用配方法解)。 (3)2x(x-3)=9-3x(用因式分解法解)。 (用配方法解)。 【变式1】某节数学课上，甲、乙、丙三名同学都在黑板上解关于 x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的个数为 ( ) 甲 乙 丙 两边同时除以(x-1),得x=3。 整理得 配方得 --1, ∴x-2=±1, 移项得x(x-1)-3(x—1)=0, ∴(x-3)(x-1)=0, ∴x-3=0或x-1=0, A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【变式2】用较简便的方法解下列方程： 50=0;②9x²-12x-1=0;③8x²+15x+6=0; 下列说法正确的是( ) A.依次为开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B.依次为因式分解法、公式法、配方法、开平方法 C.①用开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D.①用开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 【变式3】已知代数式3-x与 的值互为相反数，则x的值是 ( ) A. -1或3 B. 1或-3. C. 1 或 3 D. -1 或-3 一元二次方程根的判别式 【例3】已知关于x的方程 =0。 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。 (2)若该方程有两个相等的实数根，求 m 的值及此时方程的根。 (3)若该方程没有实数根，求 m 的最小整数值。 【变式】关于x的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 一元二次方程根与系数的关系 【例4】已知关于 x的一元二次方程 (1)若m=1,求此方程的根。 (2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α-3β=5,求 m的值。 【变式】若m，n是一元二次方程 的两个根,则3m+3n-mn的值是 。 一元二次方程的应用 【例5】如图,在长方形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=12 cm,点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动;同时,点 Q 从点 B 沿边 BC向点C以2cm/s的速度移动。 (1)几秒后△PBQ 的面积等于8cm²? (2)△PDQ 的面积能为8cm² 吗?为什么? 【变式1】某商场对一款无人机进行降价促销，经过两次降价后其售价由最初的 400 元变为225元，且两次降价的百分率相同。设每次降价的百分率为x，可列方程 ( ) A. B. C. D. 400(1-2x)=225 【变式2】某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到 1 056个红包，设群内共有x个人。根据题意可列方程 。 例1 解：(1)由条件可知： 4=-5。 (2)由条件可知 变式 例 2 解: 配方得 则 或 (3)2x(x-3)=9-3x, 2x(x-3)+3(x-3)=0, (x-3)(2x+3)=0, x-3=0,或2x+3=0, 变式 2 C 变式 2 C 变式 3 A 例3 解:(1)∵关于 x 的方程 有两个不相等的实数根， ∴m<1。 (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴m=1, 此时方程为 即 (3)∵方程没有实数根， ∴m>1,∴m的最小整数值为2。 变式 A 例 4 解:(1)当 m=1时,原方程为 解得 (2)∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴由根与系数的关系可知 ∵α-3β=5, 联立 解得 变式15 例5 解:(1)当运动时间为t s时,AP=t cm,BP=(6-t) cm,BQ=2t cm,CQ=(12-2t) cm。 根据题意，得 整理得 解得 答:2 s 或 4 s后△PBQ 的面积等于 8 cm²。 (2)△PDQ的面积不能为 8 cm²,理由如下: 假设△PDQ的面积为8 cm²。 由题图知,S△PDQ=S长方形. 即 整理得t²-6t+28=0。 ∴原方程无解， ∴假设不成立,即△PDQ 的面积不能为 8 cm²。 变式1 C 变式 2 x(x-1)=1 056 学科网（北京）股份有限公司 $